WebSVN – svnkaklik – Blame – /dokumenty/skolni/TDS/12uloha/kakonjak_reseni12.tex

Rev	Author	Line No.	Line
1062	kaklik	1	`\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}`
		2
		3	`\usepackage[czech]{babel}`
		4	`\usepackage[pdftex]{graphicx}`
		5	`\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce`
		6	`\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8`
		7	`\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů`
		8	`\usepackage{rotating}`
		9
		10	`\begin{document}`
		11
		12	`\section*{Řešení 12. zadané úlohy - Jakub Kákona}`
		13
		14	`\begin{enumerate}`
		15	`\item`
		16
		17	`Sestavíme minimální realizaci sytému v řiditelné formě`
		18
		19	`\begin{equation}`
		20	`D_c = \lim _{ s \to \infty} H_1(s) = 0`
		21	`\end{equation}`
		22
		23	`\begin{equation}`
		24	`C_c=[b_0, b_1, \cdots , b_{n-1} ] = \left[\begin{array}{cc}`
		25	`1 & 0 \\`
		26	`\end{array}\right]`
		27	`\end{equation}`
		28
		29	`\begin{equation}`
		30	`A_c = \left[ \begin{array}{cccc}`
		31
		32	`\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\`
		33
		34	`-a_0 & -a_1 & \cdots & -a_{n-1} \\`
		35	`\end{array}`
		36	`\right] =`
		37	`\left[ \begin{array}{cc}`
		38
		39
		40	`\end{array}`
		41	`\right]`
		42	`\end{equation}`
		43
		44	`\begin{equation}`
		45	`B_c = \left[\begin{array}{c}`
		46
		47	`1 \\`
		48	`\end{array}\right]`
		49	`\end{equation}`
		50
		51	`Potřebujeme vybrat takové matice`
		52	`$F = \left[\begin{array}{cc}`
		53	`a & b \\`
		54	`\end{array}\right]$,`
		55	`$K = \left[\begin{array}{c}`
		56	`c \\`
		57	`d \\`
		58	`\end{array}\right]$, že vlastní čísla matic $A + BF$ a $A -KC$ budou mít zápornou reálnou část.`
		59
		60
		61	`\begin{equation}`
		62	`\det(sI - (A + BF)) = s^2 - sb - a \\`
		63	`F = \left[\begin{array}{cc}`
		64	`-1 & -2 \\`
		65	`\end{array}\right]`
		66	`\end{equation}`
		67
		68	`\begin{equation}`
		69	`\det(sI - (A + KC)) = s^2 + sc + d \\`
		70	`K = \left[\begin{array}{c}`
		71	`2 \\`
		72	`1 \\`
		73	`\end{array}\right]`
		74	`\end{equation}`
		75
		76	`Stabilizující regulátory $H_2$ mají tuto stavovou reprezentaci:`
		77
		78	`\begin{eqnarray}`
		79	`\dot{x} =& Ax + Bu +K(y-(Cx + Du))\\`
		80	`u =& Fx +K'(q)(y-(Cx + Du))`
		81	`\end{eqnarray}`
		82
		83	`Kde $K'(q)$ je stabilní ryzí matice.`
		84	`Po dosazení známých hodnot dostaneme všechny ryzí regulátory $H_2$ stabilizující systém $H_1$`
		85
		86	`\begin{eqnarray}`
		87	`\dot{x} =&`
		88	`\left[ \begin{array}{cc}`
		89
		90
		91	`\end{array}`
		92	`\right]x`
		93	`+`
		94	`\left[ \begin{array}{c}`
		95
		96	`1 \\`
		97	`\end{array}`
		98	`\right]u`
		99	`+`
		100	`\left[ \begin{array}{c}`
		101	`2 \\`
		102	`1 \\`
		103	`\end{array}`
		104	`\right](y-`
		105	`\left[ \begin{array}{cc}`
		106	`1 & 0 \\`
		107	`\end{array}`
		108	`\right]x)\\`
		109	`u =&`
		110	`\left[ \begin{array}{cc}`
		111	`1 & 2 \\`
		112	`\end{array}`
		113	`\right] + K'(q)(y-`
		114	`\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \end{array} \right]`
		115	`x)`
		116	`\end{eqnarray}`
		117
		118	`\item`
		119
		120	`\item`
		121
		122	`\item`
		123
		124	`\begin{enumerate}`
		125	`\item`
		126
		127	`Stavová reprezentace systému pro případ $\theta = x_1, \dot{\theta}=x_2$ stejná jako v případě úkolu 10.`
		128
		129	`\begin{eqnarray}`
		130	`\left[ \begin{array}{c}`
		131	`\dot{x}_1 \\`
		132	`\dot{x}_2 \\`
		133	`\end{array}`
		134	`\right] =&`
		135	`\left[ \begin{array}{cc}`
		136
		137
		138	`\end{array}`
		139	`\right]`
		140	`\left[ \begin{array}{cc}`
		141	`x_1 \\`
		142	`x_2 \\`
		143	`\end{array}`
		144	`\right]`
		145	`\left[ \begin{array}{cc}`
		146
		147	`1 \\`
		148	`\end{array}`
		149	`\right]u`
		150	`\\`
		151	`y =&`
		152	`\left[ \begin{array}{cc}`
		153
		154	`\end{array}`
		155	`\right]`
		156	`\left[ \begin{array}{cc}`
		157	`x_1 \\`
		158	`x_2 \\`
		159	`\end{array}`
		160	`\right]`
		161	`\end{eqnarray}`
		162
		163	`\item`
		164	`Podmínka požaduje charakteristický polynom systému se stavovou zpětnou vazbou ve tvaru`
		165
		166	`\begin{equation}`
		167	`(s + 1) (s + 1) = s^2 + 2s + 1`
		168	`\end{equation}`
		169
		170	`\begin{equation}`
		171	`\det(sI - (A + BF)) = s^2 - s(1 - b) - a`
		172	`\end{equation}`
		173
		174	`Kde $ F = \left[\begin{array}{cc}`
		175	`a & b \\`
		176	`\end{array}\right]$`
		177
		178	`Porovnáním koeficientů obou polynomů dostaneme matici stavové zpětné vazby`
		179	`\begin{equation}`
		180	`F = \left[\begin{array}{cc}`
		181	`-1 & -1 \\`
		182	`\end{array}\right]`
		183	`\end{equation}`
		184
		185
		186	`\item`
		187	`Podmínka požaduje charakteristický polynom pozorovatele ve tvaru`
		188
		189	`\begin{equation}`
		190	`(s + 5) (s + 5) = s^2 + 10s + 25`
		191	`\end{equation}`
		192
		193	`Obecný charakteristický polynom pozorovatele je`
		194
		195	`\begin{equation}`
		196	`\det(sI - (A + KC)) = s^2 - s(1 - a) + a +b`
		197	`\end{equation}`
		198
		199	`Kde $ K = \left[\begin{array}{c}`
		200	`a \\`
		201	`b \\`
		202	`\end{array}\right]$`
		203
		204	`Porovnáním koeficientů obou polynomů dostaneme matici stavové zpětné vazby`
		205	`\begin{equation}`
		206	`K = \left[\begin{array}{cc}`
		207	`9 \\`
		208	`16 \\`
		209	`\end{array}\right]`
		210	`\end{equation}`
		211
		212	`\item`
		213
		214	`Stavový popis systému systému s pozorovatelem a stavovou zpětnou vazbou je`
		215
		216
		217	`\begin{eqnarray}`
		218	`\left[ \begin{array}{c}`
		219	`\dot{x} \\`
		220	`\dot{\hat{x}} \\`
		221	`\end{array}`
		222	`\right] =&`
		223	`\left[ \begin{array}{cc}`
		224	`A & BF\\`
		225	`KC & A- KC + BF \\`
		226	`\end{array}`
		227	`\right]`
		228	`\left[ \begin{array}{c}`
		229	`x_1 \\`
		230	`x_2 \\`
		231	`\end{array}`
		232	`\right]`
		233	`+`
		234	`\left[ \begin{array}{c}`
		235	`B \\`
		236	`B \\`
		237	`\end{array}`
		238	`\right]r`
		239	`\\`
		240	`y =&`
		241	`\left[ \begin{array}{cc}`
		242	`C & DF \\`
		243	`\end{array}`
		244	`\right]`
		245	`\left[ \begin{array}{c}`
		246	`x \\`
		247	`x \\`
		248	`\end{array}`
		249	`\right]`
		250	`+`
		251	`Dr`
		252	`\end{eqnarray}`
		253
		254	`Po dosazení dostaneme:`
		255
		256	`\begin{eqnarray}`
		257	`\left[ \begin{array}{c}`
		258	`\dot{x} \\`
		259	`\dot{\hat{x}} \\`
		260	`\end{array}`
		261	`\right] =&`
		262	`\left[ \begin{array}{cccc}`
		263
		264
		265	`9 & 0 & -9 & 1 \\`
		266	`16 & 0 & -17 & -2 \\`
		267	`\end{array}`
		268	`\right]`
		269	`\left[ \begin{array}{c}`
		270	`x \\`
		271	`\hat{x} \\`
		272	`\end{array}`
		273	`\right]`
		274	`+`
		275	`\left[ \begin{array}{c}`
		276
		277	`1 \\`
		278
		279	`1 \\`
		280	`\end{array}`
		281	`\right]r\\`
		282	`y =&`
		283	`\left[ \begin{array}{cccc}`
		284	`1 & 0 & 0 & 0 \\`
		285	`\end{array}`
		286	`\right]`
		287	`\left[ \begin{array}{c}`
		288	`x \\`
		289	`\hat{x} \\`
		290	`\end{array}`
		291	`\right]`
		292	`\end{eqnarray}`
		293	`Přenos tohoto systému pak je:`
		294	`\begin{equation}`
		295	`H(s)= C (sI - A)^{-1} B + D =`
		296	`\left[ \begin{array}{cccc}`
		297	`1 & 0 & 0 & 0 \\`
		298	`\end{array}`
		299	`\right]`
		300	`\left[ \begin{array}{cccc}`
		301	`s & -1 & 0 & 0 \\`
		302
		303	`-9 & 0 & s+9 & -1 \\`
		304	`-16 & 0 & 17 & s + 2 \\`
		305	`\end{array}`
		306	`\right]`
		307	`\left[ \begin{array}{c}`
		308
		309	`1 \\`
		310
		311	`1 \\`
		312	`\end{array}`
		313	`\right] = \frac{1}{(s+1)^2}`
		314	`\end{equation}`
		315
		316	`Charakteristický polynom systému je`
		317
		318	`\begin{equation}`
		319	`\det(sI - A ) = (s + 5)^2 (s + 1)^2`
		320	`\end{equation}`
		321
		322	`Vlastní čísla leží na záporné ose a systém je stabilní.`
		323
		324	`Pozorovatelnost celkového systému:`
		325
		326	`\begin{equation}`
		327	`O = \left[ \begin{array}{c}`
		328	`C \\`
		329	`C A\\`
		330	`\end{array}`
		331	`\right]=`
		332	`\left[ \begin{array}{cccc}`
		333	`1 & 0 & 0 & 0 \\`
		334
		335
		336	`-25 & 1 & 27 & 2 \\`
		337	`\end{array}`
		338	`\right]`
		339	`\end{equation}`
		340
		341	`Hodnost matice pozorovatelnosti je 4 a systém je pozorovatelný.`
		342
		343
		344	`Ověříme řiditelnost systému`
		345
		346	`\begin{equation}`
		347	`C = \left[ \begin{array}{cc}`
		348	`B & AB \\`
		349	`\end{array}`
		350	`\right]=`
		351	`\left[ \begin{array}{cccc}`
		352
		353	`1 & -2 & 4 & -4 \\`
		354
		355	`1 & -2 & 3 & -4 \\`
		356	`\end{array}`
		357	`\right]`
		358	`\end{equation}`
		359
		360	`Hodnost matice řiditelnosti je 2 a není úplně řiditelný.`
		361	`\end{enumerate}`
		362
		363
		364
		365	`\item`
		366	`\begin{enumerate}`
		367
		368	`\item`
		369
		370	`Podmínka požaduje charakteristický polynom systému se stavovou zpětnou vazbou ve tvaru`
		371
		372	`\begin{equation}`
		373	`(s + 0,5 +0,5j) (s + 0,5 + 0,5j) = s^2 + s + 0,5`
		374	`\end{equation}`
		375
		376	`Obecný charakteristický polynom je`
		377
		378	`\begin{equation}`
		379	`\det(sI - (A + BF)) = s^2 + sb + a - 1`
		380	`\end{equation}`
		381
		382	`Kde $ F = \left[\begin{array}{cc}`
		383	`a & b \\`
		384	`\end{array}\right]$`
		385
		386	`Porovnáním koeficientů obou polynomů dostaneme matici stavové zpětné vazby`
		387	`\begin{equation}`
		388	`F = \left[\begin{array}{cc}`
		389	`\frac{3}{2} & 1 \\`
		390	`\end{array}\right]`
		391	`\end{equation}`
		392
		393	`\item`
		394
		395	`Podmínka požaduje charakteristický polynom systému se stavovou zpětnou vazbou ve tvaru`
		396
		397	`\begin{equation}`
		398	`(s + \alpha +j) (s + \alpha - j) = s^2 + \alpha s + \alpha ^2 + 1`
		399	`\end{equation}`
		400
		401	`Obecný charakteristický polynom pozorovatele je`
		402
		403	`\begin{equation}`
		404	`\det(sI - (A - KC)) = s^2 + sa + b - 1`
		405	`\end{equation}`
		406
		407	`Kde $ K = \left[\begin{array}{c}`
		408	`a \\`
		409	`b \\`
		410	`\end{array}\right]$`
		411
		412	`Porovnáním koeficientů obou polynomů dostaneme matici stavové injekce`
		413	`\begin{equation}`
		414	`K = \left[\begin{array}{c}`
		415	`2 \alpha \\`
		416	`\alpha ^2 + 2 \\`
		417	`\end{array}\right]`
		418	`\end{equation}`
		419
		420	`\item`
		421
		422	`Stavový systém s pozorovatelem a stavovou zpětnou vazbou využívající pozorovatelem odhadované stavy je`
		423
		424	`\begin{eqnarray}`
		425	`\left[ \begin{array}{c}`
		426	`\dot{x} \\`
		427	`\dot{\hat{x}} \\`
		428	`\end{array}`
		429	`\right] =&`
		430	`\left[ \begin{array}{cc}`
		431	`A & BF\\`
		432	`KC & A- KC + BF \\`
		433	`\end{array}`
		434	`\right]`
		435	`\left[ \begin{array}{c}`
		436	`x \\`
		437	`\hat{x} \\`
		438	`\end{array}`
		439	`\right]`
		440	`+`
		441	`\left[ \begin{array}{c}`
		442	`B \\`
		443	`B \\`
		444	`\end{array}`
		445	`\right]r`
		446	`\\`
		447	`y =&`
		448	`\left[ \begin{array}{cc}`
		449	`C & DF \\`
		450	`\end{array}`
		451	`\right]`
		452	`\left[ \begin{array}{c}`
		453	`x \\`
		454	`\hat{x} \\`
		455	`\end{array}`
		456	`\right]`
		457	`+`
		458	`Dr`
		459	`\end{eqnarray}`
		460
		461	`Po dosazení dostaneme:`
		462
		463	`\begin{eqnarray}`
		464	`\left[ \begin{array}{c}`
		465	`\dot{x} \\`
		466	`\dot{\hat{x}} \\`
		467	`\end{array}`
		468	`\right] =&`
		469	`\left[ \begin{array}{cccc}`
		470
		471	`1 & 0 & -\frac{3}{2} & -1 \\`
		472	`2 \alpha & 0 & 2 \alpha & 1 \\`
		473	`\alpha ^2 + 2 & 0 & - \alpha ^2 - \frac{5}{2} & -1 \\`
		474	`\end{array}`
		475	`\right]`
		476	`\left[ \begin{array}{c}`
		477	`x \\`
		478	`\hat{x} \\`
		479	`\end{array}`
		480	`\right]`
		481	`+`
		482	`\left[ \begin{array}{c}`
		483
		484	`-1 \\`
		485
		486	`-1 \\`
		487	`\end{array}`
		488	`\right]r\\`
		489	`y =&`
		490	`\left[ \begin{array}{cccc}`
		491	`1 & 0 & 0 & 0 \\`
		492	`\end{array}`
		493	`\right]`
		494	`\left[ \begin{array}{c}`
		495	`x \\`
		496	`\hat{x} \\`
		497	`\end{array}`
		498	`\right]`
		499	`\end{eqnarray}`
		500
		501	`\end{enumerate}`
		502
		503
		504
		505
		506
		507
		508
		509
		510
		511
		512
		513
		514
		515
		516	`\end{enumerate}`
		517
		518	`\end{document}`

Subversion Repositories svnkaklik

(root)/dokumenty/skolni/TDS/12uloha/kakonjak_reseni12.tex – Rev 1062