Subversion Repositories svnkaklik

Rev

Rev 748 | Details | Compare with Previous | Last modification | View Log

Rev Author Line No. Line
924 kaklik 1
\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}
2
 
748 kaklik 3
\usepackage[czech]{babel}
924 kaklik 4
\usepackage[pdftex]{graphicx}
5
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
6
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
7
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
8
\usepackage{rotating}
9
 
10
% Here it is: the code that adjusts justification and spacing around caption.
11
\makeatletter
12
% http://www.texnik.de/floats/caption.phtml
13
% This does spacing around caption.
14
\setlength{\abovecaptionskip}{2pt}   % 0.5cm as an example
15
\setlength{\belowcaptionskip}{2pt}   % 0.5cm as an example
16
% This does justification (left) of caption.
17
\long\def\@makecaption#1#2{%
18
\vskip\abovecaptionskip
19
\sbox\@tempboxa{#1: #2}%
20
\ifdim \wd\@tempboxa >\hsize
21
#1: #2\par
22
\else
23
\global \@minipagefalse
24
\hb@xt@\hsize{\box\@tempboxa\hfil}%
25
\fi
26
\vskip\belowcaptionskip}
27
\makeatother
28
 
29
 
748 kaklik 30
\begin{document}
31
 
924 kaklik 32
\pagestyle{empty} %nastavení stylu stránky
33
\def\tablename{\textbf {Tabulka}}
34
 
35
\begin {table}[tbp]
36
\begin {center}
37
\begin{tabular}{|l|l|}
38
\hline
39
\multicolumn{ 2}{|c|}{\Large \bfseries FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE \huge\strut} \\ \hline
40
\textbf{Datum měření:} {6.3.2011} & \textbf{Jméno:} {Jakub Kákona} \\ \hline
41
\textbf{Pracovní skupina:} {2} & \textbf{Hodina:} {Po 7:30} \\ \hline
42
\textbf{Spolupracovníci: Viktor Polák} {} & \textbf{Hodnocení:}  \\ \hline 
43
\end{tabular}
44
\end {center}
45
\end {table}
46
 
47
\begin{center} \Large{Úloha č.4: Balmerova série} \end{center}
48
 
748 kaklik 49
\begin{abstract}
924 kaklik 50
V tomto měření je cílem proměřit spektrum známé Balmerovy série vodíku a z naměřených vlnových délek určit hodnotu Rydbergovy konstanty. 
748 kaklik 51
\end{abstract}
52
 
53
\section{Úvod}
54
\begin{enumerate}
924 kaklik 55
 \item (Nepovinné) V přípravě nalezněte obecně pro $\alpha_1\neq\alpha_2$ podmínku nejmenší deviace $\alpha_1=\alpha_2$ a z toho odvoďte vzorec [12].
748 kaklik 56
      Návod:Uvědomte si, že deviace $\varepsilon$ je složenou funkcí $\alpha_1$: $\varepsilon=\varepsilon\left(\alpha_2\left(\beta_2\left(\beta_1(\alpha_1)\right)\right)\right)$
924 kaklik 57
   \item V přípravě odvoďte vzorec [12] v případě, že je splněna podmínka úhlu nejmenší deviace $\alpha_1=\alpha_2$.
58
   \item V přípravě vypočtěte (i numericky) hodnotu Rydberghovy konstanty (tj. odvoďte vztah [11] ze vztahů [6], [10] a [9].
59
   \item V přípravě odvoďte vzorce [14] a [17].
748 kaklik 60
   \item Metodou dělených svazků viz http://fyzport.fjfi.cvut.cz/Hardware/Goniometr/goniometr.pdf změřte lámavý úhel hranolu. Měření proveďte 4x.
924 kaklik 61
   \item Změřte index lomu hranolu v závislosti na vlnové délce pro čáry rtuťového spektra, nakreslete graf a fitováním nelineární funkcí [13] určete disperzní vztah n = n ($\lambda )$. 
62
   \item Změřte spektrum vodíkové výbojky (Balmerovu sérii atomu vodíku) a ověřte platnost vztahu [3].
748 kaklik 63
   \item Metodou nejmenších čtverců nebo fitováním spočtěte Rydbergovu konstantu pro atomární vodík. Výpočet té konstanty je analogický jako výpočet Planckovy konstanty v úloze Studium rentgenového spektra Mo anody. Podívejte se na úkol č. 4 této úlohy.
64
   \item Určete charakteristickou disperzi $\hbox{d}n/\hbox{d}\lambda$ v okolí vlnové délky 589 nm (žluté čáry v sodíkovém spektru).
65
  \item Určete rozlišovací schopnost hranolu pro sodíkový dublet a vypočítejte minimální velikost základny hranolu, vyrobeného ze stejného materiálu jako hranol, s kterým měříte, který je ještě schopen rozlišit sodíkový dublet.
924 kaklik 66
 
67
  \footnote{Čísla rovnic odkazují na čísla rovnic v zadání úlohy \cite{zadani}} 
748 kaklik 68
 
69
\end{enumerate}
70
 
924 kaklik 71
V našem případě použijeme jako energetický zdroj výbojku naplněnou vodními parami, které výboj rozkládá a vzniká tak atomární vodík. Výboj také vybuzuje vzniklé vodíkové atomy do vysokých energetických hladin, ze kterých se potom snaží přecházet do nižších stavů. Přechody elektronů jsou pak  doprovázené emisí fotonů příslušné energie. My se soustředíme na fotony viditelného světla a to jsou první čtyři čáry Balmerovy série. Spektrometr se v našem případě bude skládat z hranolu, který rozkládá viditelné světlo (díky lomu světla v disperzním prostředí) z výbojky na monochromatické paprsky. Goniometrem budeme měřit úhel, pod kterým se lámou jednotlivé vlnové délky průchodem skrz hranol, z úhlu pak na základě z disperzních vlastností hranolu určíme vlnovou délku spektrální čáry a poté na základě těchto výsledků měření ověříme Balmerův vzorec \ref{balmer} a spočteme Rydbergovu konstantu.
748 kaklik 72
 
73
\subsection{Lom světla hranolem}
74
 
75
Díky tomu, že optický hranol je materiál ohraničený dvěma různoběžnými rovinami - lámavými stěnami. Průsečnice lámavých stěn se nazývá lámavá hrana a úhel jimi sevřený lámavý úhel $\varphi$. Na hranol nechť dopadá monochromatický světelný paprsek dané vlnové délky $\lambda$ v rovině kolmé na lámavou hranu, tedy v tzv. hlavním řezu. Paprsek dopadá na lámavou stěnu pod úhlem $\alpha_1$, láme se podle zákona lomu pod úhlem $\beta_1$. Úhel dopadu na další stěně označíme $\beta_2$ a úhel lomu do vnějšího prostředí $\alpha_2$. Úhel mezi paprskem vstupujícím do hranolu a z něj vystupujícím budeme nazývat deviací a označovat písmenem $\varepsilon$. Jestliže úhel dopadu volíme tak, aby uvnitř hranolu byl paprsek kolmý k ose lámavého úhlu $\varphi$, bude jeho deviace od původního směru minimální a paprsek bude vystupovat z hranolu pod úhlem $\alpha_1=\alpha_2$. Pro minimální deviaci paprsku, kterou budeme značit písmenem $\varepsilon_0$, dostaneme 
76
 
924 kaklik 77
\begin{equation}
78
\frac{\sin (\frac{\varepsilon_0+\varphi}{2})} {\sin(\varphi/2)}=n,
79
\end{equation}
748 kaklik 80
 
924 kaklik 81
 
748 kaklik 82
kde $n$ je relativní index lomu materiálu, z kterého je hranol vyroben.
83
 
84
\begin{figure}
85
\label{amplituda}
86
\begin{center}
87
\includegraphics [width=50mm] {lom.jpg} 
88
\end{center}
924 kaklik 89
\caption{Schématické znázornění lomu světla hranolem} 
748 kaklik 90
\end{figure}
91
 
92
\subsection{Úhlová disperze}
93
 
94
Úhlová disperze charakterizuje disperzní vlastnosti hranolu. Nechť hranolem procházejí v úzké spektrální oblasti paprsky o různých vlnových délkách. Pak jejich odchylka od původního směru $\varepsilon$ je funkcí vlnové délky $\lambda$; $\varepsilon =\varepsilon (\lambda )$. Úhlová disperze je definována vztahem $\hbox{d}\varepsilon / \hbox{d}\lambda$ a udává, jak rychle se mění úhel $\varepsilon$ s vlnovou délkou.
95
 
924 kaklik 96
Všechny látky vykazují disperzi, tj. jejich index lomu je závislý na vlnové délce světla n = n($\lambda )$. Veličina $\hbox{d}n/\hbox{d}\lambda$ se nazývá charakteristická disperze. Je ji možno vyjádřit derivováním disperzní závislosti $n = n(\lambda )$, je-li známé její analytické vyjádření.
748 kaklik 97
 
98
Průběh disperzní závislosti se aproximuje různými vzorci. Pro případ použitého hranolu dobře vyhovuje vzorec:
99
 
924 kaklik 100
\begin{equation}
101
n = n_n + \frac{C}{\lambda - \lambda _n }
102
\end{equation}
748 kaklik 103
 
924 kaklik 104
 
748 kaklik 105
v němž $n_{n}$ , $C$ , $\lambda_{n}$ 
106
jsou konstanty, které se určí z naměřených dat nelineární regresí funkce.
107
 
108
Derivujeme-li rovnici pro minimální deviaci $\varepsilon_{o}$ podle $\lambda$, dostaneme po úpravě pro úhlovou disperzi $\hbox{d}\varepsilon_{o}/\hbox{d}\lambda$ vztah
109
 
924 kaklik 110
\begin{equation}
111
 \frac{\hbox{d}\varepsilon _0 }{\hbox{d}\lambda } = \frac{2 \sin(\varphi /2)}{\sqrt {1-n^2 sin^2(\varphi /2)} }\frac{\hbox{d}n}{\hbox{d}\lambda }
112
\end{equation}
748 kaklik 113
 
114
Úhlová disperze hranolu je tedy poměrně složitou funkcí vlnové délky. Závisí na ní jednak přes charakteristickou disperzi $\hbox{d}n/\hbox{d}\lambda$, jednak přes index lomu $n$ ve jmenovateli posledního členu.
115
 
116
\subsection{Rydbergova konstanta}
117
 
118
Kromě Balmerovy série existují ve spektru atomárního vodíku ještě jiné, které lze vyjádřit souhrnně vzorcem:
119
 
924 kaklik 120
\begin{equation}
121
\label{balmer}
122
 \nu = R ( \frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2})
123
\end{equation}
748 kaklik 124
 
125
A tabulková hodnota Rydbergovy konstanty je následující
126
 
924 kaklik 127
\begin{equation}
128
R_\infty = {\alpha^2 m_{\mathrm e} c \over 2 h} = 10\,973\,731,568\,527(73) \,\mathrm{m^{-1}}
129
\end{equation}
748 kaklik 130
 
131
\section{Postup měření}
132
K měření úhlů lomů jednotlivých spektrálních čar jsme používali goniometr s hranolem. Skleněný hranol byl umístěn na měřícím stolku goniometru mezi dalekohledem a kolimátorem. Nejprve bylo potřeba lámavé plochy hranolu ustavit kolmo na optickou rovinu kolimátoru a dalekohledu, to jsme provedli justací stavěcích šroubů pomocí autokolimační funkce dalekohledu. Následně bylo třeba změřit lámavý úhel hranolu, vybrali jsme si úhel u vrcholu A. 
133
Měření lámavého úhlu jsme provedli metodou dělaného svazku, kdy jsme od každé z lámavých ploch nechali odrážet značku v kolimátoru (nitkový kříž).
134
 
135
Z geometrie goniometru je pak zřejmé, že naměřený úhel je dvojnásobkem lámavého úhlu hranolu. Po zajištění geometrie měření jsme ještě potřebovali zjistit disperzní závislost materiálu hranolu, aby bylo možné pak správně dopočítat vlnové délky čar z Balmerovy série. 
136
To jsme provedli tak, že jsme před vstupní štěrbinu kolimátoru umístili rtuťovou výbojku, která má známé vlnové délky ve viditelné části spektra. Takže díky změření úhlů jejich nejmenší deviace bylo možné získat disperzní vztah pro materiál hranolu. 
137
 
138
\begin{table}[htbp]
924 kaklik 139
\caption{Neměřené hodnoty lámového úhlu hranolu metodou dělení svazků}
748 kaklik 140
\begin{center}
141
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
142
\hline
924 kaklik 143
\multicolumn{ 3}{|c|}{d1} & \multicolumn{ 3}{c|}{d2} & \multicolumn{ 3}{c|}{$\varphi$} \\ \hline
748 kaklik 144
deg & min  & sec & deg & min  & sec & deg & min  & sec \\ \hline
924 kaklik 145
218	&	21	&	22		&	98	&	37	&	18		&	59	&	52	&	2	\\
146
218	&	22	&	39		&	98	&	38	&	45		&	59	&	51	&	57	\\
147
218	&	23	&	10		&	98	&	38	&	38		&	59	&	52	&	16	\\
148
218	&	22	&	42		&	98	&	38	&	45		&	59	&	51	&	58	\\
149
218	&	22	&	36		&	98	&	38	&	16		&	59	&	52	&	10	\\
150
 
151
\hline
748 kaklik 152
\end{tabular}
153
\end{center}
154
\label{hranol}
155
\end{table}
156
 
157
 
924 kaklik 158
Hodnota lámavého úhlu (měřením metodou dělení svazků) hranolu tedy je $59^\circ 52'	5" \pm  5"$  
159
 
748 kaklik 160
\begin{table}[htbp]
161
\caption{Neměřené hodnoty deviačních úhlů pro čáry rtuti a jejich vlnové délky s vypočítaným indexem lomu.}
162
\begin{center}
163
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
164
\hline
924 kaklik 165
\multicolumn{ 3}{|c|}{d1} & \multicolumn{ 3}{c|}{d2} & \multicolumn{ 3}{c|}{$\epsilon _0 $} & $\lambda _{TAB}$  &  \\ \hline
166
deg & min  & sec & deg & min  & sec & deg & min  & sec & $\lambda [nm] $ & n[-] \\ \hline
167
227	&	13	&	24	&	104	&	49	&	12	&	61	&	12	&	6	&	690,7520	&	1,745	\\
168
228	&	29	&	16	&	103	&	33	&	8	&	62	&	28	&	4	&	607,2720	&	1,756	\\
169
228	&	39	&	16	&	103	&	23	&	8	&	62	&	38	&	4	&	579,0663	&	1,757	\\
170
228	&	40	&	42	&	103	&	21	&	50	&	62	&	39	&	26	&	576,9598	&	1,757	\\
171
229	&	16	&	30	&	102	&	45	&	4	&	63	&	15	&	43	&	546,0735	&	1,762	\\
172
230	&	33	&	12	&	101	&	29	&	50	&	64	&	31	&	41	&	501,7279	&	1,773	\\
173
230	&	40	&	54	&	101	&	21	&	50	&	64	&	39	&	32	&	498,0640	&	1,774	\\
174
232	&	57	&	20	&	99	&	6	&	16	&	66	&	55	&	32	&	491,6070	&	1,792	\\
175
\hline
748 kaklik 176
\end{tabular}
177
\end{center}
178
\label{hranol}
179
\end{table}
180
 
181
\begin{figure}
182
\label{amplituda}
183
\begin{center}
184
\includegraphics [width=150mm] {disperze.png} 
185
\end{center}
186
\caption{Závislost indexu lomu na vlnové délce} 
187
\end{figure}
188
 
189
Po nafitování disperzní funkce na naměřené hodnoty vychází konstanty následovně.
190
 
924 kaklik 191
$n_n = 1,7119 \pm 0,0003 $ ;
192
$ c = 14,7 \pm 0,9 $ ;
193
$\lambda _n = 250 \pm 2 $
748 kaklik 194
 
195
\begin{table}[htbp]
196
\caption{Neměřené hodnoty deviačních úhlů pro čáry Balmerovy série a jejich vlnové délky.}
197
\begin{center}
198
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
199
\hline
924 kaklik 200
\multicolumn{ 3}{|c|}{d1} & \multicolumn{ 3}{c|}{d2} & \multicolumn{ 3}{c|}{$\epsilon _0 $} &  &  \\ \hline
748 kaklik 201
deg & min  & sec & deg & min  & sec & deg & min  & sec & $\lambda$ [nm] & chyba [nm]\\ \hline
924 kaklik 202
227	&	34	&	34	&	104	&	29	&	8	&	61	&	32	&	43	&	660,94	&	0,04	\\
203
230	&	51	&	2	&	101	&	11	&	18	&	64	&	49	&	52	&	482,83	&	0,06	\\
204
232	&	54	&	34	&	99	&	9	&	56	&	66	&	52	&	19	&	435,14	&	0,04	\\
205
233	&	2	&	48	&	99	&	0	&	46	&	67	&	1	&	1	&	432,54	&	0,04	\\ 
206
\hline
748 kaklik 207
\end{tabular}
208
\end{center}
209
\label{hranol}
210
\end{table}
211
 
924 kaklik 212
\begin{table}[htbp]
213
\caption{Neměřené hodnoty deviačních úhlů pro čáry Balmerovy série a jejich vlnové délky.}
214
\begin{center}
215
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
216
\hline
217
\multicolumn{ 3}{|c|}{d1} & \multicolumn{ 3}{c|}{d2} & \multicolumn{ 3}{c|}{$\epsilon _0 $} &  &  \\ \hline
218
deg & min  & sec & deg & min  & sec & deg & min  & sec & $\lambda$ [nm] & Rozdíl [\%]\\ \hline
219
228	&	29	&	50	&	103	&	34	&	22	&	62	&	27	&	44	&	587,25	& 0,30	\\
220
228	&	30	&	42	&	103	&	33	&	0	&	62	&	28	&	51	&	586,04	& 0,60	\\
221
\hline
222
\end{tabular}
223
\end{center}
224
\label{hranol}
225
\end{table}
226
 
227
Fitováním naměřených hodnot spektrálních čar vodíku je možné dostat hodnotu Rydbergovy konstanty $R = (1,097 \pm 0,005) 10^7 m^{-1}$
228
 
229
 
748 kaklik 230
\section{Diskuse}
231
 
924 kaklik 232
 V přípravě jsme odvodili vzorec pro lom hranolem za podmínek nejmenší deviace, dále byla vypočtena hodnota Rydbergovy konstanty z teoretických hodnot. Odvozeny vzorce pro disperzní vztah a změřena spekra několika výbojek. Zkalibrován index lomu hranolu a vypočtena hodnota Rydbergovy konstanty.
748 kaklik 233
 
234
\section{Závěr}
235
 
924 kaklik 236
 
237
Měřením se podařilo získat přiblížení Rydbergovy konstanty k tabulkové hodnotě $R = (1,097 \pm 0,005) 10^7 m^{-1}$ . I přes to, že disperze materiálu nebyla na některých čarách rtuti plně dokalibrována. Protože se je nepodařilo najít. Tento stav se ale pravděpodobně podepsal na kvalitě fitu disperzní funkce.     
238
 
239
 
748 kaklik 240
\begin{thebibliography}{99}
924 kaklik 241
\bibitem{zadani}{Zadání úlohy 4 - Balmerova série}
242
{http://praktikum.fjfi.cvut.cz/mod/resource/view.php?id=193}
748 kaklik 243
\end{thebibliography}
244
\end{document}