Subversion Repositories svnkaklik

Rev

Rev 1045 | Go to most recent revision | Details | Compare with Previous | Last modification | View Log

Rev Author Line No. Line
1045 kaklik 1
\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}
2
 
3
\usepackage[czech]{babel}
4
\usepackage[pdftex]{graphicx}
5
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
6
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
7
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
8
\usepackage{rotating}
9
 
10
\begin{document}
11
 
12
\section*{Řešení 4. zadané úlohy		-	 Jakub Kákona}
13
 
14
\begin{enumerate}
15
\item 
16
 
1046 kaklik 17
Problém se pravděpodobně řeší vypočtením gramiánu. A řešením získané soustavy. 
18
 
19
Vstup který změní stav systému z nuly na stav $\alpha$ pravděpodobně udrží stav $\alpha$ i nadále, neboť hodnota vstupu pravděpodobně postupně během časového intervalu T klesne k nule. 
1045 kaklik 20
 
21
\item
1046 kaklik 22
Můžeme spočítat matici dosažitelnosti systému
1045 kaklik 23
 
24
\begin{equation}
1046 kaklik 25
C_k = \left[B, AB, A^2B \right]
26
= \left[ \begin{array}{ccc}
27
 
1045 kaklik 28
1 & 1 & 1  \\
1046 kaklik 29
1 & 1 & 1  \\
1045 kaklik 30
\end{array}
31
\right]
32
\end{equation} 
33
 
1046 kaklik 34
$h(C_k=2)$ proto je dosažitelný podprostor generován dvěma lineárně nezávislými vektory 
1045 kaklik 35
 
36
\begin{equation}
1046 kaklik 37
u = \left[ \begin{array}{c}
38
 
39
1 \\
40
1 \\
41
\end{array}
42
\\
43
\right]
44
v = \left[ \begin{array}{c}
45
1 \\
46
1 \\
47
1 \\
48
\end{array}
49
\right]
1045 kaklik 50
\end{equation} 
1046 kaklik 51
 
52
Aby stav systému $x^1$ byl dosažitelný, musí být součástí dosažitelného prostoru. tj. lze jej nakombinovat z báze dosažitelného prostoru.  
1045 kaklik 53
 
54
\begin{equation}
1046 kaklik 55
\left[ \begin{array}{c}
56
1 \\
57
3 \\
58
3 \\
59
\end{array} \right] = a \left[ \begin{array}{c}
1045 kaklik 60
 
1046 kaklik 61
1 \\
62
1 \\
1045 kaklik 63
\end{array}
1046 kaklik 64
\right]
65
+
66
b \left[ \begin{array}{c}
67
1 \\
68
1 \\
69
1 \\
70
\end{array}
71
\right]
1045 kaklik 72
\end{equation} 
73
 
1046 kaklik 74
Obecně jsou koeficienty a, b reálné a jsou souřadnicemi všech dosažitelných stavů.
1045 kaklik 75
 
1046 kaklik 76
Řešením této soustavy je například $a=2$, $b=1$. Stav $x^1$ je proto určitě dosažitelný. 
1045 kaklik 77
 
1046 kaklik 78
Vstup $u(k)$ potřebný k dosažení  stavu $x^1$ vypočteme ze vztahu 
79
 
1045 kaklik 80
\begin{equation}
1046 kaklik 81
C_k U_k = x^1 - A^k x^0
82
\end{equation} 
1045 kaklik 83
 
1046 kaklik 84
Vzhledem k tomu, že požadovaná počáteční podmínka je $x=0$. Tak předchozí rovnice přejde na tvar: 
85
 
1045 kaklik 86
\begin{equation}
87
\left[ \begin{array}{cc}
1046 kaklik 88
 
89
1 & 1 \\
90
1 & 1 \\
1045 kaklik 91
\end{array}
1046 kaklik 92
\\
93
\right]
94
\left[ \begin{array}{c}
95
u(1) \\
96
u(0) \\
97
\end{array}
98
\right]
99
=\left[ \begin{array}{c}
100
1 \\
101
3 \\
102
3 \\
103
\end{array}
104
\\
105
\right]
1045 kaklik 106
\end{equation} 
107
 
1046 kaklik 108
Rešením této soustavy je vstupní sekvence, která způsobí přechod systému ze stavu $x=0$ do stavu $x^1$  za dva kroky 
1045 kaklik 109
 
1046 kaklik 110
\begin{equation}
111
\left[ \begin{array}{c}
112
u(1) \\
113
u(0) \\
114
\end{array}
115
\right]
116
=\left[ \begin{array}{c}
117
2 \\
118
1 \\
119
\end{array}
120
\\
121
\right]
122
\end{equation} 
1045 kaklik 123
 
1046 kaklik 124
\item
125
Systém (A,B) je řiditelný v případě, že matice $[\lambda I - A, B]$ má plnou hodnost pro každé z n vlastních čísel $\lambda _i$ matice A.
1045 kaklik 126
 
1046 kaklik 127
Je proto nutné zjistit vlastní čísla matice A. 
128
 
129
\begin{equation}
130
\det (\lambda I - A) = 
131
\det \left[ \begin{array}{cccc}
132
\lambda & 0 & -1 & 0 \\
133
 
134
 
135
 
136
\end{array}
137
\right]
138
= s^2(s-1)^2 \longrightarrow \lambda_{1,2}=0 \lambda_{3,4}=1 
139
\end{equation} 
140
 
141
Spočítáme hodnost matice pro vlastní čísla 0. 
142
 
143
\begin{equation}
144
h(\lambda _{1,2} I - A, B) = 
145
h \left( \left[ \begin{array}{cccccc}
146
 
147
 
148
 
149
 
150
\end{array}
151
\right] \right)
152
= 3
153
\end{equation} 
1045 kaklik 154
 
1046 kaklik 155
Matice nemá plnou hodnost pro nulová vlastní čísla a proto jsou módy odpovídající těmto vlastním číslům neřiditelné. 
156
 
1045 kaklik 157
\begin{equation}
1046 kaklik 158
h(\lambda _{3,4} I - A, B) = 
159
h \left( \left[ \begin{array}{cccccc}
160
1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
161
 
162
 
163
 
164
\end{array}
165
\right] \right)
166
= 4
167
\end{equation} 
1045 kaklik 168
 
1046 kaklik 169
Matice má plnou hodnost pro vlastní čísla $\lambda_{3,4}=1$  a módy odpovídající těmto vlastním číslům jsou proto řiditelné. 
170
 
171
\item
172
Najdeme matice převodu do diskrétního tvaru. 
1045 kaklik 173
 
174
\begin{equation}
1046 kaklik 175
\tilde{A} = e ^{At} = L ^{-1} \left\{ (s I - A) ^{-1} \right\} = L ^{-1} \left\{ 
176
\left[ \begin{array}{cc}
177
\frac{s}{s^2+1} & \frac{s}{s^2+1}\\
178
\frac{-1}{s^2+1} & \frac{s}{s^2+1}\\
1045 kaklik 179
\end{array}
1046 kaklik 180
\right] \right\} = 
181
\left[ \begin{array}{cc}
182
\cos T & \sin T \\
183
- \sin T & \cos T\\
184
\end{array}
185
\right]
186
\end{equation}
187
 
188
\begin{equation}
189
\tilde{B} = \left( \int ^T _0 e ^{At} dt \right) B =
190
\left[ \begin{array}{cc}
191
\sin t & - \cos t \\
192
\cos t & \sin t \\
193
\end{array}
194
\right]^T _0 
195
\left[ \begin{array}{c}
1045 kaklik 196
 
197
1 \\
198
\end{array}
1046 kaklik 199
\right] =
200
\left[ \begin{array}{c}
201
1 - \cos T \\
202
 \sin T \\
203
\end{array}
204
\right]
1045 kaklik 205
\end{equation}
206
 
1046 kaklik 207
Matice dosažitelného prostoru diskrétního systému pak je 
1045 kaklik 208
 
209
\begin{equation}
1046 kaklik 210
C_k = \left[ \tilde{B}, \tilde{A}\tilde{B} \right] = 
1045 kaklik 211
\left[ \begin{array}{cc}
1046 kaklik 212
1 - \cos T & \cos T - \cos ^2 T + \sin ^2 T \\
213
\sin T & \sin T - \cos T \sin T + \cos T \sin T \\
214
\end{array}
215
\right]
216
=\\
217
\left[ \begin{array}{cc}
218
1 - \cos T & \cos T - 1 \\
219
\sin T & \sin T \\
220
\end{array}
221
\right]
222
\end{equation}
223
 
224
Aby systém mohl být řiditelný, musí mít matice $C_k$ plnou hodnost. To znamená že $T \neq k \pi , k \in Z$ 
225
 
226
\item
227
 
228
Opět potřebujeme matici dosažitelného prostoru stavů:
229
 
230
\begin{equation}
231
C_k = \left[ B, AB \right] =
232
\left[ \begin{array}{cc}
233
 
234
1 & 1 \\
235
1 & 2 \\
236
\end{array}
237
\right]
238
\end{equation}
239
 
240
Vidíme, že matice má hodnost 2. prostor dosažitelných stavů je proto generován dvěma lineárně nezávislými vektory. Protože víme, že každý dosažitelný stav je řiditelný, určíme řiditelné stavy, jako libovolnou lineární kombinaci vektorů generujících dosažitelný podprostor.  
241
 
242
\begin{equation}
243
x = \alpha
1045 kaklik 244
\left[ \begin{array}{c}
245
 
246
1 \\
1046 kaklik 247
1 \\
248
\end{array}
249
\right]
250
+
251
\beta \left[ \begin{array}{c}
252
1 \\
253
1 \\
254
2 \\
255
\end{array}
256
\right]=
257
\left[ \begin{array}{c}
258
\beta \\
259
\alpha + \beta \\
260
\alpha + 2 \beta \\
261
\end{array}
262
\right]\\
263
\alpha , \beta \in R
1045 kaklik 264
\end{equation}
265
 
1046 kaklik 266
 
1045 kaklik 267
\end{enumerate} 
268
\end{document}