Subversion Repositories svnkaklik

Rev

Details | Last modification | View Log

Rev Author Line No. Line
608 kaklik 1
\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
2
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
3
\usepackage[utf8]{inputenc}
4
\usepackage[czech]{babel}
5
\usepackage{graphicx}
6
\textwidth 16cm \textheight 24.6cm
7
\topmargin -1.3cm 
8
\oddsidemargin 0cm
9
\pagestyle{empty}
10
\begin{document}
11
\title{Cavendishův experiment}
12
\author{Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz}
13
\date{9.11.2009}
14
\maketitle
15
\thispagestyle{empty}
16
\begin{abstract}
17
 
18
\end{abstract}
19
\section{Úvod}
20
\begin{enumerate}
611 kaklik 21
\item Odvoďte vztah pro výpočet chyby měření.
608 kaklik 22
\item Zkontrolujte měřící aparaturu.
23
\item Dynamickou metodou změřte časový průběh torzních kmitů kyvadla v obou možných pozicích olověných koulí.
24
\item Naměřenou závislost nafitujte funkcí a zjistěte její fyzikální parametry.
25
\item Z takto získaných údajů dopočítejte gravitační konstantu a její chybu.
26
\item Výsledek srovnejte s tabulkovou hodnotou gravitační konstanty. 
27
\end{enumerate}
28
 
29
\section{Postup měření}
611 kaklik 30
Měření silového momentu, kterým působí dvě olověné koule na torzní kyvadlo jsme provedli tak, že koule byly nejprve umístěny křížem v blízkosti hmotností na koncích torzního kyvadla tak, aby na kyvadlo působili maximálním silovým momentem způsobeným gravitačním přitahováním. Následně jsme změřili střední polohu kyvadla dynamickou metodou. A koule prohodili tak, aby nyní působily svým silovým momentem na opačnou stranu. Po opětovném změření střední polohy jsme nyní dokázali určit silový moment, kterým koule působí na kyvadlo. Obrázky dobře popisující tento postup, jsou ve zdroji \cite{Cavendish}. Při měření bylo také důležité odstranit z aparatury elektrický náboj, který by značně ovlivňoval měření, neboť elektrická síla je nesrovnatelně  větší než síla gravitační. Tento problém jsme ale vyřešili uzemněním celého přístroje k vodovodnímu potrubí.
608 kaklik 31
 
32
\begin{figure}
33
\includegraphics[width=150mm]{./poloha1.pdf} 
611 kaklik 34
\caption{Časový průběh výchylky torzního kyvadla v 1. pozici koulí.}
608 kaklik 35
\end{figure}
36
 
37
\begin{figure}
38
\includegraphics[width=150mm]{./poloha2.pdf} 
611 kaklik 39
\caption{Časový průběh výchylky torzního kyvadla v 2. pozici koulí.}
608 kaklik 40
\end{figure}
41
 
42
Fitem naměřených dat funkcí
43
\begin{equation}
610 kaklik 44
x=A \exp (- \delta t) \sin(2 \cdot \pi /T + \varphi)
608 kaklik 45
\end{equation}
46
 
47
Jsme dostali žádané fyzikální parametry potřebné pro výpočet gravitační konstanty.
48
 
609 kaklik 49
\begin{table}
50
\begin{center}
51
\begin{tabular}{|c|c|}
52
\hline
53
A [mm] & 429.751 \pm 2.133 \\ \hline
54
\delta & 0.000470283 \pm 7.339e-06 \\ \hline
55
T [s] & 497.817 \pm 0.3167 \\ \hline
56
\varphi [rad] & -0.634433 \pm 0.005027 \\ \hline
57
s [mm] & 1062.89 \pm 0.6162 \\ \hline
58
\end{tabular}
611 kaklik 59
\caption{Vypočtené hodnoty pro první pozici koulí.}
609 kaklik 60
\end{center}
61
\end{table} 
608 kaklik 62
 
609 kaklik 63
\begin{table}
64
\begin{center}
65
\begin{tabular}{|c|c|}
66
\hline
67
A [mm] & 254.373 \pm 0.4389 \\ \hline
68
\delta & 0.000457669 \pm 2.783e-06 \\ \hline
69
T [s]& 498.212 \pm 0.1441 \\ \hline
70
\varphi [rad] & -2.72838 \pm -2.72838 \\ \hline
71
s [mm]&  961.297 \pm 0.1507 \\ \hline
72
\end{tabular}
611 kaklik 73
\caption{Vypočtené hodnoty pro druhou pozici koulí.}
609 kaklik 74
\end{center}
75
\end{table} 
608 kaklik 76
 
611 kaklik 77
K výpočtu je ale nutné znát ještě i některé parametry aparatury.              Jako hmotnosti závaží 1.25kg , délku ramena laserového paprsku 6m poloměr kuliček na torzním kyvadle 9.55mm poloměr vnějších kouli působících na kyvadlo 50mm a délky ramena torzního kyvadla 46.5mm.
608 kaklik 78
 
611 kaklik 79
Všechny tyto hodnot jsme dosadili do odvozeného vzorce
609 kaklik 80
\begin{equation}
610 kaklik 81
G=\frac{\pi^2 b^2 s}{T^2 m_2 L} \cdot \frac{d^2 + \frac{5}{2} r^2}{d (1-\beta)} \qquad \beta = \frac{b^3}{(b^2 + 4d^2)^\frac{3}{2}}
609 kaklik 82
\end{equation}
608 kaklik 83
 
611 kaklik 84
Konečným cílem pak bylo pomocí této gravitační konstanty spočítat hmotnost Země. Za tímto účelem jsme Zemi aproximovali dokonalou koulí. O poloměru r=6372,796km s gravitačním zrychlením u povrchu g=9,81m/s. Výpočtem nám vyšla hmotnost Země m_z=(6.21 \pm 0.06 \cdot 10^{24} kg)  
608 kaklik 85
 
609 kaklik 86
 
608 kaklik 87
\section{Diskuse}
611 kaklik 88
Při porovnání našich výsledků s tabulkovou hodnotou $G = (6.67428 \pm 0.00067) * 10^-11 m^2 / kg s^2 $ se ukázalo, že námi naměřená hodnota $G = (6.41 \pm 0.04) * 10^-11 m^2 / kg s^2 $ se liší o 3.93\%. Což je pro mne osobně docela velkým překvapením, protože jsem netušil, že lze gravitační konstantu těmito prostředky vůbec změřit a natož s takovou přesností. Fakt, že se tabulková hodnota nevejde do našeho výsledku včetně chyby bych přisuzoval tomu, že naše měření mohlo být zatíženo nějakou systematickou chybou, které jsme nevěnovali dostatečnou pozornost. Například by to mohla být příliš velká prodleva při přehazování koulí z jedné do druhé polohy. Nějaká teplotní změna a podobně.    
608 kaklik 89
 
90
\section{Závěr}
611 kaklik 91
Pomocí torzních vah jsme úspěšně určili gravitační konstantu $\kappa = (6.41 \pm 0.04) \cdot 10^{-11} m^3 / kg  s^2 $ s chybou 4\% oproti tabulkové hodnotě.
608 kaklik 92
 
93
\begin{thebibliography}{99}
611 kaklik 94
\bibitem{Cavendish}{Zadání úlohy 1 - Cavendishův experiment}\\.\href{http://rumcajs.fjfi.cvut.cz/fyzport/FundKonst/Cavendish/cav.pdf}{http://rumcajs.fjfi.cvut.cz/fyzport/FundKonst/Cavendish/cav.pdf}
608 kaklik 95
\end{thebibliography}
96
\end{document}