| 591 |
kaklik |
1 |
\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
|
|
|
2 |
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
|
|
|
3 |
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
|
|
4 |
\usepackage[czech]{babel}
|
|
|
5 |
\usepackage{graphicx}
|
|
|
6 |
\textwidth 16cm \textheight 24.6cm
|
|
|
7 |
\topmargin -1.3cm
|
|
|
8 |
\oddsidemargin 0cm
|
|
|
9 |
\pagestyle{empty}
|
|
|
10 |
\begin{document}
|
|
|
11 |
\title{Harmonické oscilátory}
|
|
|
12 |
\author{Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz}
|
|
|
13 |
\date{}
|
|
|
14 |
\maketitle
|
|
|
15 |
\thispagestyle{empty}
|
|
|
16 |
\begin{abstract}
|
|
|
17 |
Tato úloha se zabývá měřením rezonančních vlastností mechanických tlumených i netlumených oscilátorů.
|
|
|
18 |
\end{abstract}
|
|
|
19 |
\section{Úvod}
|
| 592 |
kaklik |
20 |
\begin{enumerate}
|
| 591 |
kaklik |
21 |
|
| 592 |
kaklik |
22 |
\item Změřte tuhost pružiny statickou metodou a vypočtěte úhlovou frekvenci (včetně celkové chyby určení), se kterou bude soustava kmitat kolem rovnovážné polohy s Vámi zvoleným závažím. Odhadněte, s jakou chybou jste schopen prodloužení pružiny měřit a vypočtěte minimální hmotnost závaží, které musíte k prodloužení použit, aby jste dosáhl relativní chyby měření tuhosti pružiny 50\%. Chybu měření hmotnosti závaží $\Delta m$ považujte za nulovou.
|
| 591 |
kaklik |
23 |
|
| 592 |
kaklik |
24 |
\item Změřte úhlovou frekvenci kmitů pružiny dynamickou metodou. Rozhodněte, jestli pro výpočet úhlové frekvence je nutné použít vztah
|
|
|
25 |
\begin{eqnarray}\omega=\sqrt{\omega_{0}^2 - \delta^2}, \end{eqnarray}
|
|
|
26 |
tj. jestli je útlum tak velký, že překonává chybu měření.
|
|
|
27 |
|
|
|
28 |
\item Změřte koeficienty tlumení $\delta$ pro 2 konfigurace tlumících magnetů. Ověřte přiton platnost vztahu (1).
|
|
|
29 |
|
|
|
30 |
\item Naměřte závislost amplitudy a fázového posunu kmitů pružiny oproti budící síle na úhlové frekvenci budící síly.
|
|
|
31 |
|
|
|
32 |
\item Závislost amplitudy A kmitů na úhlové frekvenci budící síly $\Omega$ vyneste do grafu, nafitujte tuto závislost funkcí
|
|
|
33 |
\begin{equation}A=\sqrt{\omega_{0}^2 - \delta^2}, \end{equation}
|
|
|
34 |
z této funkce pak určete vlastní frekvenci $\omega_0$ a útlum $\delta$ a určete pomocí vztahu
|
|
|
35 |
\begin{equation}\omega_{REZ}=\sqrt{\omega_{0}^2 - 2\delta^2}, \end{equation}
|
| 593 |
kaklik |
36 |
hodnotu rezonanční frekvence $\Omega_{REZ}.$ Proč nelze použít měření rezonanční křivky k určení vlastní frekvence kriticky tlumených systémů?
|
| 592 |
kaklik |
37 |
|
|
|
38 |
\item Závislost fázového posunu kmitů pružiny $\theta$ na úhlové frekvenci budící síly $\omega$ vyneste do grafu, nafitujte tuto závislost funkcí
|
|
|
39 |
\begin{equation}\theta=arctan \left( \frac{\omega_{0}^2 - \Omega^2}{2\delta\Omega}\right). \end{equation}
|
|
|
40 |
Mejte na paměti, že tento vztah platí pro fázový posun v radiánech. Z nafitované funkce pak opět určete vlastní úhlovou frekvenci a útlum systému.
|
|
|
41 |
|
|
|
42 |
\item Srovnejte výsledky měření pro vlastní úhlovou frekvenci z úkolů 1,2,5 a 6. Které měření považujete za nejpřesnější a naopak?
|
|
|
43 |
|
|
|
44 |
\item Změřte tuhost pružiny Pohlova kyvadla.
|
|
|
45 |
|
|
|
46 |
\item Naměřte časový vývoj výchylky kmitů kyvadla pro netlumené kmity. Za použití výsledku tohoto a minulého úkolu vypočítejte moment setrvačnosti kyvadla I.
|
|
|
47 |
|
|
|
48 |
\item Změřte koeficient útlumu pro několik zvolených hodnot tlumícího proudu. Závislost vyneste do grafu.
|
|
|
49 |
|
|
|
50 |
\item Extrapolací určete hodnotu tlumícího proudu, při kterém dochází ke kritickému tlumení. Nastavte tuto hodnotu, změřte průběh při rychlostní a polohové počáteční podmínce a ověřte, že je kyvadlo skutečně kriticky tlumeno.
|
|
|
51 |
\end{enumerate}
|
|
|
52 |
|
| 591 |
kaklik |
53 |
\section{Postup měření}
|
| 593 |
kaklik |
54 |
\subsection*{Gravitační oscilátor}
|
|
|
55 |
Nejdříve bylo nutné začít změřením tyhosti pružiny na laboratorním oscilátoru. Ten to úkol jsme vyřešili zavěšením dvou různých závaží na pružinu. První závaží mělo hmotnost 48,62g a pružinu natáhlo o 4cm druhé 87,6g o 7cm z těchto hodnot jsme určili tuhost pružiny 11,92 a 12,28 N/m.
|
| 591 |
kaklik |
56 |
|
| 593 |
kaklik |
57 |
Výpočtem pro případ zavěšeného měřítka a závaží 48,62g nám dále vyšla úhlová frekvence 15,21 rad/s. A při změření kmitů a jejich nafitování funkcí
|
|
|
58 |
\begin{equation}
|
|
|
59 |
x=A \exp (- \delta t) \sin(\omega t + \varphi)
|
|
|
60 |
\end{equation}
|
|
|
61 |
|
|
|
62 |
Nám vyšla úhlová frekvence $\omega = 15,18 [rad/s]$ Výsledek fitu je vidět na grafu. %\ref{oscilator}%.
|
|
|
63 |
|
| 591 |
kaklik |
64 |
\begin{figure}
|
|
|
65 |
\begin{center}
|
| 593 |
kaklik |
66 |
\includegraphics[width=150mm]{osc2.pdf}
|
|
|
67 |
\end{center}
|
|
|
68 |
\label{oscilator}
|
|
|
69 |
\caption{Oscilace s $\omega = 15,18 [rad/s]$ koeficientem tlumení $\delta = 0,34 $ }
|
|
|
70 |
\end{figure}
|
|
|
71 |
|
|
|
72 |
Dále jsme chtěli změřit fázovou a amplitudovou charakteristiku kmitů. Data z tohoto měření jsou ale díky použité metodě snímaní kamerou poněkud nekvalitní a vyžadují náročnější zpracovaní, které jsem nestihl realizovat.
|
|
|
73 |
|
|
|
74 |
\subsection*{Pohlovo Kyvadlo}
|
|
|
75 |
Nejdříve jsme změřili tuhost pružiny v kyvadle a podobným způsobem, jako v předešlém měření gravitačního oscilátoru. S tím rozdílem, že bylo použito jedno závaží o hmotnosti 40,3g ,které stočilo pružinu o 14,9 jednotek na kotouči kyvadla.
|
|
|
76 |
|
|
|
77 |
Následně jsmě změřili kmity pro netlumené kyvadlo a pro několik případů tlumení. Náš výsledek ilustrují následující grafy %\ref{pohl_netlumeny}, \ref{Tlumeni_pohl700} a závislost tlumení na velikosti proudu v tlumících cívkách \ref{Tlumeni_pohl}%
|
|
|
78 |
. Úkolem bylo také spočítat moment setrvačnosti ten při znalosti záteže a poloměru kyvadla 93,9 mm vychází na $3,4*10^{-4} kg/m^2$ .
|
|
|
79 |
|
|
|
80 |
|
|
|
81 |
\begin{figure}
|
|
|
82 |
\begin{center}
|
|
|
83 |
\includegraphics[width=150mm]{pohl0.pdf}
|
|
|
84 |
\end{center}
|
|
|
85 |
\label{pohl_netlumeny}
|
|
|
86 |
\caption{Časový vývoj výchylky "netlumeného" Pohlova kyvadla}
|
|
|
87 |
\end{figure}
|
|
|
88 |
|
|
|
89 |
|
|
|
90 |
\begin{figure}
|
|
|
91 |
\begin{center}
|
|
|
92 |
\includegraphics[width=150mm]{pohl700.pdf}
|
|
|
93 |
\end{center}
|
|
|
94 |
\label{Tlumeni_pohl700}
|
|
|
95 |
\caption{Kmity tlumeného Pohlova kyvadla při proudu tlumící cívkou 700mA}
|
|
|
96 |
\end{figure}
|
|
|
97 |
|
|
|
98 |
\begin{figure}
|
|
|
99 |
\begin{center}
|
| 591 |
kaklik |
100 |
\includegraphics[width=150mm]{polh_tlum.pdf}
|
|
|
101 |
\end{center}
|
| 593 |
kaklik |
102 |
\label{Tlumeni_pohl}
|
| 591 |
kaklik |
103 |
\caption{Závislost tlumení na velikosti proudu v tlumící cívce.}
|
|
|
104 |
\end{figure}
|
|
|
105 |
|
|
|
106 |
\section{Diskuse}
|
| 593 |
kaklik |
107 |
Při měření bylo největším problémem zprovoznění snímací "kamery" od které není nikde ani běžně dostupný popis principu měření. Následkem toho nám sestavení experimentu trvalo neúměrně dlouho. A neprobihalo, tak jak jsme si predstavovali z pripravy.
|
| 592 |
kaklik |
108 |
|
| 591 |
kaklik |
109 |
\section*{Závěr}
|
| 593 |
kaklik |
110 |
Měření oscilací nepřineslo překvapivé výsledky které by nesouhlasily s analytickým popisem měřených soustav. A došlo tak jenom k jejich dalšímu potvrzení.
|
| 591 |
kaklik |
111 |
|
|
|
112 |
\begin{thebibliography}{99}
|
| 593 |
kaklik |
113 |
\bibitem{oscilace}{Zadání úlohy 10 - Harmonické oscilace}. \href{http://rumcajs.fjfi.cvut.cz/fyzport/Mechanika/HarmOscilator/osc.pdf}{http://rumcajs.fjfi.cvut.cz/fyzport/Mechanika/HarmOscilator/osc.pdf}.
|
|
|
114 |
\bibitem{pohl_kyv}{Pohlovo torzni kyvadlo}. \href{http://praktika.fjfi.cvut.cz/PohlKyv}{http://praktika.fjfi.cvut.cz/PohlKyv}
|
| 591 |
kaklik |
115 |
\end{thebibliography}
|
|
|
116 |
\end{document}
|