Subversion Repositories svnkaklik

Rev

Details | Last modification | View Log

Rev Author Line No. Line
796 kaklik 1
\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}
2
 
3
\usepackage[czech]{babel}
4
\usepackage[pdftex]{graphicx}
5
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
6
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
7
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
8
\usepackage{rotating}
9
 
10
% Here it is: the code that adjusts justification and spacing around caption.
11
\makeatletter
12
% http://www.texnik.de/floats/caption.phtml
13
% This does spacing around caption.
14
\setlength{\abovecaptionskip}{2pt}   % 0.5cm as an example
15
\setlength{\belowcaptionskip}{2pt}   % 0.5cm as an example
16
% This does justification (left) of caption.
17
\long\def\@makecaption#1#2{%
18
\vskip\abovecaptionskip
19
\sbox\@tempboxa{#1: #2}%
20
\ifdim \wd\@tempboxa >\hsize
21
#1: #2\par
22
\else
23
\global \@minipagefalse
24
\hb@xt@\hsize{\box\@tempboxa\hfil}%
25
\fi
26
\vskip\belowcaptionskip}
27
\makeatother
28
 
29
 
30
\begin{document}
31
 
32
\pagestyle{empty} %nastavení stylu stránky
33
\def\tablename{\textbf {Tabulka}}
34
 
35
\pagestyle{empty} %nastavení stylu stránky
36
\def\tablename{\textbf {Tabulka}}
37
 
38
\begin {table}[tbp]
39
\begin {center}
40
\begin{tabular}{|l|l|}
41
\hline
42
\multicolumn{ 2}{|c|}{\Large \bfseries FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE \huge\strut} \\ \hline
43
\textbf{Datum měření:} {8.4.2011} & \textbf{Jméno:} {Jakub Kákona} \\ \hline
44
\textbf{Pracovní skupina:} {4} & \textbf{Ročník a kroužek:} {Pa 9:30} \\ \hline
45
\textbf{Spolupracovníci:} {Jana Navrátilová} & \textbf{Hodnocení:}  \\ \hline 
46
\end{tabular}
47
\end {center}
48
\end {table}
49
 
50
\begin{center} \Large{Úloha 10: Interference a ohyb světla} \end{center}
51
 
52
\begin{abstract}
53
Cílem úlohy je vyzkoušet metody měření rozměrů kruhových otvorů a štěrbin pomocí difrakce optického záření a výsledky porovnat s klasickými metodami měření rozměrů. 
54
\end{abstract}
55
 
56
\section{Úvod}
57
\subsection{Zadání}
58
\begin{enumerate}
59
 
60
\item Bonus: spočítejte hodnotu konstanty $ C$ u kruhového otvoru pro 4. a 5. tmavý kroužek.
61
\item Rozšiřte svazek laseru pomocí dvou spojek (+250 a +50).
62
\item Změřte průměr tří nejmenších kruhových otvorů pomocí Fraunhoferova ohybu světla z He-Ne Laseru vlnové délky 594 nm a pomocí měřícího mikroskopu - tato měření srovnejte mezi sebou. Které měření je přesnější? (Mějte na paměti, že pokud srovnáváte přesnost dvou měření, musíte mít u obou stejné množství naměřených dat) Doporučené množství naměřených dat je 5 hodnot pro každý otvor.
63
\item Změřte 5 šířek štěrbiny (šířka nastavitelná šroubem) pomocí Fraunhoferova ohybu světla z He-Ne Laseru vlnové délky 594 nm a pomocí indikátorových hodinek, které se dotýkají šroubu. Místo prostého průměrování naměřených hodnot použijte ve zpracování postupnou metodu. Výsledky z indikátorových hodinek a interference srovnejte. Pro jaké šířky štěrbiny je výhodnější měření interferencí a pro jaké indikátorovými hodinkami?
64
\item Změřte pomocí He-Ne laseru 543 nm (zelený laser) mřížkovou konstantu optické mřížky a srovnejte s hodnotou uvedenou na mřížce.
65
\item Pomocí mřížky a goniometru změřte vlnovou délku hlavních spektrálních čar Rtuťové výbojky.
66
\item Pomocí He-Ne laseru 594 nm, dvou rovinných zrcadel a děliče svazku (Abbeho kostka) sestavte Michelsonův interferometr a změřte vlnovou délku světla laseru.
67
 
68
\end{enumerate}
69
 
70
%\begin{equation} f(t)=Ae^{-\delta t}sin \left( {\frac{2\pi}{T}t+\varphi} \right) + S^{1(2)} \end{equation}
71
 
72
\section{Experimentální uspořádání a metody}
73
 
74
\subsection{Pomůcky}
75
 
76
Železná deska s magnetickými stojánky, He-Ne laser Lasos LGK 7512P (593.932 nm, 5 mW), He-Ne laser Lasos LGK 7770 (543.365 nm, 5 mW), 2 zrcadla, 1 dělič svazku (Abbeho kostka), laboratorní zvedák, optická lavice s jezdci, 2 spojné čočky (+50, +250), rozptylka (-50), sada kruhových otvorů, štěrbina s nastavitelnou šířkou, držák na mřížku, opt. mřížka 600 vrypů na mm, stínítko na zdi, pásmo (5 m), měřítko (1 m), rtuťová výbojka, goniometr, lampička s reostatem, měřící mikroskop.
77
 
78
\subsection{Teoretický úvod}
79
 
80
Při odvozování vzorce ohybu na kruhovém otvoru vycházíme z Babinetova principu, který nám říká , že štěrbinu si můžeme nahradit stejně velkou plochou s nekonečně mnoha zdroji, jejichž vlny budou interferovat. Tedy pro kruhový otvor můžeme sčítat příspěvky
81
\begin{equation} \hbox{d}E = E_0 \frac{2\sqrt{R^2-s^2}}{\pi R^2}\hbox{d}s, \end{equation}
82
z toho se lze dostat k eliptickému integrálu
83
\begin{equation} J(C)=\int_{-1}^1\sqrt{1-u^2}\cos(2\pi C u)\hbox{d}u, \end{equation}
84
 Odsud je potřeba numericky získat konstantu C, ta se pak využije do finálního vztahu pro interferenční minima
85
\begin{equation} sin \varphi_i = C_i \frac{\lambda}{R}.\end{equation} 
86
K odvozování vztahu se ohybu na štěrbině se použije opět Babinetův princip a výsledný vztah pro interferenční minima je
87
\begin{equation} \sin\theta=\frac{m\lambda}{D}\qquad m=1,2,3,\dots. \end{equation}
88
Pro difrakci na mřížce se z Babinetova principu dá odvodit vztah pro hlavní interferenční maxima
89
 
90
\begin{equation} \lim_{\sin\vartheta\to\frac{m\lambda}{d}} \frac{I}{I_0}=N^2,    v~bodech \quad \sin\vartheta_m=\frac{2\pi m}{kd}=\frac{m\lambda}{d}, kde \quad m=0,1,2,\dots\end{equation} 
91
 
92
 
93
\section{Výsledky a postup měření}
94
\subsection{Měření průměru kruhových otvorů}
95
Sestavili jsme kolimátor a poté prodloužili optickou dráhu laseru pomocí zrcadel. Po umístění otvorů jsme vždy na stínítku odečítali rozměry interferenčních obrazců a zapisovali je.
96
 
97
\begin{table}[htbp]
98
\caption{Měření průměru otvoru 2mm}
99
\begin{center}
100
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
101
\hline
102
 &  & naměřené & vypočtené \\ \hline
103
Řád & R [mm] & D  [mm] &  D [mm] \\ \hline
104
1 & 1.1 & 2,250 & 2.67 \\ \hline
105
2 & 2.7 & 2,000 & 1.99 \\ \hline
106
3 & 3.5 & 2,120 & 3.01 \\ \hline
107
4 & 4.8 & 2,120 & 2.88 \\ \hline
108
5 & 5.7 & 2,000 & 2.99 \\ \hline
109
\end{tabular}
110
\end{center}
111
\label{}
112
\end{table}
113
 
114
Pro otvor 2mm nám z měření na měřícím mikroskopu vyšel průměr (2,098 $\pm$ 0,093) mm  a pro měření z difrakčních obrazců (2.71 $\pm$ 0.19) mm. 
115
 
116
\begin{table}[htbp]
117
\caption{Měření průměru otvoru 1mm}
118
\begin{center}
119
\begin{tabular}{|r|r|r|r|}
120
\hline
121
\multicolumn{1}{|c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{naměřené} & \multicolumn{1}{c|}{vypočtené} \\ \hline
122
\multicolumn{1}{|c|}{Řád} & \multicolumn{1}{c|}{R [mm]} & \multicolumn{1}{c|}{D  [mm]} & \multicolumn{1}{c|}{ D [mm]} \\ \hline
123
1 & 2.4 & 1,250 & 1.23 \\ \hline
124
2 & 5.2 & 1,120 & 1.04 \\ \hline
125
3 & 7.6 & 1,250 & 1.03 \\ \hline
126
4 & 10.1 & 1,370 & 1.01 \\ \hline
127
5 & 12.4 & 1,250 & 1.02 \\ \hline
128
\end{tabular}
129
\end{center}
130
\label{}
131
\end{table}
132
 
133
Pro otvor 1mm nám z měření na měřícím mikroskopu vyšel průměr (1,248 $\pm$ 0,079) mm  a pro měření z difrakčních obrazců (1.06 $\pm$ 0.08) mm. 
134
 
135
\begin{table}[htbp]
136
\caption{Měření průměru otvoru 0,5mm}
137
\begin{center}
138
\begin{tabular}{|r|r|r|r|}
139
\hline
140
\multicolumn{1}{|c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{naměřené} & \multicolumn{1}{c|}{vypočtené} \\ \hline
141
\multicolumn{1}{|c|}{Řád} & \multicolumn{1}{c|}{R [mm]} & \multicolumn{1}{c|}{D  [mm]} & \multicolumn{1}{c|}{ D [mm]} \\ \hline
142
1 & 6 & 0,750 & 0.49 \\ \hline
143
2 & 11.1 & 0,670 & 0.49 \\ \hline
144
3 & 16.7 & 0,750 & 0.47 \\ \hline
145
4 & 22.1 & 0,750 & 0.46 \\ \hline
146
5 & 27.9 & 0,870 & 0.45 \\ \hline
147
\end{tabular}
148
\end{center}
149
\label{}
150
\end{table}
151
 
152
Pro otvor 0,5mm nám z měření na měřícím mikroskopu vyšel průměr (0,758 $\pm$ 0,064) mm  a pro měření z difrakčních obrazců (0.47 $\pm$ 0.01) mm. 
153
 
154
\subsection{Měření šířek šterbin}
155
 
156
Obdobně jako v předchozím bodě jsme postupovali i zde, ovšem nyní jsme měřili štěrbinu s proměnlivou šířkou nastavitelnou indikátorovými hodinkami.
157
 
158
\begin{table}[htbp]
159
\caption{Měřená difrakční minima pro šířku štěrbiny 1.5mm}
160
\begin{tabular}{|r|r|r|}
161
\hline
162
\multicolumn{1}{|l|}{Číslo měření} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{I} [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{postupnou} [mm]$} \\ \hline
163
1 & 6.0 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
164
2 & 11.0 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
165
3 & 15.0 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
166
4 & 19.5 & 2.25 \\ \hline
167
5 & 24.0 & 2.17 \\ \hline
168
6 & 28.0 & 2.17 \\ \hline
169
\multicolumn{1}{|l|}{Průměr} & \multicolumn{1}{l|}{} & 2.19 \\ \hline
170
\multicolumn{1}{|l|}{Směrodatná odchylka} & \multicolumn{1}{l|}{} & 0.04 \\ \hline
171
\end{tabular}
172
\label{}
173
\end{table}
174
 
175
\begin{table}[htbp]
176
\caption{Měřená difrakční minima pro šířku štěrbiny 1.3mm}
177
\begin{tabular}{|r|r|r|}
178
\hline
179
\multicolumn{1}{|l|}{Číslo měření} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{I} [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{postupnou} [mm]$} \\ \hline
180
1 & 7.8 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
181
2 & 12.2 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
182
3 & 17.7 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
183
4 & 22.5 & 2.45 \\ \hline
184
5 & 27.6 & 2.57 \\ \hline
185
6 & 32.6 & 2.48 \\ \hline
186
\multicolumn{1}{|l|}{Průměr} & \multicolumn{1}{l|}{} & 2.50 \\ \hline
187
\multicolumn{1}{|l|}{Směrodatná odchylka} & \multicolumn{1}{l|}{} & 0.05 \\ \hline
188
\end{tabular}
189
\label{}
190
\end{table}
191
 
192
\begin{table}[htbp]
193
\caption{Měřená difrakční minima pro šířku štěrbiny 1.1mm}
194
\begin{tabular}{|r|r|r|}
195
\hline
196
\multicolumn{1}{|l|}{Číslo měření} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{I} [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{postupnou} [mm]$} \\ \hline
197
1 & 8.9 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
198
2 & 16.3 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
199
3 & 20.7 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
200
4 & 27.0 & 3.02 \\ \hline
201
5 & 33.2 & 2.82 \\ \hline
202
6 & 39.4 & 3.12 \\ \hline
203
\multicolumn{1}{|l|}{Průměr} & \multicolumn{1}{l|}{} & 2.98 \\ \hline
204
\multicolumn{1}{|l|}{Směrodatná odchylka} & \multicolumn{1}{l|}{} & 0.12 \\ \hline
205
\end{tabular}
206
\label{}
207
\end{table}
208
 
209
\begin{table}[htbp]
210
\caption{Měřená difrakční minima pro šířku štěrbiny 0.9mm}
211
\begin{tabular}{|r|r|r|}
212
\hline
213
\multicolumn{1}{|l|}{Číslo měření} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{I} [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{postupnou} [mm]$} \\ \hline
214
1 & 11.7 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
215
2 & 18.2 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
216
3 & 24.6 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
217
4 & 32.9 & 3.53 \\ \hline
218
5 & 40.1 & 3.65 \\ \hline
219
6 & 47.6 & 3.83 \\ \hline
220
\multicolumn{1}{|l|}{Průměr} & \multicolumn{1}{l|}{} & 3.67 \\ \hline
221
\multicolumn{1}{|l|}{Směrodatná odchylka} & \multicolumn{1}{l|}{} & 0.12 \\ \hline
222
\end{tabular}
223
\label{}
224
\end{table}
225
 
226
\begin{table}[htbp]
227
\caption{Měřená difrakční minima pro šířku štěrbiny 0.7mm}
228
\begin{tabular}{|r|r|r|}
229
\hline
230
\multicolumn{1}{|l|}{Číslo měření} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{I} [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{postupnou} [mm]$} \\ \hline
231
1 & 14.4 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
232
2 & 23.7 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
233
3 & 33.7 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
234
4 & 43.3 & 4.82 \\ \hline
235
5 & 53.0 & 4.88 \\ \hline
236
6 & 63.0 & 4.88 \\ \hline
237
\multicolumn{1}{|l|}{Průměr} & \multicolumn{1}{l|}{} & 4.86 \\ \hline
238
\multicolumn{1}{|l|}{Směrodatná odchylka} & \multicolumn{1}{l|}{} & 0.03 \\ \hline
239
\end{tabular}
240
\label{}
241
\end{table}
242
 
243
\begin{table}[htbp]
244
\caption{$D_I$ vypočtené hodnoty štěrbin, $D_H$ změřené indikátorovými hodinkymi, +chyby}
245
\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
246
\hline
247
\multicolumn{1}{|l|}{Štěrbina} & \multicolumn{1}{l|}{$D_I [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{Směrodatná odchylka$[mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_H [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$\pm Chyba_H [mm]$} \\ \hline
248
1.5 & 1.48 & 0.03 & 1.5 & 0.1 \\ \hline
249
1.3 & 1.30 & 0.03 & 1.3 & 0.1 \\ \hline
250
1.1 & 1.09 & 0.05 & 1.1 & 0.1 \\ \hline
251
0.9 & 0.89 & 0.03 & 0.9 & 0.1 \\ \hline
252
0.7 & 0.67 & 0.01 & 0.7 & 0.1 \\ \hline
253
\end{tabular}
254
\label{}
255
\end{table}
256
 
257
\subsection{Mřížková konstanta}
258
Při tomto měření, jako jediném jsme použili zelený laser (543nm), který jsme položili na stůl a k výstupnímu otvoru přiložili mřížku. V určité vzdálenosti od mřížky jsme pozorovali na pravítku interferenční maxima laseru.
259
 
260
\begin{table}[htbp]
261
\caption{Měření mřížkové konstanty - X je pozice maxim vzhledem k 0. řádu na pravítku vzdáleném 50cm od mřížky}
262
\begin{center}
263
\begin{tabular}{|c|c|c|}
264
\hline
265
Rád & X [cm] & D [mm] \\ \hline
266
-2 & 17.5 & 0,00164 \\ \hline
267
-1 & 43.3 & 0,00166 \\ \hline
268
1 & 17.5 & 0,00164 \\ \hline
269
2 & 44,3 & 0,00082 \\ \hline
270
\end{tabular}
271
\end{center}
272
\label{}
273
\end{table}
274
 
275
Z naměřených hodnot vychází hodnota mřížkové konstanty (0,0014  $\pm$ 0,0004) mm, což by odpovídalo 693 čarám na mm. (Na mřížce bylo uvedeno 600/mm). 
276
 
277
\subsection{Spektrální čáry rtuťové výbojky}
278
Seřídili jsme si úhloměr goniomeru na nulu, vložili mřížku, zaostřili na rtuťovou výbojku a změřili úhly pod kterými byly viditelné spektrální čáry daných barev.  
279
\begin{table}[htbp]
280
\caption{Naměřené spektrální čáry rtutové výbojky a spočtené jejich vlnové délky}
281
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
282
\hline
283
Barva & \multicolumn{1}{c|}{Úhly$ [^\circ]\pm 0,05$} & \multicolumn{1}{l|}{$\lambda [nm]$} & \multicolumn{1}{l|}{Střední kvadratická odchylka$[nm]$} \\ \hline
284
fialová & 15.25 & 413 & 39 \\ \hline
285
zelená & 18.25 & 491 & 47 \\ \hline
286
žlutá1 & 20.50 & 549 & 52 \\ \hline
287
\end{tabular}
288
\label{}
289
\end{table}
290
 
291
\subsection{Michelsonův interferometr}
292
Dle schématu jsme sestavili Michelsonův interferometr a výstupní svazek rozšířili přes rozptylku, poté jsme měřili interferenční přechody v závislosti na přibližování nebo oddalování jednoho zrcadla posunovaného mikrometrickým šroubem.
293
\begin{table}[htbp]
294
\begin{center}
295
\caption{Naměřené a vypočtené hodnoty vlnových délek laseru pomocí Michelsonova interferometru}
296
\begin{tabular}{|c|c|}
297
\hline
298
 & \multicolumn{1}{c|}{$[nm]$} \\ \hline
299
$\lambda 1$ & 610 \\ \hline
300
$\lambda 2$ & 600 \\ \hline
301
$\lambda 3$ & 625 \\ \hline
302
Průměr & 611.7 \\ \hline
303
Směrodatná odchylka & 10.3 \\ \hline
304
\end{tabular}
305
\label{}
306
\end{center}
307
\end{table}
308
 
309
\section{Diskuse}
310
 
311
\begin{itemize}
312
\item Pomocí numerických metod, se podařilo spočítat další dvě konstanty, kdy nabývá daný eliptický integrál nuly. Všech pět konstant tedy číselně vychází $C_1=0.610$, $C_2=1.117$, $C_3=1.619$, $C_4=2.121$, $C_5=2.622$.
313
\item Laserový svazek jsme rozšířili pomocí dvou spojek $+250$ a $+50$ použitých jako kolimátor, tak aby divergence svazku byla co nejmenší. 
314
 
315
\item Změřili jsme průměr tří nejmenších kruhových otvorů z karuselu, jak pomocí ohybu světla tak pomocí mikroskopu. Naměřené a vypočtené hodnoty jsou uvedeny v tabulkách 1, 2 a 3. Popřípadě v jejich popisu.
316
 
317
\item Změřili jsme šířky 5ti štěrbin, ohybem světla a indikátorovými hodinkami. Naměřené a vypočtené hodnoty postupnou metodou jsou v tabulkách 4-8, celkové vyhodnocení v tabulce 9. Měření ohybem světla předpokládáme zvláště výhodné při malých velikostech otvorů, naopak při větších otvorech začíná být výhodnější jiný metoda. Avšak tato hranice je relativní, neboť měření je závislé na použité vlnové délce, takže i průměry větších otvorů by při použití vhodného laseru pravděpodobně bylo možné měřit difrakční metodou.
318
 
319
\item Pomocí He-Ne laseru 543nm jsme změřili mřížkovou konstantu. Hodnoty jsou uvedeny v tabulce 10. Počet vrypů na 1mm jsme určili $693$ oproti hodnotě na mřížce $600$.
320
\item Pozorovali jsme hlavní spektra rtutové výbojky a zaznamenali jejich barvu, úhel pod kterým jsme je pozorovali. Z toho jsme vypočetli vlnovnou délku a vše zaznamenali do tabulky 11.
321
\item Sestrojili jsme dle návodu Michelsonův interferometr a posouváním jednoho ze zrcadel a pozorováním inteferenčních obrazců naměřili vlnovou délku daného laseru $594nm$. 
322
\end{itemize}
323
 
324
\section{Závěr}
325
Při měření jsme si prakticky vyzkoušeli zákon odrazu, lomu, ohybu a interference koherentního světla. Došli jsme k závěru, že ohybem se dají velmi efektivně měřit malé otvory, ale ty velké je lepší měřit jinou metodou. 
326
 
327
\begin{thebibliography}{10}      %REFERENCE
328
%\bibitem{3} doc. Ing. Ivan Štoll, CSc., \emph{Mechanika}, Vydavatelství ČVUT Praha, 1994
329
%\bibitem{3} $<$http://fyzika.fjfi.cvut.cz$>$
330
 
331
\bibitem{3} Petržílka: Fyzikální optika, Přírodovědecké nakladatelství, Praha, 1952.
332
\bibitem{3} Friš, Timoreva: Kurs fyziky, díl III, NČSAV, Praha, 1954.
333
\bibitem{3} Krauford:Volny, Nauka, 1974; ruský překlad 3. dílu Berkleyského kurzu fyziky Crawford F. S.: Waves.
334
 
335
\end{thebibliography}
336
 
337
 
338
 
339
 
340
 
341
 
342
 
343
 
344
 
345
 
346
 
347
 
348
 
349
 
350
 
351
 
352
 
353
 
354
 
355
 
356
 
357
 
358
\end{document}