Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}

\usepackage[pdftex]{graphicx}

\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce

\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8

\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů

\usepackage{rotating}

\begin{document}

\section*{Řešení 7. zadané úlohy		-	 Jakub Kákona}

\begin{enumerate}

\item

Na základě fyzikálních procesů probíhajících v obvodu sestavíme stavové rovnice popisující systém:

\begin{equation}

v(t) = V_c(t) + v_R(t) = V_c(t) + Ri_c(t) = v_c(t) + RC \frac{dv_c(t)}{dt} 

\end{equation}

Napětí na obou větvích obvodu ale musí být stejné, proto zároven platí:

\begin{equation}

v(t) = V_L(t) + v_R(t) = Lv_L(t) + Ri_L(t) = L \frac{di_L(t)}{dt} + Ri_L(t) 

\end{equation}

Celkový proud obvodem pak je:

\begin{equation}

i(t) = i_C(t) + i_L(t) = \frac{v(t)-v_c(t)}{R} + i_L(t) 

\end{equation}

\begin{eqnarray}

y(t) =& i(t), \\

u(t) =& v(t), \\

x_1(t) =& v_C(t), \\

x_2(t) =& i_L(t), \\

u(t) =& x_1(t) + RC \dot{x_1}(t), \\

u(t) =& L \dot{x_2}(t) + R x_2(t), \\

y(t) =& \frac{1}{R} u(t) - \frac{1}{R} x_1(t) + x_2(t) \\

\end{eqnarray}

Stavový popis přepíšeme do maticového tvaru:

\begin{equation}

x(t) =

\left[ \begin{array}{cc}

- \frac{1}{RC} & 0 \\

\end{array}

\right] x(t) + 

\left[ \begin{array}{c}

\frac{1}{RC} \\

\frac{1}{L}

\end{array}

\right] u(t)

\end{equation}

\begin{equation}

y(t) =

\left[ \begin{array}{cc}

- \frac{1}{R} & 1 \\

\end{array}

\right] x(t) + 

\frac{1}{R} u(t)

\end{equation}

K určení impulzní odezvy potřebujeme přenos systému 

\begin{eqnarray}

H(s) =& C [sI - A]^{-1} B + D \\

H(s) =&  

\left[ \begin{array}{cc}

- \frac{1}{R} & 1 \\

\end{array}

\right]

\left[ \begin{array}{cc}

s + \frac{1}{RC} & 0 \\

\end{array}

\right]^{-1}

\left[ \begin{array}{c}

\frac{1}{RC} \\

\frac{1}{L} \\

\end{array}

\right] + \frac{1}{R} \\

H(s) =& - \frac{1}{R^2 C (s + RC)} + \frac{1}{L(s +\frac{R}{L})} + \frac{1}{R}

\end{eqnarray}

Z přenosu zjistíme impulzní odezvu:

\begin{equation}

h(t) = L^{-1} \left\{ H(s) \right\}

\end{equation}

Do popisu systému dosadíme předpoklad $\frac{1}{RC} = \frac{R}{L}$

Tím získáme následující tvar stavového popisu: 

\begin{equation}

x(t) =

\left[ \begin{array}{cc}

- \frac{R}{L} & 0 \\

\end{array}

\right] x(t) + 

\left[ \begin{array}{c}

\frac{R}{L} \\

\frac{1}{L}

\end{array}

\right] u(t)

\end{equation}

\begin{equation}

y(t) =

\left[ \begin{array}{cc}

- \frac{1}{R} & 1 \\

\end{array}

\right] x(t) + 

\frac{1}{R} u(t)

\end{equation}

K převodu do Kalmanova tvaru potřebujeme matici řiditelnosti a pozorovatelnosti

\begin{equation}

C = \left[ B, AB \right] =

\left[ \begin{array}{cc}

\frac{R}{L} &  - \frac{R^2}{L^2} \\

\frac{1}{L} & - \frac{R}{L^2}

\end{array}

\right]

\end{equation}

\begin{equation}

O = \left[ \begin{array}{c}

C \\

AC \\

\end{array}

\right] =

\left[ \begin{array}{cc}

- \frac{1}{R} &  1 \\

\frac{1}{L} & - \frac{R}{L}

\end{array}

\right]

\end{equation}

Hodnost obou matic je 1. 

Určíme jádro matice O. 

\begin{eqnarray}

\left[ \begin{array}{cc}

- \frac{1}{R} &  1 \\

\frac{1}{L} & - \frac{R}{L}

\end{array}

\right]

\left[ \begin{array}{c}

a \\

b \\

\end{array}

\right] =& 0 \\

\frac{1}{R} + b =& 0 \\

\frac{1}{L}a - \frac{R}{L} b =& 0 \\

b =& 1\\

a =& R

\end{eqnarray}

Jádrem matice je proto jeden vektor $ker(O)=\left[ \begin{array}{c}

R \\

1 \\

\end{array}

\right]$ 

Nyní můžeme sestavit transformační matici Q. 

\begin{equation}

Q = [v_1, Q_n] = 

\left[ \begin{array}{cc}

R & 1 \\

1 & 0 \\

\end{array}

\right]

\end{equation}

Nyní lze určit Kalmanovu formu matic 

\begin{equation}

\tilde{A}= Q^{-1} A Q =

\left[ \begin{array}{cc}

-1 & R \\

\end{array}

\right]

\left[ \begin{array}{cc}

-\frac{R}{L} & 0 \\

\end{array}

\right]

\left[ \begin{array}{cc}

-\frac{R}{L} & 0 \\

\end{array}

\right]

=\left[ \begin{array}{ccc}

\frac{R}{L} & 0 \\

\end{array}

\right] 

\end{equation}

\begin{equation}

\tilde{B}= Q^{-1} B =

\left[ \begin{array}{c}

- \frac{1}{L} \\

\end{array}

\right] 

\end{equation}

\begin{equation}

\tilde{C}= CQ =

\left[ \begin{array}{cc}

\end{array}

\right]

\end{equation}

\begin{equation}

\tilde{D}= D =

\frac{1}{R}

\end{equation}

Vlastní čísla matice $\tilde{A}$ jsou pak dvojnásobná s hodnotou $- \frac{R}{L}$ jedno z nich je pak řiditelné a nepozorovatelné a druhé neřiditelné a nepozorovatelné. 

Přenos systému zapsaný na základě Kalmanova tvaru je:

\begin{eqnarray}

\tilde{H}(s) =& \tilde{C} [sI - \tilde{A}]^{-1} \tilde{B} + \tilde{D} \\

\tilde{H}(s) =&  

\left[ \begin{array}{cc}

\end{array}

\right]

\left[ \begin{array}{cc}

s - \frac{R}{L} & 0 \\

\end{array}

\right]^{-1}

\left[ \begin{array}{c}

-\frac{1}{L} \\

\end{array}

\right] + \frac{1}{R} \\

\tilde{H}(s) =& \frac{1}{R}

\end{eqnarray}

Impulzní odezva pak je: 

\begin{equation}

\tilde{h}(t) = L^{-1} \left\{ \tilde{H}(s) \right\} = \frac{1}{R} \sigma(t)

\end{equation}

\item

Zadanou matici přepíšeme do tvaru: 

\begin{equation}

H(s)= \frac{1}{d(s)} N(s) = \frac{1}{s(s+2)}

\left[ \begin{array}{ccc}

(s-1)(s+2) & 0 &  s(s-2) \\

\end{array}

\right]

\end{equation}

Matici $N(s)$ je třeba převést do Smithova tvaru

\begin{equation}

S_N(s)= 

\left[ \begin{array}{ccc}

\epsilon _1 (s) & 0 &  0 \\

\end{array}

\right]

\end{equation}

Kde $ \epsilon _i (s) = \frac{D_i (s)}{D_{i-1} (s)}$

\begin{equation}

D_0(s) = 1 , D_1(s) = 1, D_2(s) = (s+1)(s+2)

\end{equation}

Smithova forma matice má pak tvar. 

\begin{equation}

S_N(s)= 

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & 0 &  0 \\

\end{array}

\right]

\end{equation}

To ještě doupravíme na Smith-McMillanovu formu:

\begin{equation}

SM_H(s)= \frac{1}{d(s)} S_N(s)=

\left[ \begin{array}{ccc}

\frac{\epsilon _1 (s)}{\psi _1 (s)} & 0 &  0 \\

\end{array}

\right]=

\left[ \begin{array}{ccc}

\frac{1}{s(s+2)} & 0 &  0 \\

\end{array}

\right]

\end{equation}

Póly $H(s)$ zjistíme z kořenů polynomu 

\begin{equation}

P_H(s) = \psi _1(s) \psi _2 (s) = s^2 (s+2). 

\end{equation}

Tedy 0, 0, -2. 

A nuly jsou kořeny polynomu 

\begin{equation}

Z_H(s) = \epsilon _1(s) \epsilon _2 (s) = s+1. 

\end{equation}

Nula proto je v -1.

\item

Budeme potřebovat "systémovou matici"

\begin{equation}

P(s)= 

\left[ \begin{array}{cc}

sI-A &  B \\

-C &  D \\

\end{array}

\right]=

\left[ \begin{array}{cccc}

s-1 &  -1 & 0 & 1 \\

\end{array}

\right]

\end{equation}

Tuto matici ale potřebujeme spíše ve Smithově tvaru. 

\begin{equation}

S_P(s)= 

\left[ \begin{array}{cccc}

1 &  0 & 0 & 0 \\

\end{array}

\right]

\end{equation}

Invariantní nuly najdeme řešením polynomu $z^I _P (s) = \epsilon _1 (s) \epsilon _2 (s) \epsilon _3  (s) \epsilon _4 (s) = (s-1)^3$. Invariantní nulou jeproto trojnásobná 1. 

\end{enumerate} 

\end{document}