Subversion Repositories svnkaklik

Rev

Go to most recent revision | Details | Last modification | View Log

Rev Author Line No. Line
608 kaklik 1
\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
2
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
3
\usepackage[utf8]{inputenc}
4
\usepackage[czech]{babel}
5
\usepackage{graphicx}
6
\textwidth 16cm \textheight 24.6cm
7
\topmargin -1.3cm 
8
\oddsidemargin 0cm
9
\pagestyle{empty}
10
\begin{document}
11
\title{Cavendishův experiment}
12
\author{Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz}
13
\date{9.11.2009}
14
\maketitle
15
\thispagestyle{empty}
16
\begin{abstract}
17
 
18
\end{abstract}
19
\section{Úvod}
20
\begin{enumerate}
21
\item Odvodte vztah pro výpočet chyby měření.
22
\item Zkontrolujte měřící aparaturu.
23
\item Dynamickou metodou změřte časový průběh torzních kmitů kyvadla v obou možných pozicích olověných koulí.
24
\item Naměřenou závislost nafitujte funkcí a zjistěte její fyzikální parametry.
25
\item Z takto získaných údajů dopočítejte gravitační konstantu a její chybu.
26
\item Výsledek srovnejte s tabulkovou hodnotou gravitační konstanty. 
27
\end{enumerate}
28
 
29
\section{Postup měření}
609 kaklik 30
Měření silového momentu, kterým působí dvě olověné koule na torzní kyvadlo jsme provedli tak, že koule byly nejprve umístěny křížem v blízkosti hmotností na koncích torzního kyvadla tak, aby na kyvadlo působili maximálním silovým momentem způsobeným gravitačním přitahováním. Následně jsme změřili střední polohu kyvadla dynamickou metodou. A koule prohodili tak, aby nyní působily svým silovým momentem na opačnou stranu. Po opětovném změření střední polohy jsme nyní dokázali určit silový moment, kterým koule působí na kyvadlo. Obrázky dobře popisující tento postup, jsou ve zdroji \cite{Cavendish}. Při měření bylo také důležité svéct z aparatury elektrický náboj, který by značně ovlivńoval měření, neboť elektrická síla je nesrovnatelně  větší než síla gravitační. Tento problém jsme ale vyřešili uzemněním celého přístroje k vodovodnímu topení.
608 kaklik 31
 
32
\begin{figure}
33
\includegraphics[width=150mm]{./poloha1.pdf} 
609 kaklik 34
\caption{Casový průbeh výchylky torzního kyvadla v 1. pozici koulí.}
608 kaklik 35
\end{figure}
36
 
37
\begin{figure}
38
\includegraphics[width=150mm]{./poloha2.pdf} 
609 kaklik 39
\caption{Casový průběh výchylky torzního kyvadla v 2. pozici koulí.}
608 kaklik 40
\end{figure}
41
 
42
Fitem naměřených dat funkcí
43
\begin{equation}
610 kaklik 44
x=A \exp (- \delta t) \sin(2 \cdot \pi /T + \varphi)
608 kaklik 45
\end{equation}
46
 
47
Jsme dostali žádané fyzikální parametry potřebné pro výpočet gravitační konstanty.
48
 
609 kaklik 49
\begin{table}
50
\begin{center}
51
\begin{tabular}{|c|c|}
52
\hline
53
A [mm] & 429.751 \pm 2.133 \\ \hline
54
\delta & 0.000470283 \pm 7.339e-06 \\ \hline
55
T [s] & 497.817 \pm 0.3167 \\ \hline
56
\varphi [rad] & -0.634433 \pm 0.005027 \\ \hline
57
s [mm] & 1062.89 \pm 0.6162 \\ \hline
58
\end{tabular}
59
\caption{Vypoctene hodnoty pro prvni pozici koulí.}
60
\end{center}
61
\end{table} 
608 kaklik 62
 
609 kaklik 63
\begin{table}
64
\begin{center}
65
\begin{tabular}{|c|c|}
66
\hline
67
A [mm] & 254.373 \pm 0.4389 \\ \hline
68
\delta & 0.000457669 \pm 2.783e-06 \\ \hline
69
T [s]& 498.212 \pm 0.1441 \\ \hline
70
\varphi [rad] & -2.72838 \pm -2.72838 \\ \hline
71
s [mm]&  961.297 \pm 0.1507 \\ \hline
72
\end{tabular}
73
\caption{Vypoctene hodnoty pro druhou pozici koulí.}
74
\end{center}
75
\end{table} 
608 kaklik 76
 
609 kaklik 77
K výpočtu je ale neutné znát ještě i některé parametry aparatury.              Jako hmotnosti zavazi 1.25kg , delku ramena laseroveho paprsku 6 ± 0.01 m polomer kulicek na torznim kyvadle 9.55mm polomer vnejsich kouli pusobicich na kyvadlo 50mm a delky ramena torzniho kyvadla 46.5mm.
608 kaklik 78
 
610 kaklik 79
Všechny tyto hodnot jjsme dosadili do odvozeného vzorce
609 kaklik 80
\begin{equation}
610 kaklik 81
G=\frac{\pi^2 b^2 s}{T^2 m_2 L} \cdot \frac{d^2 + \frac{5}{2} r^2}{d (1-\beta)} \qquad \beta = \frac{b^3}{(b^2 + 4d^2)^\frac{3}{2}}
609 kaklik 82
\end{equation}
608 kaklik 83
 
609 kaklik 84
Konečným cílem pak bylo pomocí této gravitační konstaty spočítat hmotnost Země. Za tímto účelem jsme Zemi aproximovali dokonalou koulí. O poloměru r=6372,796km s gravitačním zrychlením u povrchu g=9,81m/s. Výpočtem nám vyšla hmotnost Země  
608 kaklik 85
 
609 kaklik 86
 
608 kaklik 87
\section{Diskuse}
609 kaklik 88
Při porovnání našich výsledků s tabulkovou hodnotou $G = (6.67428 \pm 0.00067) * 10^-11 m^2 / kg s^2 $ se ukázalo, že námi naměřená hodnota $G = (6.41 \pm 0.04) * 10^-11 m^2 / kg s^2 $ se liší o 3.93\%. Což je pro mne osobně docela velkým překvepaním, protože jsem netušil, že lze gravitační konstantu těmito prostředky vůbec změřit a natož s takovou přesností. Fakt, že se tabylková hodnota nevejde do našeho výsledku včetně chyby bych přisuzoval tomu, že naše měření mohlo být zatíženo nějakou systematickou chybou, které jsme nevěnovali dostatečnou pozornost. Například by to mohla být příliš velká prodleva při přehazování koulí z jedné do druhé polohy, Nějaká teplotní změna a podobně.    
608 kaklik 89
 
90
\section{Závěr}
609 kaklik 91
Pomocí torzních vah jsme úspěšně určili gravitační konstantu $\kappa = (6.41 \pm 0.04) * 10^-11 m^2 / kg s^2 $ s chybou 4\% oproti tabulkové hodnotě.
608 kaklik 92
 
93
 
94
\begin{thebibliography}{99}
95
\bibitem{Cavendish}{Zadání úlohy 1 - 	Cavendishův experiment}\\.\href{http://rumcajs.fjfi.cvut.cz/fyzport/FundKonst/Cavendish/cav.pdf}{http://rumcajs.fjfi.cvut.cz/fyzport/FundKonst/Cavendish/cav.pdf}
96
\end{thebibliography}
97
\end{document}