| 1042 |
kaklik |
1 |
\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
\usepackage[czech]{babel}
|
|
|
4 |
\usepackage[pdftex]{graphicx}
|
|
|
5 |
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
|
|
|
6 |
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
|
|
|
7 |
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
|
|
|
8 |
\usepackage{rotating}
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
\begin{document}
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
\section*{Řešení 3. zadané úlohy - Jakub Kákona}
|
|
|
13 |
|
|
|
14 |
\begin{enumerate}
|
|
|
15 |
\item
|
|
|
16 |
Diskrétní systém je v rovnovážném stavu v případě, když nemění svůj stav. Tedy všechny jeho následující stavy jsou rovny předchozím stavům.
|
|
|
17 |
|
|
|
18 |
Z toho plyne:
|
|
|
19 |
|
|
|
20 |
\begin{equation}
|
|
|
21 |
x_1(k+1) = x_1(k)\\
|
|
|
22 |
x_2(k+1) = x_2(k)
|
|
|
23 |
\end{equation}
|
|
|
24 |
|
|
|
25 |
Dosazením do zadané soustavy získáme tvar:
|
|
|
26 |
|
|
|
27 |
\begin{equation}
|
|
|
28 |
x_1(k) = x_1(k)x_2(k)-1\\
|
|
|
29 |
x_2(k) = 2x_1(k)x_2(k)-2
|
|
|
30 |
\end{equation}
|
|
|
31 |
|
|
|
32 |
Dále postupně řešíme soustavu těchto rovnic.
|
|
|
33 |
|
|
|
34 |
\begin{equation}
|
|
|
35 |
x_1(k) = \frac{1}{x_2(k)-1}\\
|
|
|
36 |
x_2(k) = \frac{2x_1(k)}{x_2(k)-1} -2
|
|
|
37 |
\end{equation}
|
|
|
38 |
|
|
|
39 |
úpravou získáme kvadratickou rovnici
|
|
|
40 |
|
|
|
41 |
\begin{equation}
|
|
|
42 |
x_2(k)^2 - 3x_2(k) + 2 = 0
|
|
|
43 |
\end{equation}
|
|
|
44 |
|
|
|
45 |
Její kořeny jsou:
|
|
|
46 |
|
|
|
47 |
\begin{equation}
|
|
|
48 |
{x_2}_1(k) = -1\\
|
|
|
49 |
{x_2}_2(k) = -2
|
|
|
50 |
\end{equation}
|
|
|
51 |
|
|
|
52 |
Dosazením do vztahu pro $x_1$ dostaneme zbývající složky
|
|
|
53 |
|
|
|
54 |
\begin{equation}
|
|
|
55 |
{x_1}_1(k) = - \frac{1}{2}\\
|
|
|
56 |
{x_1}_2(k) = - \frac{1}{3}\\
|
|
|
57 |
\end{equation}
|
|
|
58 |
|
|
|
59 |
|
|
|
60 |
A systém má dva rovnovážné body
|
|
|
61 |
|
|
|
62 |
|
|
|
63 |
\begin{equation}
|
|
|
64 |
a_1 = \left[ \begin{array}{c}
|
|
|
65 |
- \frac{1}{2} \\
|
|
|
66 |
-1 \\
|
|
|
67 |
\end{array}
|
|
|
68 |
\right] \\
|
|
|
69 |
a_2 = \left[ \begin{array}{c}
|
|
|
70 |
- \frac{1}{3} \\
|
|
|
71 |
-2 \\
|
|
|
72 |
\end{array}
|
|
|
73 |
\right] \\
|
|
|
74 |
\end{equation}
|
|
|
75 |
|
|
|
76 |
|
|
|
77 |
\item
|
|
|
78 |
Zadaná soustava rovnic může být přepsána do maticového tvaru
|
|
|
79 |
|
|
|
80 |
\begin{equation}
|
|
|
81 |
\dot x = Ax \\
|
|
|
82 |
A = \left[ \begin{array}{ccc}
|
|
|
83 |
1 & -1 & 1 \\
|
|
|
84 |
1 & 0 & 1 \\
|
|
|
85 |
1 & 1 & 1 \\
|
|
|
86 |
\end{array}
|
|
|
87 |
\right]
|
|
|
88 |
\end{equation}
|
|
|
89 |
|
|
|
90 |
Tato matice ale není regulární, proto má systém nekonečně mnoho rovnovážných bodů. Jejich vyjádření získáme požadavkem na nulové derivace v rovnovážných bodech. Řešíme tedy homogenní rovnici.
|
|
|
91 |
|
|
|
92 |
\begin{equation}
|
|
|
93 |
|
|
|
94 |
\end{equation}
|
|
|
95 |
|
|
|
96 |
Tato rovnice má řešení
|
|
|
97 |
|
|
|
98 |
\begin{equation}
|
|
|
99 |
a = \left[ \begin{array}{c}
|
|
|
100 |
-t \\
|
|
|
101 |
|
|
|
102 |
t \\
|
|
|
103 |
\end{array}
|
|
|
104 |
\right] \\
|
|
|
105 |
t \in R
|
|
|
106 |
\end{equation}
|
|
|
107 |
|
|
|
108 |
|
|
|
109 |
\item
|
|
|
110 |
zadaný systém není asymptoticky stabilní, protože
|
|
|
111 |
|
|
|
112 |
\begin{equation}
|
|
|
113 |
\lim _{x \to \infty} \sin x(k) \neq 0
|
|
|
114 |
\end{equation}
|
|
|
115 |
|
|
|
116 |
\item
|
|
|
117 |
K určení stability nepomůže Sylvestrovo kritérium, proto
|
|
|
118 |
najdeme vlastní čísla matice z charakteristického polynomu
|
|
|
119 |
|
|
|
120 |
\begin{equation}
|
|
|
121 |
\det (\lambda I - A) =
|
|
|
122 |
\left[ \begin{array}{cc}
|
|
|
123 |
\lambda & -1 \\
|
|
|
124 |
1 & \lambda\\
|
|
|
125 |
\end{array}
|
|
|
126 |
\right] = \lambda ^2 + 1
|
|
|
127 |
\end{equation}
|
|
|
128 |
|
|
|
129 |
Polynom má komplexní kořeny $\lambda _{1,2} = \pm j$
|
|
|
130 |
|
|
|
131 |
A matice je positivně semidefinitní. Systém je proto stabilní, ale ne asymptoticky.
|
|
|
132 |
|
|
|
133 |
\item
|
|
|
134 |
|
|
|
135 |
Pokud si zvolíme hodnoty $x_1(k)=x(k), x_2(k)=x(k+1)$ dostaneme $x_1(k+1)=x(k+1), x_1(k+1)=x_2(k)$ A můžeme vytvořit soustavu rovnic.
|
|
|
136 |
|
|
|
137 |
\begin{equation}
|
|
|
138 |
x_1(k+1)=x_2(k) \\
|
|
|
139 |
x_2(k+1)=-x_1(k) + u(k)\\
|
|
|
140 |
y(k)=x_1(k) \\
|
|
|
141 |
\end{equation}
|
|
|
142 |
|
|
|
143 |
Kterou můžeme přepsat do tvaru
|
|
|
144 |
|
|
|
145 |
\begin{equation}
|
|
|
146 |
x_1(k+1)=\left[ \begin{array}{cc}
|
|
|
147 |
|
|
|
148 |
-1 & 0 \\
|
|
|
149 |
\end{array}
|
|
|
150 |
\right] x(k) + \left[ \begin{array}{c}
|
|
|
151 |
|
|
|
152 |
1 \\
|
|
|
153 |
\end{array}
|
|
|
154 |
\right] u(k)
|
|
|
155 |
\\
|
|
|
156 |
y(k)=\left[ \begin{array}{cc}
|
|
|
157 |
1 & 0 \\
|
|
|
158 |
\end{array} \right] x(k) + [0]u(k)\\
|
|
|
159 |
\end{equation}
|
|
|
160 |
|
|
|
161 |
Z toho pak můžeme zjistit přenos systému
|
|
|
162 |
|
|
|
163 |
\begin{equation}
|
|
|
164 |
G(z)= C (zI - A)^{-1} B + D \\
|
|
|
165 |
G(z)=\left[ \begin{array}{cc}
|
|
|
166 |
1 & 0 \\
|
|
|
167 |
\end{array} \right] \frac{1}{z^2 + 1 }
|
|
|
168 |
\left[ \begin{array}{cc}
|
|
|
169 |
z & 1 \\
|
|
|
170 |
-1 & z \\
|
|
|
171 |
\end{array} \right]
|
|
|
172 |
\left[ \begin{array}{c}
|
|
|
173 |
|
|
|
174 |
1 \\
|
|
|
175 |
\end{array} \right] = \frac{1}{z^2 + 1}
|
|
|
176 |
\end{equation}
|
|
|
177 |
|
|
|
178 |
singularita přenosu nastává v bodech $z= \pm j$ A systém není BIBO stabilní, protože jeho póly nejsou uvnitř jednotkového kruhu, ale na jeho hranici.
|
|
|
179 |
|
|
|
180 |
\end{enumerate}
|
|
|
181 |
|
|
|
182 |
|
|
|
183 |
\end{document}
|