Subversion Repositories svnkaklik

Rev

Rev 744 | Go to most recent revision | Details | Compare with Previous | Last modification | View Log

Rev Author Line No. Line
743 kaklik 1
\documentclass[12pt,czech]{article}
2
 
3
\usepackage[czech]{babel}
4
\usepackage[cp1250]{inputenc}
5
\usepackage{times}
6
\usepackage{geometry}
7
\geometry{verbose,a4paper,tmargin=2cm,bmargin=2cm,lmargin=2cm,rmargin=2cm}
8
 
9
\usepackage{array}
10
 
11
\usepackage{graphicx}
12
%\usepackage{multirow}
13
%\usepackage{bigstrut}
14
%\usepackage{amsbsy}
15
 
16
%\pagestyle{plain}
17
 
18
%\renewcommand{\tan}{\textrm{tg}}
19
\newcommand{\tg}{\textrm{tg}}
20
\newcommand{\cm}{\textrm{cm}}
21
\newcommand{\m}{\textrm{m}}
22
\newcommand{\mm}{\textrm{mm}}
23
\newcommand{\nm}{\textrm{nm}}
24
 
25
 
26
\begin{document}
27
\noindent \begin{tabular}{|>{\raggedright}b{4cm}|>{\raggedright}b{13cm}|}
28
\hline 
745 kaklik 29
\textbf{Název a \v{c}íslo úlohy}& 2 - Difrakce svìtelného záøení
743 kaklik 30
\tabularnewline
31
\hline 
745 kaklik 32
\textbf{Datum m\v{e}\v{r}ení}& 23. 2. 2011
743 kaklik 33
\tabularnewline
34
\hline 
745 kaklik 35
\textbf{M\v{e}\v{r}ení provedli}& TomᚠZikmund, Jakub Kákona
743 kaklik 36
\tabularnewline
37
\hline 
745 kaklik 38
\textbf{Vypracoval}& TomᚠZikmund
743 kaklik 39
\tabularnewline
40
\hline 
41
\textbf{Datum}& 2. 3. 2011
42
\tabularnewline
43
\hline 
745 kaklik 44
\textbf{Hodnocení}&
743 kaklik 45
\tabularnewline
46
\hline
47
\end{tabular}
48
 
49
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
50
 
745 kaklik 51
\section{Difrakèní obrazce}
743 kaklik 52
 
745 kaklik 53
V celé úloze jsme používali He-Ne laser s vlnovou délkou $\lambda = 632,8\,\nm$. Paprsek jsme nasmìrovali požadovaným smìrem pomocí nastavitelného zrcátka.
743 kaklik 54
 
745 kaklik 55
Pro pozorování difrakce na hranì jsme museli svazek laserového záøení rozšíøit. K tomu jsme použili objektiv z mikroskopu. Pro vytvoøení èistého svazku jsme do výstupu z objektivu vložili clonku s malým otvorem (bodový zdroj). Pøed objektiv mikroskopu jsme vložili spojnou èoèku, tak aby její ohnisko bylo v místì bodového zdroje a paprsky vycházející z èoèky byly rovnobìžné. Do takto rozšíøeného svazku jsme vložili tenký rovnì zastøižený plech pøedstavující ostrou hranu. Ve vzdálenosti pøibližnì 3,5\,m jsme pozorovali difrakèní obrazec. V difrakèním obrazci byly znatelné proužky maxim a minim rovnobìžné s hranou, nejlépe pozorovatelné v okolí hrany geometrického stínu. V geometrickém stínu bylo možné tyto proužky pozorovat také, ale s mnohem nižší intenzitou.
743 kaklik 56
 
745 kaklik 57
Pro pozorování dalších difrakèních obrazcù jsme použili úzký laserový svazek (bez rozšíøení). U difrakce na tenkém drátì jsme pozorovali jedno centrální maximum jehož intenzita nebyla nejvyšší uprostøed, ale spíše na okraji. Další maxima byly od sebe stejnì vzdáleny a jejich intenzita klesala se vzdáleností od centrálního maxima.
743 kaklik 58
 
745 kaklik 59
U difrakce na štìrbinì jsme pozorovali podobný obrazec, který se lišil pouze tím, že nejvyšší intenzita centrálního maxima byla uprostøed. To potvrzuje platnost Babinetova doplòkového principu. Protože drát a štìrbina jsou vzájemnì doplòkové útvary, souèet jejich polí musí být stejný jako pole samotného svazku bez stínítka. Vedlejší maxima musí být u obou obrazcù na stejných místech, avšak jejich pole budou mít opaènou fázi.
743 kaklik 60
 
745 kaklik 61
Dále jsme pozorovali difrakèní obrazec obdélníku, který mìl delší stranu vodorovnì. Centrální maximum tvoøil obdélník, jehož tvar odpovídal tvaru apertury. Ve smìru každé stany tohoto obdélníku byla øada vedlejších maxim. Tyto maxima tvoøily také obdélníky, jejichž jeden rozmìr odpovídal délce pøilehlé strany hlavního maxima a druhý odpovídal pøibližnì polovinì délky druhé strany hlavního maxima.
743 kaklik 62
 
745 kaklik 63
U difrakèního obrazce kruhové apertury jsme pozorovali jedno kruhové maximum a nìkolik soustøedných kruhových maxim okolo nìj.
743 kaklik 64
 
745 kaklik 65
Pro výpoèet Fresnelova èísla platí vztah \begin{displaymath}
743 kaklik 66
N_F = 	\frac{\bar{x}^2_{max} + \bar{y}^2_{max}}{\lambda z}.
745 kaklik 67
\end{displaymath} Napøíklad pro difrakèní obrazec obdélník o rozmìrech $a = 89\,\mu \m$ a $b = 112\,\mu \m$ ve vzdálenosti 351\,cm vychází Fresnelovo èíslo \begin{displaymath}
743 kaklik 68
N_F = 0,009 \ll \frac{1}{2}.
745 kaklik 69
\end{displaymath} Urèitì se tedy jedná o vzdálenou zónu. Fresnelovo èíslo pro tento obdélník $N_F = \frac{1}{2}$, právì když je difrakèní obrazec vzdálen $6,5\,\cm$. Ve Fresnelovì zónì, tedy blíž než $6,5\,\cm$ jsme však žádné difrakèní obrazce nepozorovali. Je to zpùsobeno tím, že fáze pole v této zónì je velmi promìnlivá a velmi citlivì závislá na vzdálenosti.
743 kaklik 70
 
71
 
745 kaklik 72
\section{Výpoèet velikosti apertur podle difrakèního obrazce}
743 kaklik 73
 
745 kaklik 74
Vzdálenost stínítka od apertury je ve všech pøípadech stejná a to z = 351\,cm. U difrakèního obrazce štìrbiny jsme zmìøili vzdálenost -5. a 5. maxima $d_5$ = 13\,cm. Odtud vzdálenost prvního minima $x_1$ = 1,3\,cm. Pro výpoèet šíøky štìrbiny vyjdeme ze vzorce \begin{displaymath}
743 kaklik 75
x_m = \frac{m \lambda z}{a} ,
745 kaklik 76
\end{displaymath} odkud vyjádøíme šíøku štìrbiny \begin{displaymath}
743 kaklik 77
a = \frac{m \lambda z}{x_m}.
745 kaklik 78
\end{displaymath} Po dosazení hodnoty $x_1$ vychází šíøka štìrbiny \begin{displaymath}
743 kaklik 79
a = 171\,\mu m.
80
\end{displaymath}
81
 
745 kaklik 82
Pro difrakèní obrazec drátu jsme namìøili vzdálenost -5. a 5. maxima $d_5$ = 22,7\,cm. Odtud vzdálenost prvního minima $x_1$ = 2,27\,cm. Z Babinetova principu plyne, že pro difrakèní minima drátu musí platit stejný vzorec jako pro štìrbinu \begin{displaymath}
743 kaklik 83
a = \frac{m \lambda z}{x_m},
745 kaklik 84
\end{displaymath} kde a je prùmìr drátu. Po dosazení $x_1$ vychází \begin{displaymath}
743 kaklik 85
a = 98\,\mu m.
745 kaklik 86
\end{displaymath} Drát tedy pravdìpodobnì bude mít prùmìr 0,1\,mm.
743 kaklik 87
 
745 kaklik 88
Pøi mìøení -5. a 5. maxima obdélníkové apertury nám vyšla vzdálenost ve vodorovné ose $d_{5v}$ = 25\,cm a vzdálenost ve svislé ose $d_{5s}$ = 19,9\,\cm. Odtud vzdálenost prvního minima ve vodorovné ose $x_1$ = 2,5\,cm a ve svislé ose $y_1$ = 1,99\,\cm. Z výrazu pro intenzitu difrakèního obrazce obdélníkové apertury uvedeného v \cite{navod} je vidìt, že pro jednotlivé rozmìry obdélníkové apertury bude platit stejný vzorec jako pro štìrbinu. Proto \begin{displaymath}
743 kaklik 89
a = \frac{m \lambda z}{x_m}, \qquad b = \frac{m \lambda z}{y_m}.
745 kaklik 90
\end{displaymath} Po dosazení $x_1$ a $y_1$ dostáváme \begin{displaymath}
743 kaklik 91
a = 89\,\mu \m , \qquad b = 112\,\mu \m.
745 kaklik 92
\end{displaymath} U apertury bylo uvedeno, že se jedná o ètverec o stranách $89\,\mu \m$, jedna strana tedy odpovídá namìøeným údajùm.
743 kaklik 93
 
745 kaklik 94
Pro kruhovou aperturu jsme namìøili následující prùmìry prvních minim: $d_1 = 19,5\,\mm,\ d_2 = 36\,\mm,\ d_3 = 53\,\mm$. Pro polomìry tedy platí: $r_1 = 9,75\,\mm,\ r_2 = 18\,\mm,\ r_3 = 26,5\,\mm$. Ze vzorcù \begin{displaymath}
743 kaklik 95
r1 = \frac{1,22 \lambda z}{d},\ r2 = \frac{2,23 \lambda z}{d} ,\ r3 = \frac{3,24 \lambda z}{d}
745 kaklik 96
\end{displaymath} vypoèteme tøi hodnoty pro prùmìr kruhové apertury \begin{displaymath}
743 kaklik 97
d \approx 277,9\,\mu \m \approx 275,2\,\mu \m \approx 271,6\,\mu \m.
745 kaklik 98
\end{displaymath} Vzájemná odchylka jednotlivých výsledkù je dùsledkem nepøesného mìøení prùmìrù difrakèních minim.
743 kaklik 99
 
745 kaklik 100
\section{Závislost difrakèní úèinnosti na úhlu dopadu}
743 kaklik 101
 
745 kaklik 102
Difrakèní úèinnost obou typù møížek jsme mìøili radiometrickým wattmetrem, tak že jsme difrakèní møížku pøipevnili do otoèného stojánku s úhlomìrem a pøi osvícení svazkem nalezli první difrakèní øád. Do tohoto místa jsme pak umístili mìøící diodu wattmetru. Natáèením stojánku jsme pak mìnili úhel svazku a zapisovali hodnoty výkonu dopadajícího na detektor. Vlivem lomu v podložce møížky bylo ale tøeba postupnì upravovat pozici detektoru, aby citlivá plocha stále zùstávala osvícena difrakèním øádem.
103
Namìøená závislost je pak vidìt v grafu  \ref{mrizky}.
743 kaklik 104
 
105
\begin{figure}[htbp]
745 kaklik 106
\centering
744 kaklik 107
\includegraphics[width=150mm]{mrizky.png} 
745 kaklik 108
\caption{Závislost difrakèní úèinnosti prvních øádu tenké a objemové møížky na úhlu dopadu}
743 kaklik 109
\label{mrizky}
110
\end{figure}
111
 
745 kaklik 112
\section{Výpoèet period møížek}
743 kaklik 113
 
745 kaklik 114
Vzdálenost difrakèního obrazce od møížky je všech pøípadech $z = 351\,\cm$. U tenké fázové møížky jsme namìøili vzdálenost mezi -1. a 1. minimem $d_1 = 44,7\,\cm$. Odtud vzdálenost prvního minima $r_1 = 22,35\,\cm$. Dále jsme zmìøili vzdálenost tøetího minima $r_3 = 69,8\,\cm$. Pro výpoèet periody vyjdeme ze skalární møížkové rovnice \begin{displaymath}
743 kaklik 115
\sin(\theta _m) - \sin(\theta _i) = m \cdot \frac{\lambda}{\Lambda},
745 kaklik 116
\end{displaymath} kde $\theta _m$ je úhel difrakce do $m$-tého difrakèního maxima a $\theta _i$ je úhel dopadu rovinné vlny na møížku. Úhel $\theta _i$ je v našem pøípadì nulový. Pro møížkovou periodu $\Lambda$ bude tedy platit \begin{displaymath}
743 kaklik 117
\Lambda = m \cdot \frac{\lambda}{\sin(\theta _m)} \approx m \cdot \frac{\lambda}{\tg(\theta _m)} = m \cdot \frac{\lambda z}{r_m} .
745 kaklik 118
\end{displaymath} Po dosazení $r_1$ a $r_3$ vychází \begin{displaymath}
743 kaklik 119
\Lambda \approx 9,9\,\mu \m \approx 9,5\,\mu \m.
120
\end{displaymath}
121
 
745 kaklik 122
U tenké amplitudové møížky jsme namìøili vzdálenost mezi -1. a 1. minimem $d_1 = 41,5\,cm$. Odtud vzdálenost prvního minima $r_1 = 20,75\,\cm$. Dále jsme zmìøili vzdálenost tøetího minima $r_3 = 63,5\,\cm$. Ze stejného vzorce jako v pøedchozím pøípadì vypoèteme po dosazení $r_1$ a $r_3$ møížkovou periodu \begin{displaymath}
743 kaklik 123
\Lambda \approx 10,7\,\mu \m \approx 10,5\,\mu \m.
124
\end{displaymath}
125
 
745 kaklik 126
Braggùv úhel objemové møížky jsme nalezli tak, že jsme wattmetr nastavili na vlnovou délku $\lambda = 632,8\,\nm$ a mìøili jsme výkon maxima prvního difrakèního øádu. Snímaè jsme se snažili nastavit kolmo na dopadající záøení a udržovat stále ve stejné vzdálenosti od møížky. Pomocí wattmetru jsme našli úhel dopadu rovinné vlny na møížku, pøi kterém byl výkon záøení prvního maxima nejvyšší. Pro objemovou møížku nám vyšel tento Braggùv úhel \begin{displaymath}
743 kaklik 127
\theta _{B} = 29,5^\circ .
745 kaklik 128
\end{displaymath} Pøi tomto úhlu jsme zmìøili vzdálenost møížky od stínítka $z = 121\,\mm$ a vzdálenost prvního maxima od nultého maxima $x = 190\,\mm$. Stínítko bylo umístìné kolmo na svazek nultého maxima. Pro úhel mezi paprsky prvního a nultého maxima tedy platí \begin{displaymath}
743 kaklik 129
\tg(\theta _1) = \frac{x}{y}, \qquad \theta _1 = 57,5\,^\circ .
745 kaklik 130
\end{displaymath} Vlnový vektor vlny nultého maxima oznaèíme $k_1$.
131
Z Braggovy podmínky a z obrázku \ref{mrizka} plyne vztah \begin{displaymath}
743 kaklik 132
\sin(\frac{\theta _1}{2}) = \frac{\frac{\mid K \mid}{2}}{k_1} = \frac{\lambda}{2 \Lambda},
133
\end{displaymath} odkud \begin{displaymath}
134
\Lambda = \frac{\lambda}{2 \sin(\frac{\theta _1}{2})} = 657,8\,\nm.
135
\end{displaymath}
136
 
137
\begin{figure}[htbp]
745 kaklik 138
\centering
139
\includegraphics[width=100mm]{mrizka.png} 
140
\caption{Objemová møížka pøi splnìné Braggovì podmínce}
743 kaklik 141
\label{mrizka}
142
\end{figure}
143
 
745 kaklik 144
Nakonec jsme ještì zmìøili vzdálenost nultého a prvního maxima další tenké amplitudové møížky $r_1 = 54\,\mm$ ve vzdálenosti $z = 465\,\mm$. Z rovnice pro tenkou møížku jsme vypoèítali \begin{displaymath}
743 kaklik 145
\Lambda = 5,5\,\mu \m.
745 kaklik 146
\end{displaymath} U této møížky jsme v pøedchozí úloze mìøili selektivní køivku.
743 kaklik 147
 
745 kaklik 148
\section{Rozdíly mezi difrakcí na tenké a objemové møížce}
743 kaklik 149
 
745 kaklik 150
Z grafu na obrázku \ref{mrizky} je vidìt znaèný rozdíl v rozložení difrakèní úèinnosti na úhlu dopadajícího záøení vzhledem k typu difrakèní møížky. Je zøejmé, že objemová møížka je velmi citlivá na úhel a má vysokou difrakèní úèinnost pouze ve velmi úzkém rozsahu. To je dáno nutností splnìní Braggovy podmínky, která vyžaduje, aby pøíspìvky od jednotlivých elementárních vlnoploch vznikajících na møížce byly soufázové. A vzhledem k tomu, že v objemové møížce se svìtlo mùže šíøit po drahách rùzné optické délky, bude soufázovost splnìna pouze pro konkrétní úhel. Tento problém nenastává u tenkých møížek, kdy nemùže dojít k výraznému fázovému rozdílu elementárních vlnoploch a difrakèní úèinnost se úhlem dopadajícího záøení mìní pouze minimálnì.
743 kaklik 151
 
152
 
153
 
154
\begin{thebibliography}{99}
155
 
745 kaklik 156
\bibitem{navod} Kolektiv KFE FJFI ÈVUT: \emph{Úloha è. 2 - Difrakce svìtelného záøení}, [online], [cit. 2. bøezna 2010], http://optics.fjfi.cvut.cz/files/pdf/ZPOP\_02.pdf
743 kaklik 157
 
158
\end{thebibliography}
159
 
160
 
161
 
162
 
163
 
164
 
165
 
166
 
167
 
168
 
169
 
170
 
171
 
172
 
173
 
174
 
175
 
176
 
177
 
178
 
179
 
180
\end{document}