Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}

\usepackage[pdftex]{graphicx}

\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce

\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8

\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů

\usepackage{rotating}

\begin{document}

\section*{Řešení 6. zadané úlohy		-	 Jakub Kákona}

\begin{enumerate}

\item

Spočítáme matici řiditelnosti systému

\begin{equation}

C = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right] =

\left[ \begin{array}{cccccccc}

1 & 1 & 0 & 1 & -3& 0 & -10 & -3 \\

\end{array}

\right]

\end{equation}

Protože tato matice má hodnost pouze 4. Tak obsahuje zbytečné vektory. Vybereme proto lineárně nezávislé:

\begin{equation}

\tilde{C} = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right] =

\left[ \begin{array}{cccc}

1 & 1 & 0 & -3  \\

\end{array}

\right]

\end{equation}

Indexy řiditelnosti pak jsou 

\begin{equation}

\mu _1=3 \\

\mu _2=1

\end{equation}

Dále vypočteme inverzní matici k matici $\tilde{C}$

\begin{equation}

\tilde{C} ^{-1} = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right] =

\left[ \begin{array}{cccc}

1 & 1 & 0 & -3  \\

\end{array}

\right]^{-1}=

\left[ \begin{array}{cccc}

2 & 1 & 0 & -1   \\

-4 & 0 & 1 & 0  \\

1 & 0 & 0 & 0  \\

1 & 0 & 0 & 1  \\

\end{array}

\right]

\end{equation}

Pro sestavení transformační matice P vybereme řádky $q_1, q_2$ na základě zjištěných indexů řiditelnosti. 

\begin{equation}

P = \left[ \begin{array}{c}

q_1 \\

q_1 A \\

q_1 A^2 \\

q_2 \\

\end{array}

\right]\\

\sigma_1 = \mu _1 = 3, \sigma = \mu _1 + \mu _2 = 4

\end{equation}

Z matice $\tilde{C} ^{-1}$ bude proto k sestavení transformační matice P použit 3. a 4. řádek

\begin{equation}

q_1 = \left[ \begin{array}{cccc}

1 & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}

\right]\\

q_2 = \left[ \begin{array}{cccc}

1 & 0 & 0 & 1 \\

\end{array}

\right]\\

\end{equation}

\begin{equation}

P = \left[ \begin{array}{c}

q_1 \\

q_1 A \\

q_1 A^2 \\

q_2 \\

\end{array}

\right]=

\left[ \begin{array}{cccc}

1 & 0 & 0 & 0 \\

-1 & 1 & 4 & -1 \\

1 & 0 & 0 & 1 \\

\end{array}

\right]\\

\end{equation}

\begin{equation}

P^{-1}=\left[ \begin{array}{cccc}

1 & 0 & 0 & 0 \\

-1 & 0 & 0 & 1 \\

\end{array}

\right]\\,

\end{equation}

Nyní přetransformujeme matice A a B pomocí nalezené matice P. 

\begin{equation}

A_c = PAP^{-1}=\left[ \begin{array}{cccc}

1 & -3 & 4 & 1 \\

1 & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}

\right],

\end{equation}

\begin{equation}

B_c = PB =\left[ \begin{array}{cc}

1 & 0 \\

\end{array}

\right],

\end{equation}

\item

Vlastní číslo $\lambda$ je neřiditelné v případě, že bude platit:

\begin{equation}

h[\lambda _i I - A, B] < n 

\end{equation} 

$n$ je řád systému. Pro určení podmínky řiditelnosti systému (A, B) vyjdeme z obecného tvaru matic. 

\begin{equation}

A = \left[ \begin{array}{cccc}

\lambda _1   & 0 & \cdots & 0 \\

\vdots &  & \ddots & 0 \\

\end{array}

\right]\\

B = \left[ \begin{array}{cccc}

b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\

b_{21} & b_{22} & & \vdots  \\

\vdots &  & \ddots & \vdots \\

b_{m1} & \cdots & \cdots & b_{mn} \\

\end{array}

\right]\\

\end{equation} 

V důsledku toho, že matice A je diagonální a obsahuje tedy přímo vlastní čísla. Tak dosazením vlastního čísla do výše uvedeného vzorce bude hodnost matice A snížena minimálně o jedna. (v závislosti na algebraické násobnosti vlastního čísla.)

Pokud ale budou všechny řádky matice B lineárně nezávislé, tak hodnost testovací matice $h[\lambda _i I - A, B]$ nebude snížena pod $n$ a systém bude řiditelný.  V opačném případě, pokud  matice B nebude mít vhodnou lineární nezávislost, tak systém bude neřiditelný.

\item

Je potřeba zjistit vlastní čísla matice A. 

\begin{equation}

\det (\lambda I - A) = 

\det \left[ \begin{array}{cccc}

\lambda & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}

\right]=

\lambda \det \left[ \begin{array}{ccc}

 \lambda & 0 & 0 \\

 -1 & \lambda & 0 \\

\end{array}

\right]

= \lambda ^3 (\lambda + 1) 

\end{equation} 

Vlastní čísla matice pak jsou:

\begin{equation}

\lambda _{1} = -1 \\ \lambda _{2,3,4} = 0

\end{equation}

Dále potřebujeme matici pozorovatelnosti systému

\begin{equation}

O = \left[ \begin{array}{c}

C \\

AC \\

A^2C \\

A^3C \\

\end{array}

\right]

= \left[ \begin{array}{cccc}

1 & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}

\right]

\end{equation} 

Stav je nepozorovatelný, pokud je součástí jádra matice O.  tj. $x \in ker(O)$

Hledáme proto řešení soustavy:

\begin{equation}

\left[ \begin{array}{cccc}

1 & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}

\\

\right]

\left[ \begin{array}{c}

a \\

b \\

c \\

d \\

\end{array}

\right] = 0

\end{equation}

\begin{equation}

N(0) = \left[ \begin{array}{c}

1 \\

\end{array} \right]

\end{equation} 

Dále hledáme transformační matici $Q = [Q_o, v_1]$ , která umožní vytvořit standardní formu nepozorovatelných systémů. $v_1$ je vektor z nepozorovatelného podprostoru systému a $Q_o$ je matice složená z lineárně nezávislých vektorů matice O. 

\begin{equation}

Q = \left[ \begin{array}{cccc}

1 & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}

\right]

\end{equation} 

Nyní můžeme sestavit standardní tvar. 

\begin{equation}

\tilde{A} = Q^{-1} A Q =

\left[ \begin{array}{cccc}

1 & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}

\right]

\left[ \begin{array}{cccc}

\end{array}

\right]

\left[ \begin{array}{cccc}

1 & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}

\right]=

\left[ \begin{array}{cccc}

\end{array}

\right]

\end{equation} 

Dílčí bloky matice pak jsou: 

\begin{equation}

\tilde{A}_1 =

\left[ \begin{array}{ccc}

\end{array}

\right]\\

\tilde{A}_2 = -1

\end{equation} 

Dále lze upravit i matici C. 

\begin{equation}

\tilde{C} = CQ =

\left[ \begin{array}{cccc}

1 & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}

\right]

\left[ \begin{array}{cccc}

1 & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}

\right]=

\left[ \begin{array}{cccc}

1 & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}

\right]

\end{equation}

Z těchto výsledků již zjistíme, že 

\begin{enumerate}

\item Vlastní čísla matice $A_1$, $\lambda _{1,2,3}=0$ jsou pozorovatelná vlastní čísla systému (A, C). 

\item Vlastní číslo $A_2 = \lambda _4 = -1$ je nepozorovatelným vlastním číslem. A mód náležící tomuto vlastnímu číslu je nepozorovatelný. 

\end{enumerate}

\item

Vypočteme matici pozorovatelnosti 

\begin{equation}

O = \left[ \begin{array}{c}

C \\

AC \\

A^2C \\

\end{array}

\right]

= \left[ \begin{array}{ccc}

1 & -2 & 1 \\

-2 & 4 & -2 \\

\end{array}

\right]

\end{equation} 

A řiditelnosti systému:

\begin{equation}

\tilde{C} = \left[ B, AB, A^2B \right] =

\left[ \begin{array}{cccccc}

1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}

\right]

\end{equation}

Dále ještě potřebujeme jádro matice O.

\begin{equation}

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & -2 & 1 \\

-2 & 4 & -2 \\

\end{array}

\right]

\left[ \begin{array}{c}

a \\

b \\

c \\

d \\

\end{array}

\right] = 0

\end{equation}

\begin{equation}

N(O) = \left[ \begin{array}{c}

1 \\

-1 \\

\end{array} \right]

\end{equation} 

Nyní můžeme určit transformační matici Q. 

\begin{equation}

Q = [v_1, v_2, Q_n] = 

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 0 \\

1 & -1 & 1 \\

\end{array}

\right]

\end{equation}

Její inverze je:

\begin{equation}

Q ^{-1}= 

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 0 \\

1 & -1 & 1 \\

\end{array}

\right]^{-1}

= 

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & -1 & 0 \\

1 & -2 & 1 \\

\end{array}

\right]

\end{equation}

Nyní lze určit Kalmanovu formu matic 

\begin{equation}

\tilde{A}= Q^{-1} A Q =

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & -1 & 0 \\

1 & -2 & 1 \\

\end{array}

\right]

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & -2 & 1 \\

\end{array}

\right]

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 0 \\

1 & -1 & 1 \\

\end{array}

\right]

=\left[ \begin{array}{ccc}

\end{array}

\right] 

\end{equation}

\begin{equation}

\tilde{B}= Q^{-1} B =

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & -1 & 0 \\

1 & -2 & 1 \\

\end{array}

\right]

\left[ \begin{array}{cc}

1 & 0  \\

1 & 1  \\

1 & 2  \\

\end{array}

\right]

=\left[ \begin{array}{ccc}

1 & 1 \\

\end{array}

\right] 

\end{equation}

\begin{equation}

\tilde{C}= CQ =

\left[ \begin{array}{ccc}

\end{array}

\right]

\left[ \begin{array}{ccc}

1 & 1 & 0 \\

1 & 0 & 0 \\

1 & -1 & 1 \\

\end{array}

\right]

=\left[ \begin{array}{ccc}

1 & 0 & 0 \\

\end{array}

\right] 

\end{equation}

\begin{equation}

\tilde{D}= D =

\left[ \begin{array}{c}

1 \\

\end{array}

\right]

\end{equation}

\item

Příklad je podobný příkladu č. 4. z předchozího úkolu. 

\begin{enumerate}

\item 

Spočítáme matici řiditelnosti:

\begin{equation}

C = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right]

\end{equation}

U matice vyjde plná hodnost, a systém by proto měl být řiditelný. 

\item Když matici B upravíme tak, aby efekt síly $f_2$  byl nulový a přepočítáme matici řiditelnosti, tak vyjde opět plná hodnost. A systém by proto měl být řiditelný ze vstupu $f_1$

Protože jde o spojitý systém, tak se zde dosažitelnost a řiditelnost nerozlišuje. 

Matice B může být upravena i tak, aby efekt síly $f_1$ byl nulový. ale opět vyjde plná hodnost. 

\end{enumerate}

Podobně je to i s dalšími typy určujících matic. (vždy vyjde plná hodnost a systém splňuje podmínky na pozorovatelnost a řiditelnost)

Problémem tohoto příkladu pravděpodobně je špatně podmíněná neceločíselná matice. A použití vhodného numerického řešení. K zjištění problematických stavů.  

\end{enumerate} 

\end{document}