Subversion Repositories svnkaklik

Rev

Go to most recent revision | Details | Last modification | View Log

Rev Author Line No. Line
620 kaklik 1
\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
2
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
3
\usepackage[utf8]{inputenc}
4
\usepackage[czech]{babel}
5
\usepackage{graphicx}
6
\textwidth 16cm \textheight 24.6cm
7
\topmargin -1.3cm 
8
\oddsidemargin 0cm
9
\pagestyle{empty}
10
\begin{document}
11
\title{Určení Poissonovy konstanty vzduchu}
12
\author{Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz}
13
\date{30.11.2009}
14
\maketitle
15
\thispagestyle{empty}
16
\begin{abstract}
17
 
18
\end{abstract}
19
 
621 kaklik 20
\section{Pracovní úkoly}
620 kaklik 21
\begin{enumerate}
22
\item Změřte kompresí plynu objem baňky systému s kmitajícím pístkem.
23
\item Změřte Poissonovu konstantu metodou adiabatické expanze a současně metodou kmitajícího pístku.
24
\item Oba výsledky porovnejte. Výsledek metody kmitajícího pístku považujte za tabulkovou hodnotu Poissonovy konstanty.
621 kaklik 25
\item Jednolitrovou láhev zvažte prázdnou.
26
\item Jednolitrovou láhev zvažte plnou vody.
27
\item Z obou výsledků určete objem lahve.
28
\item Objem prázdné jednotlitrové lahve určete kompresí plynu.
29
\item Stejným postupem změřte objem hadičky spojující byretu s měřeným prostorem. Tuto hodnotu odečtěte od výsledku podle bodu 7.
30
 
620 kaklik 31
\end{enumerate}
32
 
33
\section{Úvod}
34
Poissonova konstanta $\kappa $ je poměr měrného tepla $C_{P}$ při stálém tlaku ke měrnému teplu $C_{V}$ při stálém objemu
35
\begin{displaymath} \kappa = \frac{C_P }{C_V }. \end{displaymath}
36
 
37
$\kappa $ má ve všech soustavách stejnou číselnou hodnotu. Pro všechny plyny je poměr specifických tepel $\kappa $ větší než 1 a závisí na počtu atomů v molekule plynu. Hodnotu $\kappa $ můžeme určit ze změny tlaku při adiabatickém ději, který je popsán Poissonovou rovnicí 
38
 
39
\begin{displaymath} pV^\kappa = konst. \end{displaymath}
40
 
41
kde $p$, $V$ jsou tlak a objem plynu.
42
 
43
Pro měření Poissonovy konstanty vzduchu jsme mimo jiné použili Clémentovu-Désormesovu metodu. Jejíž princip spočívá ve stlačení vzduchu ve velké báni, aby měl proti vnějšímu barometrickému tlaku $b$ přetlak $h$. Ten odečteme jako výškový rozdíl hladin otevřeného manometru, který je k báni připojen. Tlak vzduchu v báni je pak
44
\begin{displaymath} p_1 = b + h. \end{displaymath}
45
 
46
Příslušný objem vzduchu před adiabatickou expanzí je $V_{1}$, po adiabatické expanzi $V_{2}$. Teplotu plynu, která by měla být shodná s teplotou okolí báně rozumíme $T_{1}$. Vnitřek báně je od vnějšího vzduchu oddělen membránovým závěrem. Otevřeme-li jej dostatečně ale na velmi krátkou dobu, vyrovnají se tlaky uvnitř a vně na hodnotu barometrického tlaku $b$.
47
 
48
\begin{displaymath} p_2 = b. \end{displaymath}
49
 
50
Proběhne tedy adiabatická expanze vzduchu v báni z počátečních podmínek $V_{1}$, $T_{1}$, $p_{1}$ do stavu určeného veličinami $V_{2}$, $T_{2} \quad < T_{1}$, $p_{2}$ (kde $V_{2}$ je objem báně). Po dosti dlouhé době se teplota vzduchu v báni vyrovná na vnější teplotu $T_{1}$ a tlak přitom stoupne o přírůstek $ h'$, který změříme. Tato změna je izochorická. Celkový tlak je
51
\begin{displaymath} p_3 = b + h^I. \end{displaymath}
52
 
53
Pro první (adiabatickou) změnu stavu vzduchu dostaneme z Poissonovy rovnice za předpokladu, že vzduch můžeme považovat za ideální plyn,
54
\begin{displaymath} \frac{p_1 }{p_2 } = \left( {\frac{V_2 }{V_1 }} \right)^\kappa . \end{displaymath}
55
 
56
Změna ze stavu $V_{1}$, $T_{1}$, $p_{1}$ do stavu $V_{3}= V_{2}$, $T_{3} = T_{1}$, $p_{3}$ je izotermická a platí pro ni Boyle-Mariotteův zákon
57
\begin{displaymath} \frac{p_1 }{p_3 } = \frac{V_2 }{V_1 }. \end{displaymath}
58
 
59
Sloučíme-li předchozí rovnice dostaneme
60
\begin{displaymath} \kappa=\frac{log(b+h)-logb}{log(b+h)-log(b+h')} \end{displaymath}
61
 
62
Po odlogaritmování pak dostaneme výsledný vztah
63
 
64
\begin{displaymath} \kappa=\frac{h}{h-h'} \end{displaymath}
65
 
66
Který ovšem neuvažuje chybu způsobenou nenulovou dobou otevření ventilu. Z toho důvodu je přesnější vytvořit aparaturu pracující na analogickém principu a ale s definovanou dobou otevření ventilu.
67
Velice efektivním řešením tohoto problému je využít vlastností harmonických kmitů a uzávěr (píst) uvést do dynamické rovnováhy s protékajícím vzduchem. 
68
Pro takto zkonstruovanou aparaturu založenou na kmitajícím pístu lze odvodit vztah pro Poissonovu konstantu jako 
69
 
70
\begin{displaymath} \kappa=\frac{4mV}{T^2 pr^4} \end{displaymath}
71
 
72
\section{Postup měření}
621 kaklik 73
\subsection{Měření dutých objemů}
74
Dostali jsme za úkol změřit objem jisté zhruba jednolitrové lahve.  Lahev jsme proto připojili j plynové byretě a definovanou kompresí několika desítek $cm^3$ vzduchu jsme změřili její objem. Který i s přívodní hadičkou od byrety činil 1141,78 $cm^3$. K odečtení objemu hadičky byla využita stejná metoda s tím rozdílem, že jsme odpojili flašku a hadičku zašpuntovali.. Naměřili jsme tak objem hadičky 71,16 $cm^3$ po vzájemném odečtení těchto dvou objemů je výsledný objem lahve 1,07363 litru.
620 kaklik 75
 
621 kaklik 76
Druhou metodou kterou jsme vyzkoušeli bylo zvážení prázdné lahve (0,56 kg) a po jejím naplnění vodou o téže teplotě (25 $^\circ C)$ její opětovné zvážení (1,58 kg) protože známe hustotu vody při této teplotě 995,72 $kg/m^3$. Můžeme spočítat objem lahve 1,02438 litru.     
77
 
78
\subsection{Měření Poissonovy konstanty plynu}
620 kaklik 79
Během měření Poissonovy konstanty Clement-Desormesovo metodou jsme se snažili o maximální zkrácení času otevření ventilu, po krátkém tréninku bylo jasné, že nemá smysl dobu otevření snižovat pod mez zhruba 70ms neboť se nestačí dostatečně vyrovnat tlak v aparatuře s atmosférickým tlakem.
80
 
81
Uvedené výsledky jsou proto nad touto hranicí. Průměr z naměřených hodnot je $1,40 \pm 0,02$
82
 
83
\begin{table}[htbp]
84
\caption{Naměřené hodnoty Poissonovy konstanty Clement-Desormesovo metodou}
85
\begin{center}
86
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
87
\hline
88
h1 [mm] & t[ms] & h2 [mm] & t[ms] & $ \kappa $ \\ \hline
89
31,5 & 88 & 9,10 & 88 & 1,41 \\ \hline
90
31,2 & 85 & 9,00 & 85 & 1,41 \\ \hline
91
31,4 & 103 & 9,20 & 103 & 1,41 \\ \hline
92
31,2 & 130 & 8,70 & 130 & 1,39 \\ \hline
93
31,4 & 138 & 8,50 & 138 & 1,37 \\ \hline
94
\end{tabular}
95
\end{center}
96
\label{Clement-Desormes}
97
\end{table}
98
 
99
V celém průběhu měření jsme paralelně měřili Poissonovu konstantu i pomocí kmitajícího pístu. A tabulka \ref{Kmit} udává naměřená i vypočtená data, jako objem baňky jsme zvolili asistentem doporučený objem $0,001067 m^3$ jelikož ho nebylo možné změřit žádným z v návodu \cite{objemy} popsaných postupů. Průměrnou změřenou hodnotou je $1,29 \pm 0,03 $. Ostatní konstanty potřebné pro výpočet jsou převzaté z návodu k úloze. 
100
 
101
\begin{table}[htbp]
621 kaklik 102
\caption{Pocty period pistu v pěti minutovém měřícím intervalu a vypočtená hodnota Poissovnovy konstanty}
620 kaklik 103
\begin{center}
104
\begin{tabular}{|c|c|}
105
\hline
106
period & $\kappa$ \\ \hline
107
859 & 1,27 \\ \hline
108
862 & 1,28 \\ \hline
109
865 & 1,29 \\ \hline
110
863 & 1,29 \\ \hline
111
864 & 1,29 \\ \hline
112
865 & 1,29 \\ \hline
113
866 & 1,29 \\ \hline
114
867 & 1,30 \\ \hline
115
858 & 1,27 \\ \hline
116
862 & 1,28 \\ \hline
117
866 & 1,29 \\ \hline
118
870 & 1,31 \\ \hline
119
872 & 1,31 \\ \hline
120
\end{tabular}
121
\end{center}
122
\label{Kmit}
123
\end{table}
124
 
125
\section{Diskuse}
126
Z výsledků naměřených v chronologickém pořadí lze vypozorovat mírnou stabilní variaci v průběhu měření. Tento jev by mohl být způsoben buď změnou vlastností aparatury, nebo skutečně změnou složení vzduchu. Nejpravděpodobnější asi bude kombinace obou těchto jevů.  Kdy při měření metodou kmitajícího pístu může docházet k mírným změnám v průtoku vzduchu a navíc i doby po které čítač počítá kmity válečku nemusí být úplně časově ekvidistantní. Zřejmé také je, že v místnosti, která není příliš větraná se pohybuje značné množství lidí kteří souhrnně obohacují vzduch o víceatomové molekuly.. 
127
 
128
\section{Závěr}
129
Závěrem lze říci že hodnota Poissonovy konstanty vzduchu za běžných podmínek leží někde okolo hodnoty 1,35. Což je v  souladu s předpokladem, že vzduch obsahuje převážně dvou nebo více atomové plyny.  
130
 
131
\begin{thebibliography}{99}
132
\bibitem{objemy}{Měření dutých objemů vážením a kompresí plynu} \href{http://praktika.fjfi.cvut.cz/objemy/}{http://praktika.fjfi.cvut.cz/objemy/}
133
\end{thebibliography}
134
\end{document}