Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}

\usepackage[pdftex]{graphicx}

\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce

\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8

\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů

\usepackage{rotating}

\begin{document}

\section*{Řešení 2. zadané úlohy		-	 Jakub Kákona}

\begin{enumerate}

\item Výpočet pomocí Jordanova kanonického tvaru

Víme, že vlastní čísla matice A jsou kořeny charakteristického polynomu

$det (\lambda I - A) = (\lambda - 1) (\lambda - 2)(\lambda - 2)$

Vlastní čísla potom jsou $\lambda _1 = 1, \lambda _2 = 2, \lambda _3 = 2$ .

Dvojka je algebraicky násobným kořenem, proto může mít i geometrickou násobnost větší než 1. 

$C \lambda _23 = dim A - h(\lambda I - A) = 3 -h 

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & -4 & -10 \\

\end{array}

\right]

= 2

\Rightarrow

J =  

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & 0 & 0 \\

\end{array}

\right]

 $

Geometrická násobnost je proto také 2.  

Výpočet vlastních vektorů náležících vlastním číslům.

$(\lambda _1 I - A) v _1 = 0

\left[ \begin{array}{ccc}

\end{array}

\right] v_1

= 0

\Rightarrow

v_1 =  

\left[ \begin{array}{c}

1 \\

\end{array}

\right]

 $

$(\lambda _2 I - A) v _2 = 0

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & -4 & -10 \\

\end{array}

\right] v_2

= 0

\Rightarrow

v_2 =  

\left[ \begin{array}{c}

10 \\

1 \\

\end{array}

\right]

 $

$(\lambda _3 I - A) v _3 = 0

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & -4 & -10 \\

\end{array}

\right] v_3

= 0

\Rightarrow

v_3 =  

\left[ \begin{array}{c}

4 \\

1 \\

\end{array}

\right]

 $

Transformační matice vytvořená z vlastních vektorů 

$P = \left[v_1, v_2, v_3 \right]

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & 10 & 4 \\

\end{array}

\right]

 $

Její inverze je 

$P^{-1} = \left[v_1, v_2, v_3 \right]

= \left[ \begin{array}{ccc}

1 & -4 & -10 \\

\end{array}

\right]

$

$e^{At} = P e^{At} P^{-1}

= \left[ 

\begin{array}{ccc}

1 & 10 & 4 \\

\end{array}

\right]

\left[ 

\begin{array}{ccc}

e^{t} & 0 & 0 \\

\end{array}

\right]

\left[ 

\begin{array}{ccc}

1 & -4 & -10 \\

\end{array}

\right]

= \\

=

\left[ 

\begin{array}{ccc}

e^{t} & -4e^{t}+4e^{2t} & -10e^{t}+10e^{2t} \\

\end{array}

\right]

=

\left[ 

\begin{array}{ccc}

1 & -4 & -10 \\

\end{array}

\right] 

e^{t} +

\left[ 

\begin{array}{ccc}

\end{array}

\right] 

e^{2t}

$

Metoda s použitím Laplaceovy transformace:

$e^{At} = L^{-1}{(sI - A)^{-1}}$

$(sI - A)^{-1} =

\left[ \begin{array}{ccc}

s-1 & -4 & -10 \\

\end{array}

\right]^{-1}

= \frac{1}{(s-1)(s-2)^2}

\left[ \begin{array}{ccc}

(s-2)^2 & -4(s-2) & -10(s-2) \\

\end{array}

\right]^{-1}=\\

=

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & -4 & 10 \\

\end{array}

\right]^{-1}

\frac{1}{s-1}

+

\left[ \begin{array}{ccc}

\end{array}

\right]^{-1}

\frac{1}{s-2}

$

Z toho pak 

$

e^{At} = L^{-1} \left\{

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & -4 & 10 \\

\end{array}

\right]^{-1}

\frac{1}{s-1}

+

\left[ \begin{array}{ccc}

\end{array}

\right]^{-1}

\frac{1}{s-2}

\right\}

=\\

=

\left[ 

\begin{array}{ccc}

1 & -4 & -10 \\

\end{array}

\right] 

e^{t} +

\left[ 

\begin{array}{ccc}

\end{array}

\right] 

e^{2t}

$

\item Dosazením definičních matic systému získáme rovnice tvaru: $\dot x =Ax, y =Cx$

Provedením Laplaceovy transformace pak $sX -x_0 =AX, Y =CX$

Z toho vyjádříme $X = (sI - A)^{-1} x_0, Y =C(sI - A)^{-1}x_0$.

$Y =

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & -1 & 1 \\

\end{array}

\right]

\left[ \begin{array}{ccc}

\frac{1}{s+1} & \frac{1}{(s+1)^2} & 0 \\

\end{array}

\right] x_0 = 

\left[ \begin{array}{ccc}

\frac{1}{s+1} & \frac{-s}{(s+1)^2} & \frac{1}{s-2} \\

\end{array}

\right] x_0 $

$ L\{(te^{-t})\} =  \frac{-s}{(s+1)^2}$

$X =

\left[ \begin{array}{ccc}

\frac{1}{s+1} & \frac{1}{(s+1)^2} & 0 \\

\end{array}

\right] x_0 

$

 Stav $x(0)$ pro který bude platit požadovaná podmínka je $

\left[ \begin{array}{c}

1 \\

1 \\

\end{array}

\right]

$

\item Požadavkem je konstantní stav $x_0$ proto dosadíme: $ x_0 = Ax_0 + Bu(k)$ z toho $(I - A)x_0 = Bu(k)$

$X =

\left(

\left[ \begin{array}{cc}

1 & 0 \\

\end{array}

\right] -

\left[ \begin{array}{cc}

1 & 0 \\

\end{array}

\right] \right)

\left[ \begin{array}{c}

-2 \\

 1 \\

\end{array}

\right]=

\left[ \begin{array}{c}

1 \\

 2 \\

\end{array}

\right] u(k)

$

$

\left[ \begin{array}{c}

1 \\

 2 \\

\end{array}

\right]

=

\left[ \begin{array}{c}

1 \\

2 \\

\end{array}

\right] u(k) \rightarrow u(k) = 1(k) 

$

Potřebná sekvence vstupů pro splnění podmínek odpovídá jednotkovému skoku.  

\item Řešením charakteristického polynomu matice A získáme její vlastní čísla. Jsou ale ovšem ryze komplexní $\lambda _1 = -i, \lambda _2 = +i, \lambda _{34} = 0$. 

Matice vlastních vektorů proto nabývá tvaru:

$

P = \left[ \begin{array}{cccc}

 -0.3162        &    -0.3162     &        0  & 0    \\     

 0.6325         &    0.6325      &      	0  & 0  \\

\end{array}

\right]

$

Matici podobnou matici A pak získáme z definice

$^\sim A = P A P^{-1}$ 

\end{enumerate} 

\end{document}