WebSVN – svnkaklik – Blame – //dokumenty/skolni/TDS/10uloha/kakonjak_reseni10.tex

Rev	Author	Line No.	Line
1059	kaklik	1	`\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}`
		2
		3	`\usepackage[czech]{babel}`
		4	`\usepackage[pdftex]{graphicx}`
		5	`\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce`
		6	`\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8`
		7	`\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů`
		8	`\usepackage{rotating}`
		9
		10	`\begin{document}`
		11
		12	`\section*{Řešení 10. zadané úlohy - Jakub Kákona}`
		13
		14	`\begin{enumerate}`
		15	`\item`
		16
		17	`Protože máme zadaná vlastní čísla, můžeme určit požadovaný charakteristický polynom pozorovatele.`
		18
		19	`\begin{equation}`
		20	`p(s) = (s + 2)^3 = s^3 +6s^2 + 12s + 8.`
		21	`\end{equation}`
		22
		23	`\begin{enumerate}`
		24
		25	`\item`
		26	`Určíme pozorovatele z obecného tvaru zavedením vektoru`
		27	`$K =`
		28	`\left[ \begin{array}{c}`
		29	`a \\`
		30	`b \\`
		31	`c \\`
		32	`\end{array}`
		33	`\right]$`
		34
		35	`A dosazením do charakteristického polynomu pozorovatele`
		36	`\\`
		37
		38	`\begin{equation}`
		39	`\det[s I - (A - K C)] =`
		40	`\det \left(`
		41	`\left[ \begin{array}{ccc}`
		42	`s & 0 & 0 \\`
		43
		44
		45	`\end{array} \right]`
		46	`-`
		47	`\left[ \begin{array}{ccc}`
		48	`-1 & 1 & 0 \\`
		49	`-b & 0 & 1 \\`
		50	`-c & 3 & -1 \\`
		51	`\end{array} \right] \right) \\`
		52	`\end{equation}`
		53
		54	`Tím získáme polynom:`
		55
		56	`\begin{equation}`
		57	`s^3 + (a+1)s^2 + (a + b-3) s - 3a + b + c`
		58	`\end{equation}`
		59
		60	`Srovnáním koeficientů u obou polynomů zjistím, že stavová injekce pozorovatele musí být $K =`
		61	`\left[ \begin{array}{c}`
		62	`5 \\`
		63	`10 \\`
		64	`13 \\`
		65	`\end{array}`
		66	`\right]$`
		67
		68	`\item`
		69
		70	`Sestavíme matici pozorovatelnosti a její inverzi`
		71
		72	`\begin{equation}`
		73	`O = \left[ \begin{array}{c}`
		74	`C \\`
		75	`C A\\`
		76	`C A^2\\`
		77	`\end{array}`
		78	`\right]=`
		79	`\left[ \begin{array}{ccc}`
		80	`1 & 0 & 0 \\`
		81
		82
		83	`\end{array}`
		84	`\right] = O^{-1}`
		85	`\end{equation}`
		86
		87	`Matici stavové injekce pozorovatele lze pak určit podle Ackermanova vztahu.`
		88
		89
		90	`\begin{equation}`
		91	`K = p(s) A O^{-1} e_n =`
		92	`\left( A +`
		93	`\left[ \begin{array}{ccc}`
		94	`2 & 0 & 0 \\`
		95
		96
		97	`\end{array}`
		98	`\right]`
		99	`\right)^3`
		100	`\left[ \begin{array}{ccc}`
		101	`1 & 0 & 0 \\`
		102
		103
		104	`\end{array}`
		105	`\right]`
		106	`\left[ \begin{array}{c}`
		107
		108
		109	`1 \\`
		110	`\end{array}`
		111	`\right]`
		112	`=`
		113	`\left[ \begin{array}{c}`
		114	`5 \\`
		115	`10 \\`
		116	`13 \\`
		117	`\end{array}`
		118	`\right]`
		119	`\end{equation}`
		120
		121
		122	`\end{enumerate}`
		123
		124
		125
		126	`\item`
		127
		128
		129	`Odhadovač stavu s minimální odchylkou je dán rovnicí`
		130
		131	`\begin{equation}`
		132	`K^* = P^* _e C^T V^{-1}`
		133	`\end{equation}`
		134
		135	`Kde $P^* _c$ je pozitivně definitní řešení Riccatiovy rovnice:`
		136
		137
		138	`\begin{equation}`
		139	`P_e A^T + A P_e - P_e C^T V^{-1} P_e + W = 0`
		140	`\end{equation}`
		141
		142	`Po dosazení zadaných hodnot se výraz zjednodušuje na`
		143
		144	`\begin{equation}`
		145	`P_e \alpha + \alpha P_e - P_e^2 + \omega ^2 = 0`
		146	`\end{equation}`
		147
		148	`Úpravami tohoto výrazu dostaneme řešení`
		149
		150	`\begin{equation}`
		151	`P^* _e = \alpha + \sqrt{ \alpha ^2 + \omega ^2}`
		152	`\end{equation}`
		153
		154
		155	`Díky zadání ale víme, že $K^* = P^* _e$, proto:`
		156	`\begin{equation}`
		157	`K^* = \alpha + \sqrt{ \alpha ^2 + \omega ^2}`
		158	`\end{equation}`
		159
		160
		161	`\item`
		162
		163	`Systém je v pozorovatelné formě složen z jediného bloku a index pozorovatelnosti je proto 3.`
		164
		165	`Pozorovatel bude proto také tvořen jedním blokem následujícího tvaru. S nulovými vlastními čísly.`
		166
		167
		168	`\begin{equation}`
		169	`A_d =`
		170	`\left[ \begin{array}{ccc}`
		171
		172	`1 & 0 & 0 \\`
		173
		174	`\end{array}`
		175	`\right]`
		176	`\end{equation}`
		177
		178	`Matice pak může být sestavena z kombinace posledních sloupců matic $A_d$, $A$, $C$.`
		179
		180	`\begin{equation}`
		181	`K =`
		182	`\left[ \begin{array}{c}`
		183
		184
		185
		186	`\end{array}`
		187	`\right]`
		188	`-`
		189	`\left[ \begin{array}{c}`
		190	`3 \\`
		191	`2 \\`
		192	`1 \\`
		193	`\end{array}`
		194	`\right]`
		195	`=`
		196	`\left[ \begin{array}{c}`
		197	`-3 \\`
		198	`-2 \\`
		199	`-1 \\`
		200	`\end{array}`
		201	`\right]`
		202	`\end{equation}`
		203
		204	`Ještě ověříme platnost $A - KC = A_d$`
		205
		206	`\begin{equation}`
		207	`\left[ \begin{array}{ccc}`
		208
		209	`1 & 0 & 2 \\`
		210
		211	`\end{array}`
		212	`\right]`
		213	`-`
		214	`\left[ \begin{array}{ccc}`
		215
		216
		217
		218	`\end{array}`
		219	`\right]`
		220	`=`
		221	`\left[ \begin{array}{ccc}`
		222
		223	`1 & 0 & 0 \\`
		224
		225	`\end{array}`
		226	`\right]`
		227	`=A_d`
		228	`\end{equation}`
		229
		230	`Odchylka odhadu bude nulová za minimální počet kroků L=3, protože`
		231
		232
		233	`\begin{equation}`
		234	`A_d=`
		235	`\left[ \begin{array}{ccc}`
		236
		237	`1 & 0 & 0 \\`
		238
		239	`\end{array}`
		240	`\right],`
		241	`A_d ^2=`
		242	`\left[ \begin{array}{ccc}`
		243
		244
		245	`1 & 0 & 0 \\`
		246	`\end{array}`
		247	`\right],`
		248	`A_d ^3=`
		249	`\left[ \begin{array}{ccc}`
		250
		251
		252
		253	`\end{array}`
		254	`\right]`
		255	`\end{equation}`
		256
		257
		258	`\item`
		259
		260
		261	`Zavedeme si stavy systému $x(t) = x_1, \dot{x}(t)=x_2$`
		262
		263	`Potom dostaneme stavové rovnice`
		264
		265	`\begin{eqnarray}`
		266	`\dot{x}_1 =& x_2\\`
		267	`\dot{x}_2 =& -\omega ^2 x_1\\`
		268	`\end{eqnarray}`
		269
		270	`A stavový popis:`
		271
		272	`\begin{eqnarray}`
		273	`\left[ \begin{array}{c}`
		274	`\dot{x}_1 \\`
		275	`\dot{x}_2 \\`
		276	`\end{array}`
		277	`\right] =&`
		278	`\left[ \begin{array}{cc}`
		279
		280	`- \omega ^2 & 0 \\`
		281	`\end{array}`
		282	`\right]`
		283	`\left[ \begin{array}{cc}`
		284	`x_1 \\`
		285	`x_2 \\`
		286	`\end{array}`
		287	`\right]\\`
		288	`y =&`
		289	`\left[ \begin{array}{cc}`
		290
		291	`\end{array}`
		292	`\right]`
		293	`\left[ \begin{array}{cc}`
		294	`x_1 \\`
		295	`x_2 \\`
		296	`\end{array}`
		297	`\right]`
		298	`\end{eqnarray}`
		299
		300	`Požadovaný charakteristický polynom pozorovatele potom bude:`
		301
		302	`\begin{equation}`
		303	`a_d = (s + 5 \omega)^2 = s^2 + 10 \omega s + 25 \omega ^2`
		304	`\end{equation}`
		305
		306	`Opět použijeme pro určení pozorovatele přímou metodu:`
		307
		308	`\begin{equation}`
		309	`\det[s I - (A - K C)] =`
		310	`\det \left(`
		311	`\left[ \begin{array}{cc}`
		312	`s & 0 \\`
		313
		314	`\end{array} \right]`
		315	`-`
		316	`\left[ \begin{array}{cc}`
		317	`-1 & 1 - a \\`
		318	`\omega ^2 & -b \\`
		319	`\end{array} \right] \right) \\`
		320	`\end{equation}`
		321
		322	`\begin{equation}`
		323	`s^2 + bs - \omega ^2 a + \omega ^2`
		324	`\end{equation}`
		325
		326	`Porovnáním obou polynomů určíme koeficienty vektoru stavové injekce $K =`
		327	`\left[ \begin{array}{c}`
		328	`-24 \\`
		329	`10 \omega \\`
		330	`\end{array}`
		331	`\right]$`
		332
		333	`\item`
		334
		335	`Zavedeme si popis systému $\theta = x_1, \dot{\theta}=x_2$. Ze zadání potom platí: $\dot{x_1} = x_2, \dot{x}_2= - x_2 + u$`
		336
		337
		338	`Maticový popis systému pak vypadá následovně:`
		339
		340	`\begin{eqnarray}`
		341	`\left[ \begin{array}{c}`
		342	`\dot{x}_1 \\`
		343	`\dot{x}_2 \\`
		344	`\end{array}`
		345	`\right] =&`
		346	`\left[ \begin{array}{cc}`
		347
		348
		349	`\end{array}`
		350	`\right]`
		351	`\left[ \begin{array}{cc}`
		352	`x_1 \\`
		353	`x_2 \\`
		354	`\end{array}`
		355	`\right]`
		356	`\left[ \begin{array}{cc}`
		357
		358	`1 \\`
		359	`\end{array}`
		360	`\right]u`
		361	`\\`
		362	`y =&`
		363	`\left[ \begin{array}{cc}`
		364
		365	`\end{array}`
		366	`\right]`
		367	`\left[ \begin{array}{cc}`
		368	`x_1 \\`
		369	`x_2 \\`
		370	`\end{array}`
		371	`\right]`
		372	`\end{eqnarray}`
		373
		374	`\begin{enumerate}`
		375
		376	`\item`
		377
		378	`Vzhledem k požadovaným vlastním číslům, je charakteristický polynom pozorovatele:`
		379
		380	`\begin{equation}`
		381	`a_d = (s + 5)^2 = s^2 + 10 s + 25`
		382	`\end{equation}`
		383
		384	`Opět využijeme charakteristický polynom v obecném tvaru`
		385
		386	`\begin{equation}`
		387	`\det[s I - (A - K C)] =`
		388	`\det \left(`
		389	`\left[ \begin{array}{cc}`
		390	`s & 0 \\`
		391
		392	`\end{array} \right]`
		393	`-`
		394	`\left[ \begin{array}{cc}`
		395	`-a & 1 \\`
		396	`-b & -1 \\`
		397	`\end{array} \right] \right) \\`
		398	`\end{equation}`
		399
		400	`\begin{equation}`
		401	`s^2 + s (a + 1) - a + b`
		402	`\end{equation}`
		403
		404	`Porovnáním koeficientů polynomů zjistíme, že $K =`
		405	`\left[ \begin{array}{c}`
		406	`9 \\`
		407	`16 \\`
		408	`\end{array}`
		409	`\right]$`
		410
		411	`\item`
		412
		413	`Nevim.`
		414
		415	`\end{enumerate}`
		416
		417
		418	`\end{enumerate}`
		419	`\end{document}`

Subversion Repositories svnkaklik

(root)//dokumenty/skolni/TDS/10uloha/kakonjak_reseni10.tex – Rev 1059