WebSVN – svnkaklik – Blame – //dokumenty/skolni/TDS/11uloha/kakonjak_reseni11.tex

Rev	Author	Line No.	Line
1061	kaklik	1	`\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}`
		2
		3	`\usepackage[czech]{babel}`
		4	`\usepackage[pdftex]{graphicx}`
		5	`\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce`
		6	`\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8`
		7	`\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů`
		8	`\usepackage{rotating}`
		9
		10	`\begin{document}`
		11
		12	`\section*{Řešení 11. zadané úlohy - Jakub Kákona}`
		13
		14	`\begin{enumerate}`
		15	`\item`
		16
		17	`Obecný stavový popis dvou paralelně spojených systémů má následující tvar:`
		18
		19
		20	`\begin{eqnarray}`
		21	`\left[ \begin{array}{c}`
		22	`\dot{x}_1 \\`
		23	`\dot{x}_2 \\`
		24	`\end{array}`
		25	`\right] =&`
		26	`\left[ \begin{array}{cc}`
		27	`A_1 & 0 \\`
		28
		29	`\end{array}`
		30	`\right]`
		31	`\left[ \begin{array}{c}`
		32	`x_1 \\`
		33	`x_2 \\`
		34	`\end{array}`
		35	`\right]`
		36	`+`
		37	`\left[ \begin{array}{c}`
		38	`B_1 \\`
		39	`B_2 \\`
		40	`\end{array}`
		41	`\right]u\\`
		42	`y =&`
		43	`\left[ \begin{array}{cc}`
		44	`C_1 & C_2 \\`
		45	`\end{array}`
		46	`\right]`
		47	`\left[ \begin{array}{c}`
		48	`x_1 \\`
		49	`x_2 \\`
		50	`\end{array}`
		51	`\right]`
		52	`+`
		53	`\left[ \begin{array}{c}`
		54	`D_1 + D_2 \\`
		55	`\end{array}`
		56	`\right]u`
		57	`\end{eqnarray}`
		58
		59	`Dosadíme do něj matice zadaných systémů $S_1$`
		60	`a $S_2$. A stavový popis přejde na tento tvar:`
		61
		62	`\begin{eqnarray}`
		63	`\left[ \begin{array}{c}`
		64	`\dot{x}_1 \\`
		65	`\dot{x}_2 \\`
		66	`\end{array}`
		67	`\right] =&`
		68	`\left[ \begin{array}{cc}`
		69	`-1 & 0 \\`
		70
		71	`\end{array}`
		72	`\right]`
		73	`\left[ \begin{array}{c}`
		74	`x_1 \\`
		75	`x_2 \\`
		76	`\end{array}`
		77	`\right]`
		78	`+`
		79	`\left[ \begin{array}{c}`
		80	`1 \\`
		81	`2 \\`
		82	`\end{array}`
		83	`\right]u\\`
		84	`y =&`
		85	`\left[ \begin{array}{cc}`
		86	`-2 & 1 \\`
		87	`\end{array}`
		88	`\right]`
		89	`\left[ \begin{array}{c}`
		90	`x_1 \\`
		91	`x_2 \\`
		92	`\end{array}`
		93	`\right]`
		94	`+u`
		95	`\end{eqnarray}`
		96
		97
		98	`Sestavíme matici pozorovatelnosti:`
		99
		100	`\begin{equation}`
		101	`O = \left[ \begin{array}{c}`
		102	`C \\`
		103	`C A\\`
		104	`\end{array}`
		105	`\right]=`
		106	`\left[ \begin{array}{cc}`
		107	`-2 & 1 \\`
		108	`2 & -1 \\`
		109	`\end{array}`
		110	`\right]`
		111	`\end{equation}`
		112
		113	`Hodnost této matice je pouze 1. Celkový systém proto není úplně pozorovatelný.`
		114
		115	`Pro ověření řiditelnosti využijeme matici řiditelnosti:`
		116
		117	`\begin{equation}`
		118	`C = \left[ \begin{array}{cc}`
		119	`B & AB \\`
		120	`\end{array}`
		121	`\right]=`
		122	`\left[ \begin{array}{cc}`
		123	`1 & -1 \\`
		124	`2 & -2 \\`
		125	`\end{array}`
		126	`\right]`
		127	`\end{equation}`
		128
		129	`Hodnost této matice je 1 a celkový systém proto není úplně řiditelný.`
		130
		131	`\item`
		132
		133	`\begin{enumerate}`
		134	`\item`
		135
		136	`Pro řešení sériového spojení systémů $S_1$ a $S_2$ využijeme obecný stavový popis dvou sériově zapojených systémů následujícího tvaru:`
		137
		138	`\begin{eqnarray}`
		139	`\left[ \begin{array}{c}`
		140	`\dot{x}_1 \\`
		141	`\dot{x}_2 \\`
		142	`\end{array}`
		143	`\right] =&`
		144	`\left[ \begin{array}{cc}`
		145	`A_1 & 0 \\`
		146	`B_2 C_1 & A_2 \\`
		147	`\end{array}`
		148	`\right]`
		149	`\left[ \begin{array}{c}`
		150	`x_1 \\`
		151	`x_2 \\`
		152	`\end{array}`
		153	`\right]`
		154	`+`
		155	`\left[ \begin{array}{cc}`
		156	`B_1 & 0 \\`
		157	`B_2 D_1 & B_2 \\`
		158	`\end{array}`
		159	`\right]`
		160	`\left[ \begin{array}{c}`
		161	`u_1 \\`
		162	`r_2 \\`
		163	`\end{array}`
		164	`\right]`
		165	`\\`
		166	`\left[ \begin{array}{c}`
		167	`y_1 \\`
		168	`y_2 \\`
		169	`\end{array}`
		170	`\right] =&`
		171	`\left[ \begin{array}{cc}`
		172	`C_1 & 0 \\`
		173	`D_2 C_1 & C_2 \\`
		174	`\end{array}`
		175	`\right]`
		176	`\left[ \begin{array}{c}`
		177	`x_1 \\`
		178	`x_2 \\`
		179	`\end{array}`
		180	`\right]`
		181	`+`
		182	`\left[ \begin{array}{cc}`
		183	`D_1 & 0 \\`
		184	`D_2 D_1 & D_2 \\`
		185	`\end{array}`
		186	`\right]`
		187	`\left[ \begin{array}{c}`
		188	`u_1 \\`
		189	`r_2 \\`
		190	`\end{array}`
		191	`\right]`
		192	`\end{eqnarray}`
		193
		194	`Pokud budeme uvažovat pouze vstup $u_1$ a výstup $y_2$, tak dostaneme následující stavový popis sériového spojení systémů.`
		195
		196
		197	`\begin{eqnarray}`
		198	`\left[ \begin{array}{c}`
		199	`\dot{x}_1 \\`
		200	`\dot{x}_2 \\`
		201	`\end{array}`
		202	`\right] =&`
		203	`\left[ \begin{array}{cc}`
		204
		205	`-1 & -1 \\`
		206	`\end{array}`
		207	`\right]`
		208	`\left[ \begin{array}{c}`
		209	`x_1 \\`
		210	`x_2 \\`
		211	`\end{array}`
		212	`\right]`
		213	`+`
		214	`\left[ \begin{array}{c}`
		215	`1 \\`
		216
		217	`\end{array}`
		218	`\right]u_1\\`
		219	`y =&`
		220	`\left[ \begin{array}{cc}`
		221	`1 & 1 \\`
		222	`\end{array}`
		223	`\right]`
		224	`\left[ \begin{array}{c}`
		225	`x_1 \\`
		226	`x_2 \\`
		227	`\end{array}`
		228	`\right]`
		229	`+0`
		230	`\end{eqnarray}`
		231
		232	`Pozorovatelnost celkového systému:`
		233
		234	`\begin{equation}`
		235	`O = \left[ \begin{array}{c}`
		236	`C \\`
		237	`C A\\`
		238	`\end{array}`
		239	`\right]=`
		240	`\left[ \begin{array}{cc}`
		241	`1 & 1 \\`
		242	`-1 & -1 \\`
		243	`\end{array}`
		244	`\right]`
		245	`\end{equation}`
		246
		247	`Hodnost matice pozorovatelnosti je 1 a celkový systém proto není úplně pozorovatelný.`
		248
		249
		250	`Ověříme řiditelnost systému`
		251
		252	`\begin{equation}`
		253	`C = \left[ \begin{array}{cc}`
		254	`B & AB \\`
		255	`\end{array}`
		256	`\right]=`
		257	`\left[ \begin{array}{cc}`
		258	`1 & 0 \\`
		259
		260	`\end{array}`
		261	`\right]`
		262	`\end{equation}`
		263
		264	`Hodnost matice řiditelnosti je 2 a systém je úplně řiditelný`
		265
		266	`Celkový přenos systému ze vstupu $u_1$ na výstup $y_2$ je`
		267
		268	`\begin{equation}`
		269	`H(s)= C (sI - A)^{-1} B + D =`
		270	`\left[ \begin{array}{cc}`
		271	`1 & 1 \\`
		272	`\end{array}`
		273	`\right]`
		274	`\left[ \begin{array}{cc}`
		275	`s + 1 & 0 \\`
		276	`-1 & s \\`
		277	`\end{array}`
		278	`\right]^{-1}`
		279	`\left[ \begin{array}{c}`
		280
		281	`1 \\`
		282	`\end{array}`
		283	`\right]`
		284	`\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s+1}`
		285	`\end{equation}`
		286
		287	`\item sériové zapojení systémů v opačném pořadí`
		288
		289	`Opět dosadíme do obecného stavového popisu sériově zapojeného systému a dostaneme následující tvar:`
		290
		291	`\begin{eqnarray}`
		292	`\left[ \begin{array}{c}`
		293	`\dot{x}_1 \\`
		294	`\dot{x}_2 \\`
		295	`\end{array}`
		296	`\right] =&`
		297	`\left[ \begin{array}{cc}`
		298	`-1 & 0 \\`
		299	`1 & 0 \\`
		300	`\end{array}`
		301	`\right]`
		302	`\left[ \begin{array}{c}`
		303	`x_1 \\`
		304	`x_2 \\`
		305	`\end{array}`
		306	`\right]`
		307	`+`
		308	`\left[ \begin{array}{c}`
		309	`-1 \\`
		310	`1 \\`
		311	`\end{array}`
		312	`\right]u_1\\`
		313	`y =&`
		314	`\left[ \begin{array}{cc}`
		315
		316	`\end{array}`
		317	`\right]`
		318	`\left[ \begin{array}{c}`
		319	`x_1 \\`
		320	`x_2 \\`
		321	`\end{array}`
		322	`\right]`
		323	`+0`
		324	`\end{eqnarray}`
		325
		326	`Pozorovatelnost celkového systému:`
		327
		328	`\begin{equation}`
		329	`O = \left[ \begin{array}{c}`
		330	`C \\`
		331	`C A\\`
		332	`\end{array}`
		333	`\right]=`
		334	`\left[ \begin{array}{cc}`
		335
		336	`1 & 0 \\`
		337	`\end{array}`
		338	`\right]`
		339	`\end{equation}`
		340
		341	`Hodnost matice pozorovatelnosti je 2 a celkový systém proto je úplně pozorovatelný.`
		342
		343
		344	`Ověříme řiditelnost systému`
		345
		346	`\begin{equation}`
		347	`C = \left[ \begin{array}{cc}`
		348	`B & AB \\`
		349	`\end{array}`
		350	`\right]=`
		351	`\left[ \begin{array}{cc}`
		352	`-1 & 1 \\`
		353	`1 & -1 \\`
		354	`\end{array}`
		355	`\right]`
		356	`\end{equation}`
		357
		358	`Hodnost matice řiditelnosti je 1 a systém proto není úplně řiditelný.`
		359
		360	`Celkový přenos sériového spojené systému je`
		361
		362	`\begin{equation}`
		363	`H(s)= C (sI - A)^{-1} B + D =`
		364	`\left[ \begin{array}{cc}`
		365
		366	`\end{array}`
		367	`\right]`
		368	`\left[ \begin{array}{cc}`
		369	`s & 0 \\`
		370	`1 & s+1 \\`
		371	`\end{array}`
		372	`\right]`
		373	`\left[ \begin{array}{c}`
		374	`-1 \\`
		375	`1 \\`
		376	`\end{array}`
		377	`\right]`
		378	`\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s+1}`
		379	`\end{equation}`
		380
		381	`\end{enumerate}`
		382
		383	`\item`
		384
		385	`\begin{enumerate}`
		386
		387	`\item`
		388	`\begin{eqnarray}`
		389	`\left[ \begin{array}{c}`
		390	`\dot{x}_1 \\`
		391	`\dot{x}_2 \\`
		392	`\end{array}`
		393	`\right] =&`
		394	`\left[ \begin{array}{cc}`
		395	`A_1 + B_1 M_2 D_2 C_1 & B_1 M_2 C_2 \\`
		396	`B_2 M_1 C_1& A_2 + B_2 M_1 D_1 C_2 \\`
		397	`\end{array}`
		398	`\right]`
		399	`\left[ \begin{array}{c}`
		400	`x_1 \\`
		401	`x_2 \\`
		402	`\end{array}`
		403	`\right]`
		404	`+`
		405	`\left[ \begin{array}{cc}`
		406	`B_1 M_2 & B_1 M_2 D_2 \\`
		407	`B_2 M_1 D_1 & B_2 M_2 \\`
		408	`\end{array}`
		409	`\right]`
		410	`\left[ \begin{array}{c}`
		411	`r_1 \\`
		412	`r_2 \\`
		413	`\end{array}`
		414	`\right]`
		415	`\\`
		416	`\left[ \begin{array}{c}`
		417	`y_1 \\`
		418	`y_2 \\`
		419	`\end{array}`
		420	`\right] =&`
		421	`\left[ \begin{array}{cc}`
		422	`M_1 C_1 & M_1 D_1 C_2 \\`
		423	`M_2 D_2 C_1 & M_2 C_2 \\`
		424	`\end{array}`
		425	`\right]`
		426	`\left[ \begin{array}{c}`
		427	`x_1 \\`
		428	`x_2 \\`
		429	`\end{array}`
		430	`\right]`
		431	`+`
		432	`\left[ \begin{array}{cc}`
		433	`M_1 D_1 & M_1 D_1 D_2 \\`
		434	`M_2 D_2 D_1 & M_2 D_2 \\`
		435	`\end{array}`
		436	`\right]`
		437	`\left[ \begin{array}{c}`
		438	`r_1 \\`
		439	`r_2 \\`
		440	`\end{array}`
		441	`\right]`
		442	`\end{eqnarray}`
		443
		444	`Kde $M_1=(I - D_1 D_2)^{-1}$, $M_2=(I - D_2 D_1)^{-1}$`
		445
		446	`Pokud pak uvažujeme pouze vstup $r_1$ a výstup $y_1$, dostaneme výsledný stavový popis sériově zapojeného systému.`
		447
		448	`\begin{eqnarray}`
		449	`\left[ \begin{array}{c}`
		450	`\dot{x}_1 \\`
		451	`\dot{x}_2 \\`
		452	`\end{array}`
		453	`\right] =&`
		454	`\left[ \begin{array}{cc}`
		455	`-1 & 1 \\`
		456	`-1 & 1 \\`
		457	`\end{array}`
		458	`\right]`
		459	`\left[ \begin{array}{c}`
		460	`x_1 \\`
		461	`x_2 \\`
		462	`\end{array}`
		463	`\right]`
		464	`+`
		465	`\left[ \begin{array}{c}`
		466	`1 \\`
		467	`1 \\`
		468	`\end{array}`
		469	`\right]r_1\\`
		470	`y =&`
		471	`\left[ \begin{array}{cc}`
		472	`-1 & 1 \\`
		473	`\end{array}`
		474	`\right]`
		475	`\left[ \begin{array}{c}`
		476	`x_1 \\`
		477	`x_2 \\`
		478	`\end{array}`
		479	`\right]`
		480	`+r_1`
		481	`\end{eqnarray}`
		482
		483	`\item`
		484
		485	`Stabilitu systému určíme z vlastních čísel matice A.`
		486	`\begin{equation}`
		487	`\det(s I - A) =`
		488	`\det \left(`
		489	`\left[ \begin{array}{cc}`
		490	`s +1 & -1 \\`
		491	`1 & s -1 \\`
		492	`\end{array} \right] \right)`
		493	`= s^2 - s + s - 1 + 1 = s ^2`
		494	`\end{equation}`
		495
		496	`Systém má dva nulové póly, které způsobují jeho vnitřní nestabilitu.`
		497
		498	`\begin{equation}`
		499	`O = \left[ \begin{array}{c}`
		500	`C \\`
		501	`C A\\`
		502	`\end{array}`
		503	`\right]=`
		504	`\left[ \begin{array}{cc}`
		505	`-1 & 1 \\`
		506
		507	`\end{array}`
		508	`\right]`
		509	`\end{equation}`
		510
		511	`Hodnost matice pozorovatelnosti je 1 a celkový systém proto není pozorovatelný.`
		512
		513
		514	`Ověříme řiditelnost systému`
		515
		516	`\begin{equation}`
		517	`C = \left[ \begin{array}{cc}`
		518	`B & AB \\`
		519	`\end{array}`
		520	`\right]=`
		521	`\left[ \begin{array}{cc}`
		522	`1 & 0 \\`
		523	`1 & 0 \\`
		524	`\end{array}`
		525	`\right]`
		526	`\end{equation}`
		527
		528	`Hodnost matice je pouze 1 a systém proto není řiditelný.`
		529
		530	`\item`
		531
		532	`Přenos systému ze vstupu $r_1$ na výstup $y_1$ je`
		533
		534	`\begin{equation}`
		535	`H(s)= C (sI - A)^{-1} B + D =`
		536	`\left[ \begin{array}{cc}`
		537	`-1 & 1 \\`
		538	`\end{array}`
		539	`\right]`
		540	`\left[ \begin{array}{cc}`
		541	`\frac{s-1}{s^2} & \frac{1}{s^2} \\`
		542	`\frac{-1}{s^2} & \frac{s+1}{s^2} \\`
		543	`\end{array}`
		544	`\right]`
		545	`\left[ \begin{array}{c}`
		546	`1 \\`
		547	`1 \\`
		548	`\end{array}`
		549	`\right]`
		550	`+ 1 = 1`
		551	`\end{equation}`
		552
		553	`\end{enumerate}`
		554
		555
		556
		557
		558
		559
		560
		561
		562
		563
		564
		565
		566
		567
		568	`\end{enumerate}`
		569
		570	`\end{document}`

Subversion Repositories svnkaklik

(root)//dokumenty/skolni/TDS/11uloha/kakonjak_reseni11.tex – Rev 1061