Subversion Repositories svnkaklik

Rev

Details | Last modification | View Log

Rev Author Line No. Line
591 kaklik 1
\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
2
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
3
\usepackage[utf8]{inputenc}
4
\usepackage[czech]{babel}
5
\usepackage{graphicx}
6
\textwidth 16cm \textheight 24.6cm
7
\topmargin -1.3cm 
8
\oddsidemargin 0cm
9
\pagestyle{empty}
10
\begin{document}
11
\title{Harmonické oscilátory}
12
\author{Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz}
13
\date{}
14
\maketitle
15
\thispagestyle{empty}
16
\begin{abstract}
17
Tato úloha se zabývá měřením rezonančních vlastností mechanických tlumených i netlumených oscilátorů. 
18
\end{abstract}
19
\section{Úvod}
592 kaklik 20
\begin{enumerate}
591 kaklik 21
 
592 kaklik 22
\item Změřte tuhost pružiny statickou metodou a vypočtěte úhlovou frekvenci (včetně celkové chyby určení), se kterou bude soustava kmitat kolem rovnovážné polohy s Vámi zvoleným závažím. Odhadněte, s jakou chybou jste schopen prodloužení pružiny měřit a vypočtěte minimální hmotnost závaží, které musíte k prodloužení použit, aby jste dosáhl relativní chyby měření tuhosti pružiny 50\%. Chybu měření hmotnosti závaží $\Delta m$ považujte za nulovou.
591 kaklik 23
 
592 kaklik 24
\item Změřte úhlovou frekvenci kmitů pružiny dynamickou metodou. Rozhodněte, jestli pro výpočet úhlové frekvence je nutné použít vztah
25
\begin{eqnarray}\omega=\sqrt{\omega_{0}^2 - \delta^2}, \end{eqnarray}
26
tj. jestli je útlum tak velký, že překonává chybu měření.
27
 
28
\item Změřte koeficienty tlumení $\delta$ pro 2 konfigurace tlumících magnetů. Ověřte přiton platnost vztahu (1).
29
 
30
\item Naměřte závislost amplitudy a fázového posunu kmitů pružiny oproti budící síle na úhlové frekvenci budící síly.
31
 
32
\item Závislost amplitudy A kmitů na úhlové frekvenci budící síly $\Omega$ vyneste do grafu, nafitujte tuto závislost funkcí
33
\begin{equation}A=\sqrt{\omega_{0}^2 - \delta^2}, \end{equation}
34
z této funkce pak určete vlastní frekvenci $\omega_0$ a útlum $\delta$ a určete pomocí vztahu
35
\begin{equation}\omega_{REZ}=\sqrt{\omega_{0}^2 - 2\delta^2}, \end{equation}
593 kaklik 36
hodnotu rezonanční frekvence $\Omega_{REZ}.$ Proč nelze použít měření rezonanční křivky k určení vlastní frekvence kriticky tlumených systémů?
592 kaklik 37
 
38
\item Závislost fázového posunu  kmitů pružiny $\theta$ na úhlové frekvenci budící síly $\omega$ vyneste do grafu, nafitujte tuto závislost funkcí
39
\begin{equation}\theta=arctan \left( \frac{\omega_{0}^2 - \Omega^2}{2\delta\Omega}\right). \end{equation}
40
Mejte na paměti, že tento vztah platí pro fázový posun v radiánech. Z nafitované funkce pak opět určete vlastní úhlovou frekvenci a útlum systému.
41
 
42
\item Srovnejte výsledky měření pro vlastní úhlovou frekvenci z úkolů 1,2,5 a 6. Které měření považujete za nejpřesnější a naopak?
43
 
44
\item Změřte tuhost pružiny Pohlova kyvadla.
45
 
46
\item Naměřte časový vývoj výchylky kmitů kyvadla pro netlumené kmity. Za použití výsledku tohoto a minulého úkolu vypočítejte moment setrvačnosti kyvadla I.
47
 
48
\item Změřte koeficient útlumu pro několik zvolených hodnot tlumícího proudu. Závislost vyneste do grafu.
49
 
50
\item Extrapolací určete hodnotu tlumícího proudu, při kterém dochází ke kritickému tlumení. Nastavte tuto hodnotu, změřte průběh při rychlostní a polohové počáteční podmínce a ověřte, že je kyvadlo skutečně kriticky tlumeno.
51
\end{enumerate}
52
 
591 kaklik 53
\section{Postup měření}
593 kaklik 54
\subsection*{Gravitační oscilátor}
55
Nejdříve bylo nutné začít změřením tyhosti pružiny na laboratorním oscilátoru. Ten to úkol jsme vyřešili zavěšením dvou různých závaží na pružinu. První závaží mělo hmotnost 48,62g a pružinu natáhlo o 4cm druhé 87,6g o 7cm z těchto hodnot jsme určili tuhost pružiny  11,92 a 12,28 N/m. 
591 kaklik 56
 
593 kaklik 57
Výpočtem pro případ zavěšeného měřítka a závaží 48,62g nám dále vyšla úhlová frekvence 15,21 rad/s. A při změření kmitů a jejich nafitování funkcí
58
\begin{equation}
59
x=A \exp (- \delta t) \sin(\omega t + \varphi)
60
\end{equation}
61
 
62
Nám vyšla úhlová frekvence $\omega = 15,18 [rad/s]$ Výsledek fitu je vidět na grafu. %\ref{oscilator}%. 
63
 
591 kaklik 64
\begin{figure}
65
\begin{center}
593 kaklik 66
\includegraphics[width=150mm]{osc2.pdf} 
67
\end{center}
68
\label{oscilator}
69
\caption{Oscilace s $\omega = 15,18 [rad/s]$ koeficientem tlumení $\delta = 0,34 $ }
70
\end{figure}
71
 
72
Dále jsme chtěli změřit fázovou a amplitudovou charakteristiku kmitů. Data z tohoto měření jsou ale díky použité metodě snímaní kamerou poněkud nekvalitní a vyžadují náročnější zpracovaní, které jsem nestihl realizovat.   
73
 
74
\subsection*{Pohlovo Kyvadlo}
75
Nejdříve jsme změřili tuhost pružiny v kyvadle a podobným způsobem, jako v předešlém měření gravitačního oscilátoru. S tím rozdílem, že bylo použito jedno závaží o hmotnosti 40,3g ,které stočilo pružinu o 14,9 jednotek na kotouči kyvadla.
76
 
77
Následně jsmě změřili kmity pro netlumené kyvadlo a pro několik případů tlumení. Náš výsledek ilustrují následující grafy %\ref{pohl_netlumeny}, \ref{Tlumeni_pohl700} a závislost tlumení na velikosti proudu v tlumících cívkách \ref{Tlumeni_pohl}%
78
. Úkolem bylo také spočítat moment setrvačnosti ten  při znalosti záteže a poloměru kyvadla 93,9 mm vychází na $3,4*10^{-4} kg/m^2$ .
79
 
80
 
81
\begin{figure}
82
\begin{center}
83
\includegraphics[width=150mm]{pohl0.pdf} 
84
\end{center}
85
\label{pohl_netlumeny}
86
\caption{Časový vývoj výchylky "netlumeného" Pohlova kyvadla}
87
\end{figure}
88
 
89
 
90
\begin{figure}
91
\begin{center}
92
\includegraphics[width=150mm]{pohl700.pdf} 
93
\end{center}
94
\label{Tlumeni_pohl700}
95
\caption{Kmity tlumeného Pohlova kyvadla při proudu tlumící cívkou 700mA}
96
\end{figure}
97
 
98
\begin{figure}
99
\begin{center}
591 kaklik 100
\includegraphics[width=150mm]{polh_tlum.pdf} 
101
\end{center}
593 kaklik 102
\label{Tlumeni_pohl}
591 kaklik 103
\caption{Závislost tlumení na velikosti proudu v tlumící cívce.}
104
\end{figure}
105
 
106
\section{Diskuse}
593 kaklik 107
Při měření bylo největším problémem zprovoznění snímací "kamery" od které není nikde ani běžně dostupný popis principu měření. Následkem toho nám sestavení experimentu trvalo neúměrně dlouho. A neprobihalo, tak jak jsme si predstavovali z pripravy. 
592 kaklik 108
 
591 kaklik 109
\section*{Závěr}
593 kaklik 110
Měření oscilací nepřineslo překvapivé výsledky které by nesouhlasily s analytickým popisem měřených soustav. A došlo tak jenom k jejich dalšímu potvrzení.  
591 kaklik 111
 
112
\begin{thebibliography}{99}
593 kaklik 113
\bibitem{oscilace}{Zadání úlohy 10 - Harmonické oscilace}. \href{http://rumcajs.fjfi.cvut.cz/fyzport/Mechanika/HarmOscilator/osc.pdf}{http://rumcajs.fjfi.cvut.cz/fyzport/Mechanika/HarmOscilator/osc.pdf}.
114
\bibitem{pohl_kyv}{Pohlovo torzni kyvadlo}. \href{http://praktika.fjfi.cvut.cz/PohlKyv}{http://praktika.fjfi.cvut.cz/PohlKyv}
591 kaklik 115
\end{thebibliography}
116
\end{document}