| 1054 |
kaklik |
1 |
\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
\usepackage[czech]{babel}
|
|
|
4 |
\usepackage[pdftex]{graphicx}
|
|
|
5 |
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
|
|
|
6 |
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
|
|
|
7 |
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
|
|
|
8 |
\usepackage{rotating}
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
\begin{document}
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
\section*{Řešení 8. zadané úlohy - Jakub Kákona}
|
|
|
13 |
|
|
|
14 |
\begin{enumerate}
|
|
|
15 |
|
|
|
16 |
\item
|
|
|
17 |
|
|
|
18 |
\begin{enumerate}
|
|
|
19 |
\item
|
|
|
20 |
|
|
|
21 |
Pro ověření minimální realizace si vytvoříme duální systém
|
|
|
22 |
|
|
|
23 |
\begin{equation}
|
|
|
24 |
\tilde{A} = A^T =
|
|
|
25 |
\left[ \begin{array}{cccc}
|
|
|
26 |
|
|
|
27 |
1 & 0 & 0 & -4 \\
|
|
|
28 |
|
|
|
29 |
|
|
|
30 |
\end{array}
|
|
|
31 |
\right]
|
|
|
32 |
\end{equation}
|
|
|
33 |
|
|
|
34 |
\begin{equation}
|
|
|
35 |
\tilde{B} = C^T =
|
|
|
36 |
\left[ \begin{array}{c}
|
|
|
37 |
c_1 \\
|
|
|
38 |
c_2 \\
|
|
|
39 |
1 \\
|
|
|
40 |
|
|
|
41 |
\end{array}
|
|
|
42 |
\right]
|
|
|
43 |
\end{equation}
|
|
|
44 |
|
|
|
45 |
\begin{equation}
|
|
|
46 |
\tilde{C} = B^T =
|
|
|
47 |
\left[ \begin{array}{cccc}
|
|
|
48 |
|
|
|
49 |
\end{array}
|
|
|
50 |
\right]
|
|
|
51 |
\end{equation}
|
|
|
52 |
|
|
|
53 |
Minimálnost realizace pak prověříme z duálního systému zjištěním hodnosti matice řiditelnosti.
|
|
|
54 |
|
|
|
55 |
\begin{equation}
|
|
|
56 |
C = \left[ \tilde{B}, \tilde{A} \tilde{B}, \tilde{A}^2 \tilde{B}, \tilde{A}^3 \tilde{B} \right]
|
|
|
57 |
\end{equation}
|
|
|
58 |
|
|
|
59 |
\begin{equation}
|
|
|
60 |
C =
|
|
|
61 |
\left[ \begin{array}{cccc}
|
|
|
62 |
c_1 & c_2 & 1 & 0 \\
|
|
|
63 |
c_2 & 1 & 0 & -c_1 - 4c_2 - 6 \\
|
|
|
64 |
1 & 0 & - c_1 - 4c_2 - 6 & 4c_1 + 15c_2 + 20 \\
|
|
|
65 |
|
|
|
66 |
\end{array}
|
|
|
67 |
\right]
|
|
|
68 |
\end{equation}
|
|
|
69 |
|
|
|
70 |
Pro splnění požadavku na realizaci systému, které nebude minimální, by bylo třeba najít takové $c_1, c_2$, aby hodnost matice řiditelnosti nebyla úplná.
|
|
|
71 |
|
|
|
72 |
\item
|
|
|
73 |
|
|
|
74 |
Pokud do realizace systému dosadíme $c_1 = 2, c_2 = 3$ tak matice řiditelnosti bude mít plnou hodnost 4.
|
|
|
75 |
|
|
|
76 |
Realizace systému se tedy chová jako minimální a není třeba provádět Kalmanovu dekompozici.
|
|
|
77 |
|
|
|
78 |
\item
|
|
|
79 |
|
|
|
80 |
Ano, je to možné. Realizace druhého řádu může ze systému vzniknout například ze dvou minimálních realizací.
|
|
|
81 |
|
|
|
82 |
\end{enumerate}
|
|
|
83 |
|
|
|
84 |
\item
|
|
|
85 |
|
|
|
86 |
\begin{enumerate}
|
|
|
87 |
\item
|
|
|
88 |
|
|
|
89 |
Určíme nejmenší společné jmenovatele jednotlivých sloupců. $(s+1)(s+2)$, $(s+1)(s+2)$
|
|
|
90 |
Oba jsou řádu 2. Rad řiditelné realizace je součet jejich stupňů. Tedy 4.
|
|
|
91 |
|
|
|
92 |
|
|
|
93 |
Podobným způsobem určíme řád pozorovatelné realizace, ale hledáme společné jmenovatele jednotlivých řádků. $(s+1)$ a $(s+1)(s+2)$. Celkový řád pozorovatelné realizace je proto 3.
|
|
|
94 |
|
|
|
95 |
\item
|
|
|
96 |
|
|
|
97 |
Protože stupeň obou společných jmenovatelů je dva, tak snížíme řiditelnou realizaci o stupeň 2. A systém v takové realizaci pak nebude řiditelný.
|
|
|
98 |
|
|
|
99 |
\item
|
|
|
100 |
|
|
|
101 |
Sledováním systému pouze na jednom z výstupů opět snižujeme řád pozorovatelné realizace o stupeň 1 nebo 2. Systém proto přestane být pozorovatelný.
|
|
|
102 |
|
|
|
103 |
\end{enumerate}
|
|
|
104 |
|
|
|
105 |
\end{enumerate}
|
|
|
106 |
\end{document}
|