Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,czech]{article}

\usepackage[czech]{babel}

\usepackage[cp1250]{inputenc}

\usepackage{times}

\usepackage{geometry}

\geometry{verbose,a4paper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}

\usepackage{array}

\usepackage{graphicx}

%\usepackage{multirow}

%\usepackage{bigstrut}

%\usepackage{amsbsy}

%\pagestyle{plain}

%\renewcommand{\tan}{\textrm{tg}}

\newcommand{\tg}{\textrm{tg}}

\newcommand{\cm}{\textrm{cm}}

\newcommand{\m}{\textrm{m}}

\newcommand{\mm}{\textrm{mm}}

\newcommand{\nm}{\textrm{nm}}

\begin{document}

\noindent \begin{tabular}{|>{\raggedright}b{4cm}|>{\raggedright}b{13cm}|}

\hline 

\textbf{Název a \v{c}íslo úlohy}& 2 - Difrakce svìtelného záøení

\tabularnewline

\hline 

\textbf{Datum m\v{e}\v{r}ení}& 23. 2. 2011

\tabularnewline

\hline 

\textbf{M\v{e}\v{r}ení provedli}& TomᚠZikmund, Jakub Kákona

\tabularnewline

\hline 

\textbf{Vypracoval}& TomᚠZikmund

\tabularnewline

\hline 

\textbf{Datum}& 2. 3. 2011

\tabularnewline

\hline 

\textbf{Hodnocení}&

\tabularnewline

\hline

\end{tabular}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Difrakèní obrazce}

V celé úloze jsme používali He-Ne laser s vlnovou délkou $\lambda = 632,8\,\nm$. Paprsek jsme nasmìrovali požadovaným smìrem pomocí nastavitelného zrcátka.

Pro pozorování difrakce na hranì jsme museli svazek laserového záøení rozšíøit. K tomu jsme použili objektiv z mikroskopu. Pro vytvoøení èistého svazku jsme do výstupu z objektivu vložili clonku s malým otvorem (bodový zdroj). Pøed objektiv mikroskopu jsme vložili spojnou èoèku, tak aby její ohnisko bylo v místì bodového zdroje a paprsky vycházející z èoèky byly rovnobìžné. Do takto rozšíøeného svazku jsme vložili tenký rovnì zastøižený plech pøedstavující ostrou hranu. Ve vzdálenosti pøibližnì 3,5\,m jsme pozorovali difrakèní obrazec. V difrakèním obrazci byly znatelné proužky maxim a minim rovnobìžné s hranou, nejlépe pozorovatelné v okolí hrany geometrického stínu.

Pro pozorování dalších difrakèních obrazcù jsme použili úzký laserový svazek (bez rozšíøení). U difrakce na tenkém drátì jsme pozorovali jedno centrální maximum jehož intenzita nebyla nejvyšší uprostøed, ale spíše na okraji. Další maxima byly od sebe stejnì vzdáleny a jejich intenzita klesala se vzdáleností od centrálního maxima.

U difrakce na štìrbinì jsme pozorovali podobný obrazec, který se lišil pouze tím, že nejvyšší intenzita centrálního maxima byla uprostøed. To potvrzuje platnost Babinetova doplòkového principu. Protože drát a štìrbina jsou vzájemnì doplòkové útvary, souèet jejich polí musí být stejný jako pole samotného svazku bez stínítka. Vedlejší maxima musí být u obou obrazcù na stejných místech, avšak jejich pole budou mít opaènou fázi.

Dále jsme pozorovali difrakèní obrazec obdélníku, který mìl delší stranu vodorovnì. Centrální maximum tvoøil obdélník, jehož tvar odpovídal tvaru apertury. Ve smìru každé stany tohoto obdélníku byla øada vedlejších maxim. Tyto maxima tvoøily také obdélníky, jejichž jeden rozmìr odpovídal délce pøilehlé strany hlavního maxima a druhý odpovídal pøibližnì polovinì délky druhé strany hlavního maxima.

U difrakèního obrazce kruhové apertury jsme pozorovali jedno kruhové maximum a nìkolik soustøedných kruhových maxim okolo nìj.

Pro výpoèet Fresnelova èísla platí vztah \begin{displaymath}

N_F = 	\frac{\bar{x}^2_{max} + \bar{y}^2_{max}}{\lambda z}.

\end{displaymath} Napøíklad pro difrakèní obrazec obdélník o rozmìrech $a = 89\,\mu \m$ a $b = 112\,\mu \m$ ve vzdálenosti 351\,cm vychází Fresnelovo èíslo \begin{displaymath}

N_F = 0,009 \ll \frac{1}{2}.

\end{displaymath} Urèitì se tedy jedná o vzdálenou zónu. Fresnelovo èíslo pro tento obdélník $N_F = \frac{1}{2}$, právì když je difrakèní obrazec vzdálen $6,5\,\cm$. Ve Fresnelovì zónì, tedy blíž než $6,5\,\cm$ jsme však žádné difrakèní obrazce nepozorovali. Je to zpùsobeno tím, že fáze pole v této zónì je velmi promìnlivá a velmi citlivì závislá na vzdálenosti.

\section{Výpoèet velikosti apertur podle difrakèního obrazce}

Vzdálenost stínítka od apertury je ve všech pøípadech stejná a to z = 351\,cm. U difrakèního obrazce štìrbiny jsme zmìøili vzdálenost -5. a 5. maxima $d_5$ = 13\,cm. Odtud vzdálenost prvního minima $x_1$ = 1,3\,cm. Pro výpoèet šíøky štìrbiny vyjdeme ze vzorce \begin{displaymath}

x_m = \frac{m \lambda z}{a} ,

\end{displaymath} odkud vyjádøíme šíøku štìrbiny \begin{displaymath}

a = \frac{m \lambda z}{x_m}.

\end{displaymath} Po dosazení hodnoty $x_1$ vychází šíøka štìrbiny \begin{displaymath}

a = 171\,\mu m.

\end{displaymath}

Pro difrakèní obrazec drátu jsme namìøili vzdálenost -5. a 5. maxima $d_5$ = 22,7\,cm. Odtud vzdálenost prvního minima $x_1$ = 2,27\,cm. Z Babinetova principu plyne, že pro difrakèní minima drátu musí platit stejný vzorec jako pro štìrbinu \begin{displaymath}

a = \frac{m \lambda z}{x_m},

\end{displaymath} kde a je prùmìr drátu. Po dosazení $x_1$ vychází \begin{displaymath}

a = 98\,\mu m.

\end{displaymath} Drát tedy pravdìpodobnì bude mít prùmìr 0,1\,mm.

Pøi mìøení -5. a 5. maxima obdélníkové apertury nám vyšla vzdálenost ve vodorovné ose $d_{5v}$ = 25\,cm a vzdálenost ve svislé ose $d_{5s}$ = 19,9\,\cm. Odtud vzdálenost prvního minima ve vodorovné ose $x_1$ = 2,5\,cm a ve svislé ose $y_1$ = 1,99\,\cm. Z výrazu pro intenzitu difrakèního obrazce obdélníkové apertury uvedeného v \cite{navod} je vidìt, že pro jednotlivé rozmìry obdélníkové apertury bude platit stejný vzorec jako pro štìrbinu. Proto \begin{displaymath}

a = \frac{m \lambda z}{x_m}, \qquad b = \frac{m \lambda z}{y_m}.

\end{displaymath} Po dosazení $x_1$ a $y_1$ dostáváme \begin{displaymath}

a = 89\,\mu \m , \qquad b = 112\,\mu \m.

\end{displaymath} U apertury bylo uvedeno, že se jedná o ètverec o stranách $89\,\mu \m$, jedna strana tedy odpovídá namìøeným údajùm.

Pro kruhovou aperturu jsme namìøili následující prùmìry prvních minim: $d_1 = 19,5\,\mm,\ d_2 = 36\,\mm,\ d_3 = 53\,\mm$. Pro polomìry tedy platí: $r_1 = 9,75\,\mm,\ r_2 = 18\,\mm,\ r_3 = 26,5\,\mm$. Ze vzorcù \begin{displaymath}

r1 = \frac{1,22 \lambda z}{d},\ r2 = \frac{2,23 \lambda z}{d} ,\ r3 = \frac{3,24 \lambda z}{d}

\end{displaymath} vypoèteme tøi hodnoty pro prùmìr kruhové apertury \begin{displaymath}

d \approx 277,9\,\mu \m \approx 275,2\,\mu \m \approx 271,6\,\mu \m.

\end{displaymath} Vzájemná odchylka jednotlivých výsledkù je dùsledkem nepøesného mìøení prùmìrù difrakèních minim.

\section{Závislost difrakèní úèinnosti na úhlu dopadu}

Difrakèní úèinnost obou typù møížek jsme mìøili radiometrickým wattmetrem, tak že jsme difrakèní møížku pøipevnili do otoèného stojánku s úhlomìrem a pøi osvícení svazkem nalezli první difrakèní øád. Do tohoto místa jsme pak umístili mìøící diodu wattmetru. Natáèením stojánku jsme pak mìnili úhel svazku a zapisovali hodnoty výkonu dopadajícího na detektor. Vlivem lomu v podložce møížky bylo ale tøeba postupnì upravovat pozici detektoru, aby citlivá plocha stále zùstávala osvícena difrakèním øádem.

Namìøená závislost je pak vidìt v grafu  \ref{mrizky}.

\begin{figure}[htbp]

\centering

\includegraphics[width=150mm]{mrizky.png} 

\caption{Závislost difrakèní úèinnosti prvních øádu tenké a objemové møížky na úhlu dopadu}

\label{mrizky}

\end{figure}

\section{Výpoèet period møížek}

Vzdálenost difrakèního obrazce od møížky je všech pøípadech $z = 351\,\cm$. U tenké fázové møížky jsme namìøili vzdálenost mezi -1. a 1. minimem $d_1 = 44,7\,\cm$. Odtud vzdálenost prvního minima $r_1 = 22,35\,\cm$. Dále jsme zmìøili vzdálenost tøetího minima $r_3 = 69,8\,\cm$. Pro výpoèet periody vyjdeme ze skalární møížkové rovnice \begin{displaymath}

\sin(\theta _m) - \sin(\theta _i) = m \cdot \frac{\lambda}{\Lambda},

\end{displaymath} kde $\theta _m$ je úhel difrakce do $m$-tého difrakèního maxima a $\theta _i$ je úhel dopadu rovinné vlny na møížku. Úhel $\theta _i$ je v našem pøípadì nulový. Pro møížkovou periodu $\Lambda$ bude tedy platit \begin{displaymath}

\Lambda = m \cdot \frac{\lambda}{\sin(\theta _m)} \approx m \cdot \frac{\lambda}{\tg(\theta _m)} = m \cdot \frac{\lambda z}{r_m} .

\end{displaymath} Po dosazení $r_1$ a $r_3$ vychází \begin{displaymath}

\Lambda \approx 9,9\,\mu \m \approx 9,5\,\mu \m.

\end{displaymath}

U tenké amplitudové møížky jsme namìøili vzdálenost mezi -1. a 1. minimem $d_1 = 41,5\,cm$. Odtud vzdálenost prvního minima $r_1 = 20,75\,\cm$. Dále jsme zmìøili vzdálenost tøetího minima $r_3 = 63,5\,\cm$. Ze stejného vzorce jako v pøedchozím pøípadì vypoèteme po dosazení $r_1$ a $r_3$ møížkovou periodu \begin{displaymath}

\Lambda \approx 10,7\,\mu \m \approx 10,5\,\mu \m.

\end{displaymath}

Braggùv úhel objemové møížky jsme nalezli tak, že jsme wattmetr nastavili na vlnovou délku $\lambda = 632,8\,\nm$ a mìøili jsme výkon maxima prvního difrakèního øádu. Snímaè jsme se snažili nastavit kolmo na dopadající záøení a udržovat stále ve stejné vzdálenosti od møížky. Pomocí wattmetru jsme našli úhel dopadu rovinné vlny na møížku, pøi kterém byl výkon záøení prvního maxima nejvyšší. Pro objemovou møížku nám vyšel tento Braggùv úhel \begin{displaymath}

\theta _{B} = 29,5^\circ .

\end{displaymath} Pøi tomto úhlu jsme zmìøili vzdálenost møížky od stínítka $z = 121\,\mm$ a vzdálenost prvního maxima od nultého maxima $x = 190\,\mm$. Stínítko bylo umístìné kolmo na svazek nultého maxima. Pro úhel mezi paprsky prvního a nultého maxima tedy platí \begin{displaymath}

\tg(\theta _1) = \frac{x}{y}, \qquad \theta _1 = 57,5\,^\circ .

\end{displaymath} Vlnový vektor vlny nultého maxima oznaèíme $k_1$.

Z Braggovy podmínky a z obrázku \ref{mrizka} plyne vztah \begin{displaymath}

\sin(\frac{\theta _1}{2}) = \frac{\frac{\mid K \mid}{2}}{k_1} = \frac{\lambda}{2 \Lambda},

\end{displaymath} odkud \begin{displaymath}

\Lambda = \frac{\lambda}{2 \sin(\frac{\theta _1}{2})} = 657,8\,\nm.

\end{displaymath}

\begin{figure}[htbp]

\centering

\includegraphics[width=100mm]{mrizka.png} 

\caption{Objemová møížka pøi splnìné Braggovì podmínce}

\label{mrizka}

\end{figure}

Nakonec jsme ještì zmìøili vzdálenost nultého a prvního maxima další tenké amplitudové møížky $r_1 = 54\,\mm$ ve vzdálenosti $z = 465\,\mm$. Z rovnice pro tenkou møížku jsme vypoèítali \begin{displaymath}

\Lambda = 5,5\,\mu \m.

\end{displaymath} U této møížky jsme v pøedchozí úloze mìøili selektivní køivku.

\section{Rozdíly mezi difrakcí na tenké a objemové møížce}

Z grafu na obrázku \ref{mrizky} je vidìt znaèný rozdíl v rozložení difrakèní úèinnosti na úhlu dopadajícího záøení vzhledem k typu difrakèní møížky. Je zøejmé, že objemová møížka je velmi citlivá na úhel a má vysokou difrakèní úèinnost pouze ve velmi úzkém rozsahu. To je dáno nutností splnìní Braggovy podmínky, která vyžaduje, aby pøíspìvky od jednotlivých elementárních vlnoploch vznikajících na møížce byly soufázové. A vzhledem k tomu, že v objemové møížce se svìtlo mùže šíøit po drahách rùzné optické délky, bude soufázovost splnìna pouze pro konkrétní úhel. Tento problém nenastává u tenkých møížek, kdy nemùže dojít k výraznému fázovému rozdílu elementárních vlnoploch a difrakèní úèinnost se úhlem dopadajícího záøení mìní pouze minimálnì.

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{navod} Kolektiv KFE FJFI ÈVUT: \emph{Úloha è. 2 - Difrakce svìtelného záøení}, [online], [cit. 2. bøezna 2010], http://optics.fjfi.cvut.cz/files/pdf/ZPOP\_02.pdf

\end{thebibliography}

\end{document}