Subversion Repositories svnkaklik

Rev

Rev 677 | Go to most recent revision | Details | Last modification | View Log

Rev Author Line No. Line
676 kaklik 1
\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
2
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
3
\usepackage[utf8]{inputenc}
4
\usepackage[czech]{babel}
5
\usepackage{graphicx}
6
\textwidth 16cm \textheight 24.6cm
7
\topmargin -1.3cm 
8
\oddsidemargin 0cm
9
\pagestyle{empty}
10
\begin{document}
11
\title{Měření modulu pružnosti ve smyku a tahu}
12
\author{Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz}
13
\date{19.11.2009}
14
\maketitle
15
\thispagestyle{empty}
16
\begin{abstract}
17
Pružné vlastnosti homogenního izotropního tělesa při malých deformacích plně určují dvě nezávislé materiálové konstanty, za které mohou být zvoleny např. modul pružnosti v tahu (Youngův modul) $E$ a Poissonovo číslo $\mu $ nebo modul pružnosti v tahu $E$ a modul pružnosti ve smyku $G$. Jejich význam si vysvětlíme na dvou základních experimentech.
18
\end{abstract}
19
 
20
\section{Úvod}
21
\begin{enumerate}
22
\item Změřte závislost relativního délkového prodloužení $\Delta $l/l ocelového drátu na napětí při zatěžování a odlehčování drátu a sestrojte graf této závislosti. Vypočítejte metodou nejmenších čtverců modul pružnosti v tahu ocelového drátu.  
23
\item Změřte závislost průhybu $z$ na velikosti síly $F$ při zatěžování i odlehčování ocelového nosníku a narýsujte graf této závislosti. Metodou nejmenších čtverců vypočítejte modul pružnosti v tahu.
24
\item V přípravě odvoďte vzorec pro plošný moment setrvačnosti obdélníkového průřezu šířky $a$ a výšky $b.$
25
\item Změřte závislost úhlu zkroucení $\varphi $ ocelového drátu na velikosti kroutícího momentu při postupném zvětšování a postupném zmenšování tohoto momentu. Výsledky měření vyneste do grafu. Metodou nejmenších čtverců vypočtěte modul pružnosti ve smyku $G$ drátu.
26
\item Na torzním kyvadle změřte moment setrvačnosti základního systému $I_{0}$ a modul pružnosti ve smyku $G$ ocelového drátu. Dobu torzních kmitů změřte postupnou metodou.
27
\item V přípravě odvoďte vzorce pro výpočet modulu pružnosti ve smyku $G$ a momentu setrvačnosti základního systému torzního kyvadla $I_{0}$. 
28
\end{enumerate}
29
 
30
\section{Úvod}
31
\subsection{Modul pružnosti v tahu}
32
Při působení tažné síly na pružné homogenní těleso se jeho rozměr v ose síly prodlužuje podle vztahu. 
33
 
34
\begin{displaymath} \frac{F}{S} = E \frac{\Delta l}{l}, \end{displaymath}
35
 
36
Který nazýváme Hookův zákon. Konstanta $E$ je určena jen vlastnostmi materiálu a nazývá se modul pružnosti v tahu nebo Youngův modul.
37
Při protahování tělesa se však jeho rozměry kolmé k ose jeho prodloužení zkracují podle vztahu.
38
 
39
\begin{displaymath} \frac{\Delta a}{a} = \frac{\Delta b}{b} = \mu \frac{\Delta l}{l} , resp. \frac{\Delta r}{r} = \mu \frac{\Delta l}{l} , \end{displaymath}
40
 
41
kde $\mu $ je Poissonovo číslo (nezávislé na $E)$. Poissonovo číslo $\mu $ je v intervalu $\langle $0, 1/2$\rangle $; hodnotu 1/2 nabývá pro nestlačitelné materiály. Protože v našem případě platí 
42
 
43
\begin{displaymath} S = \pi d^2 \end{displaymath}
44
a
45
\begin{displaymath} F = mg \end{displaymath}
46
 
47
kde $d$ je průměr drátu a $m$ hmotnost závaží dostaneme po úpravě vztah
48
 
49
\begin{equation}
50
E = \frac{4mgl}{\pi d^{2} \Delta l}
51
\label{hook_rovnice}
52
\end{equation}
53
 
54
 
55
 
56
\subsection{Modul pružnosti v tahu měřený z ohybu nosníku}
57
Nosník známé délky $L$ podepřený na obou koncích se při zátěži uprostřed prohýbá podle vztahu.
58
 
59
\begin{displaymath} z(0) = - \frac{F L^3}{48 E I}. \end{displaymath}    
60
 
61
Kde $I$ je plošný moment setrvačnosti určený profilem nosníku. Pro nosník obdélníkového průřezu je roven.
62
 
63
\begin{displaymath} I = \frac{ab^3}{12} \end{displaymath}    
64
 
65
Po sloučení obou výrazů a vyjádření $E$ dostáváme
66
 
67
\begin{displaymath} E = - \frac{mgL^3}{4ab^3} \end{displaymath}    
68
 
69
\subsection{Modul pružnosti ve smyku měřený statickou torzí}
70
Při zatížení drátu momentem síly 
71
\begin{displaymath} M = 2mgr \end{displaymath}
72
 
73
Se jeho konec bude stáčet o úhel $\Phi$ Tento úhel bude záviset na momentu síly a poloměru drátu. Tím je určen modul pružnosti ve smyku $G$
74
 
75
\begin{displaymath} G = \frac{2mL}{\pi R^4 \Phi} \end{displaymath}    
76
 
77
Po dosazení za moment síly dostáváme výraz
78
\begin{displaymath} G = \frac{2rgmL}{\pi R^4 \Phi} \end{displaymath}    
79
 
80
\subsection{Modul pružnosti ve smyku měřený torzním kyvadlem}
81
Stočením drátu o úhel $\Phi$ bude  kyvadlo působit momentem síly o velikosti 
82
 
83
\begin{displaymath} M = K \Phi \end{displaymath}    
84
 
85
kde $K$ je direkční moment kyvadla, pro který platí
86
 
87
\begin{displaymath} K =  \frac{G \pi R^4}{2L} \end{displaymath}
88
 
89
Kde $R$ je poloměr drátu a $L$ jeho délka. Tento moment bude stáčet drát zpět do rovnovážné polohy a tím vznikne kmitavý pohyb s periodou
90
 
91
\begin{displaymath} T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{K}} \end{displaymath}    
92
Kde $I$ je moment setrvačnosti kyvadla. Z vlastností $K$ plyne vztah
93
 
94
\begin{displaymath} \frac{I_1}{T_1^2} = \frac{I_2}{T_2^2} \end{displaymath}    
95
 
96
Kde $I_1$ a $I_1$ jsou momenty setrvačnosti kyvadla pro dvě různé vzdálenosti závaží od osy.
97
 
98
\section{Postup měření}
99
 
100
Měření modulu pružnosti v tahu jsme měřili napínáním svisle pověšeného drátu závažími o hmotnosti 101g průtah drátu jsme zjistili pomocí měřících hodinek. Naměřené hodnoty ukazuje tabulka \ref{hook}.
101
 
102
\begin{table}[htbp]
103
\begin{center}
104
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
105
\hline
106
počet zavaží & hmotnost[g] & zatezovani[10um] & odlehcovani[10um] \\ \hline
107
1 & 101 & 51 & 59 \\ \hline
108
2 & 202 & 77 & 81 \\ \hline
109
3 & 303 & 96 & 100 \\ \hline
110
4 & 404 & 114 & 118 \\ \hline
111
5 & 505 & 133 & 135 \\ \hline
112
6 & 606 & 151 & 153 \\ \hline
113
7 & 707 & 169,5 & 170 \\ \hline
114
8 & 808 & 183,5 & 187 \\ \hline
115
9 & 909 & 202 & 202 \\ \hline
116
10 & 1010 & 221 & 221 \\ \hline
117
\end{tabular}
118
\end{center}
119
\label{hook}
120
\caption{Prodlužování a zkracování drátu }
121
\end{table}
122
 
123
Proložením naměřených dat funkcí \ref{hook_rovnice} jsme dostali hodnotu $E = (1.59619e+11 \pm 6.539e+09)$ Pa.
124
 
125
Proložení ukazuje graf \ref{Graf_hookz} a \ref{Graf_hooko}.
126
 
127
\begin{figure}
128
\begin{center}
129
\includegraphics[width=150mm]{hookz.pdf} 
130
\end{center}
131
\caption{prodloužení drátu délky 1,15m v závislosti na zátěži}
132
\label{Graf_hookz} 
133
\end{figure}
134
 
135
\begin{figure}
136
\begin{center}
137
\includegraphics[width=150mm]{hooko.pdf} 
138
\end{center}
139
\caption{prodloužení drátu délky 1,15m v závislosti na zátěži během odlehčování}
140
\label{Graf_hooko} 
141
\end{figure}
142
 
143
Průhyb nosníku jsme měřili zatěžováním hranolu o rozměrech 498x10,1x4,1 mm. Hodnotu jsme měřili mikroskopem v prostřední části. Naměřené hodnoty uvádí tabulka \ref{pruhyb}. 
144
 
145
\begin{table}[htbp]
146
\begin{center}
147
\begin{tabular}{|c|c|c|}
148
\hline
149
zatez[g] & pruhyb[mm] & pruhyb[mm] \\ \hline
150
101 & 2,53 & 0,06 \\ \hline
151
202 & 5,05 & 0,13 \\ \hline
152
303 & 7,58 & 0,19 \\ \hline
153
404 & 10,1 & 0,25 \\ \hline
154
505 & 12,63 & 0,32 \\ \hline
155
606 & 15,15 & 0,38 \\ \hline
156
707 & 17,68 & 0,44 \\ \hline
157
808 & 20,2 & 0,51 \\ \hline
158
909 & 22,73 & 0,57 \\ \hline
159
1010 & 25,25 & 0,63 \\ \hline
160
\end{tabular}
161
\end{center}
162
\caption{Průhyb nosníku}
163
\label{pruhyb}
164
\end{table}
165
 
166
Grafické vyjádření je v grafu \ref{pruhyb_graf}. 
167
 
168
 
169
\begin{figure}
170
\begin{center}
171
\includegraphics[width=150mm]{pruhyb.pdf} 
172
\end{center}
173
\caption{Průhyb nosníku}
174
\label{pruhyb_graf} 
175
\end{figure}
176
 
177
Zde nám vyšla hodnota modulu pružnosti $E = 165,66$ GPa.
178
 
179
Měření modulu pružnosti ve smyku jsme provedli zkrutem drátu delky 665mm, a průměru 1,99mm naměřené výsledky jsou v tabulce \ref{torze_static} a grafu \ref{Torze_graf}.
180
 
181
\begin{table}[htbp]
182
\begin{center}
183
\begin{tabular}{|c|c|c|}
184
\hline
185
hmotnost & Zatezovani [°] & Odlehcovani [°] \\ \hline
186
 
187
101 & 302 & 305 \\ \hline
188
202 & 312 & 317 \\ \hline
189
303 & 324 & 329 \\ \hline
190
404 & 336 & 341 \\ \hline
191
505 & 350 & 350 \\ \hline
192
\end{tabular}
193
\end{center}
194
\caption{Statická torze drátu}
195
\label{torze_static}
196
\end{table}
197
 
198
\begin{figure}
199
\begin{center}
200
\includegraphics[width=150mm]{torze.pdf} 
201
\end{center}
202
\caption{Torze drátu}
203
\label{Torze_graf}
204
\end{figure} 
205
 
206
Po výpočtu nám vyšel modul pružnosti ve smyku 91 GPa.
207
 
208
Posledním měřením bylo požití torzního kyvadla k měření modulu pružnosti ve smyku. Zde jsme zvolili dvě různé vzdálenosti závaží a změřili pro ně periodu kmitů.Pro vzdálenost závaží 31mm nám vyšla perioda 5,91s a pro vzdálenost 222mm 16,8s. Po zjištění potřebných momentů setrvačnosti již bylo možné vypočítat hodnotu modulu pružnosti ve smyku 83,2 GPa.  
209
 
210
\section{Diskuse}
211
Při měření bylo poměrně komplikované určit správné rozměry měřených profilů. zvláště pak výšku nosníku kde bylo třeba mikrometrem měřit přesně kolmo k jeho ose, tuto jsem vyhodnotil jako nepřesnou a výšku se pokusil změřit posuvným měřítkem o kterém mám ale nyní podezření, že mohlo proměřovat až o 0,2mm, což je hodnota kterou bych od měřícího prostředku tohoto typu nečekal.  Výsledkem je, že měření jsou zatížena poměrně neznámou chybou určení rozměrů. Na druhou stranu si ale myslím, že výsledné moduly pružnosti vyšly v celku reálné, takže konečná chyba nebude velká.
212
 
213
\section{Závěr}
214
Z výsledků měření vidíme že hodnota modulu pružnosti v tahu se u ocelových materiálů pohybuje okolo 160 GPa zatímco, modul pružnosti ve smyku má menší hodnoty v oblasti 80 GPa. Tento fakt vysvětluje známou snahu konstruktérů ocelové díly namáhat pouze na tah a vyhnout se namáhání na zkrut a střih.  
215
 
216
\begin{thebibliography}{99}
217
\bibitem{pruznost}{Zadání úlohy 2 - Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku} \href{http://praktika.fjfi.cvut.cz/Pruznost/}{http://praktika.fjfi.cvut.cz/Pruznost/}
218
\end{thebibliography}
219
\end{document}