| 0,0 → 1,502 |
|---|
| \documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article} |
| |
| \usepackage[czech]{babel} |
| \usepackage[pdftex]{graphicx} |
| \usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce |
| \usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8 |
| \usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů |
| \usepackage{rotating} |
| |
| \begin{document} |
| |
| \section*{Řešení 5. zadané úlohy - Jakub Kákona} |
| |
| \begin{enumerate} |
| |
| \item |
| Potřebujeme spočítat matici pozorovatelnosti systému |
| |
| \begin{equation} |
| O = \left[ \begin{array}{c} |
| C |
| AC |
| A^2C |
| \end{array} |
| \right] |
| = \left[ \begin{array}{ccc} |
| 0 & 1 & 0 \\ |
| 0 & 1 & 1 \\ |
| 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 \\ |
| 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| $h(O=2)$. Hodnost je proto menší, než řád systému (3). Systém je proto pozorovatelný jenom částečně. |
| |
| \begin{enumerate} |
| \item Stav je nepozorovatelný, pokud je součástí jádra matice O. tj. $x \in ker(O)$ |
| |
| Hledáme proto řešení soustavy: |
| |
| |
| \begin{equation} |
| \left[ \begin{array}{ccc} |
| 0 & 1 & 0 \\ |
| 0 & 1 & 1 \\ |
| 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 \\ |
| 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \\ |
| \right] |
| \left[ \begin{array}{c} |
| a \\ |
| b \\ |
| c \\ |
| \end{array} |
| \right] = 0 |
| \end{equation} |
| |
| Řešením této soustavy jsou všechny nepozorovatelné stavy |
| |
| \begin{equation} |
| x = \left[ \begin{array}{c} |
| t \\ |
| 0 \\ |
| 0 \\ |
| \end{array} \right], t \in R |
| \end{equation} |
| |
| \item |
| |
| Stav systému je nesestrojitelný, pokud existuje takové $\tilde{x}$, že $x= A ^ k \tilde{x}$, $C \tilde{x} = 0, 0 \leq k $ |
| |
| řešíme proto rovnici: |
| |
| \begin{equation} |
| \left[ \begin{array}{ccc} |
| 0 & 1 & 0 \\ |
| 0 & 1 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \\ |
| \right] |
| \left[ \begin{array}{c} |
| a \\ |
| b \\ |
| c \\ |
| \end{array} |
| \right] = 0 |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{x} = \left[ \begin{array}{c} |
| t \\ |
| 0 \\ |
| 0 \\ |
| \end{array} \right], t \in R |
| \end{equation} |
| |
| Dále potřebujeme vyřešit $x=A^k \tilde{x}$. Ale |
| |
| \begin{equation} |
| A^k = \left[ \begin{array}{ccc} |
| 1 & 0 & k \\ |
| 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} \right] |
| \end{equation} |
| |
| z toho $A^k \tilde{x} = \tilde{x}$. V důsledku toho jsou všechny nepozorovatelné stavy zároveň nesestrojitelné. |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{x} = x = \left[ \begin{array}{c} |
| t \\ |
| 0 \\ |
| 0 \\ |
| \end{array} \right], t \in R |
| \end{equation} |
| |
| \end{enumerate} |
| |
| \item |
| |
| Vypočteme matici pozorovatelnosti |
| |
| |
| \begin{equation} |
| O = \left[ \begin{array}{c} |
| C \\ |
| AC \\ |
| A^2C \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| = \left[ \begin{array}{ccc} |
| 0 & 1 & 1 \\ |
| 0 & 0 & 1 \\ |
| 0 & 1 & 1 \\ |
| 0 & 0 & 1 \\ |
| 0 & 1 & 1 \\ |
| 0 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Hodnost této matice je 2. Systém proto není úplně pozorovatelný a počáteční podmínku musíme proto hledat z rovnice. |
| |
| |
| \begin{equation} |
| y(k)= CA ^k x(0) + \sum\limits_{i=0}^{k-1} CA^{k-(i+1)} Bu(i) + Du(k). |
| \end{equation} |
| |
| Protože ale matice B a D jsou nulové, tak se rovnice zjednoduší na tvar: |
| |
| \begin{equation} |
| y(k)= CA ^k x(0). |
| \end{equation} |
| |
| |
| \begin{equation} |
| A^k = \left[ \begin{array}{ccc} |
| 1 & k & 0 \\ |
| 0 & 1 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} \right] |
| \end{equation} |
| |
| |
| Znovu dosadíme do soustavy a dostaneme: |
| |
| \begin{equation} |
| \left[ \begin{array}{c} |
| 1 \\ |
| 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| = \left[ \begin{array}{ccc} |
| 0 & 1 & 1 \\ |
| 0 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \\ |
| \right] |
| \left[ \begin{array}{c} |
| a \\ |
| b \\ |
| c \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Vyřešením soustavy pak zjistíme, že počáteční podmínka má nějaký tvar typu: |
| |
| \begin{equation} |
| x(0) = \left[ \begin{array}{c} |
| t \\ |
| 0 \\ |
| 1 \\ |
| \end{array} \right], t \in R |
| \end{equation} |
| |
| \item |
| Je potřeba zjistit vlastní čísla matice A. |
| |
| \begin{equation} |
| \det (\lambda I - A) = |
| \det \left[ \begin{array}{ccc} |
| \lambda & 1 & -1 \\ |
| -1 & \lambda + 2 & -1 \\ |
| 0 & - 1 & \lambda + 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| = \lambda (\lambda + 1) (\lambda + 2) \longrightarrow \lambda_{1}=0, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=-2 |
| \end{equation} |
| |
| Vlastní číslo je nepozorovatelné v případě, že sníží hodnost matice pod řád systému. |
| |
| \begin{equation} |
| h \left( \left[ \begin{array}{c} |
| \lambda I - A \\ |
| C \\ |
| \end{array} |
| \right] \right) |
| < n |
| \end{equation} |
| |
| |
| Spočítáme proto hodnost matice pro jednotlivá vlastní čísla. |
| |
| \begin{equation} |
| h \left( \left[ \begin{array}{ccc} |
| 0 & 1 & -1 \\ |
| -1 & 2 & -1 \\ |
| 0 & -1 & 1 \\ |
| 0 & 1 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right]_{\lambda _1} \right) |
| = 3 |
| \end{equation} |
| |
| |
| \begin{equation} |
| h \left( \left[ \begin{array}{ccc} |
| -1 & 1 & -1 \\ |
| -1 & 1 & -1 \\ |
| 0 & -1 & 1 \\ |
| 0 & 1 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right]_{\lambda _2} \right) |
| = 2 |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| h \left( \left[ \begin{array}{ccc} |
| -2 & 1 & -1 \\ |
| -1 & 0 & -1 \\ |
| 0 & -1 & -1 \\ |
| 0 & 1 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right]_{\lambda _3} \right) |
| = 3 |
| \end{equation} |
| |
| Vidíme, že jediné problematické vlastní číslo je $\lambda_{2}=-1$, které je nepozorovatelné. |
| |
| \item |
| |
| \begin{enumerate} |
| \item |
| |
| Spočítáme matici řiditelnosti systému |
| |
| \begin{equation} |
| C = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right] = |
| \left[ \begin{array}{cccccccc} |
| 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \omega & - \omega ^2 & 0 \\ |
| 1 & 0 & 0 & 2 \omega & -\omega ^2 & 0 & 0 & - \omega ^3 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 \omega & 0 & 0 & - 4 \omega ^2 \\ |
| 0 & 1 & -2 \omega & 0 & 0 & - 4 \omega ^2 & - 2 \omega ^3 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Matice řiditelnosti systému má plnou hodnost 4. systém je proto řiditelný vstupem $u$. |
| |
| Dále spočítáme matici pozorovatelnosti systému |
| |
| \begin{equation} |
| O = \left[ \begin{array}{c} |
| C \\ |
| AC \\ |
| A^2C \\ |
| A^3C \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| = \left[ \begin{array}{cccc} |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 0 & 1 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 1 \\ |
| 3 \omega ^2 & 0 & 0 & 2 \omega \\ |
| 0 & -2 \omega & 0 & 0 \\ |
| 0 & - \omega ^2 & 0 & 0 \\ |
| -6 \omega ^3 & 0 & 0 & -4 \omega ^2 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Matice pozorovatelnosti systému má plnou hodnost, proto je systém pozorovatelný na výstupu $y$. |
| |
| \item - selhání radiální trysky: |
| |
| Je třeba upravit matici B, tak aby vliv radiální trysky byl nulový. A pak znovu přepočítáme matici řiditelnosti systému. |
| |
| \begin{equation} |
| B = \left[ \begin{array}{cc} |
| 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 \\ |
| 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| |
| \begin{equation} |
| C = |
| \left[ \begin{array}{cccccccc} |
| 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \omega & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 2 \omega & 0 & 0 & 0 & - 2 \omega ^3 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 1 & - 2 \omega & 0 & 0 & - 4 \omega ^2 \\ |
| 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & - 4 \omega ^2 & 0 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Protože je hodnost matice stále 4, tak je systém řiditelný pouze tangenciálním pohonem. I v případě výpadku radiálního pohonu. |
| |
| \item - selhání tangenciální trysky: |
| |
| Je třeba upravit matici B, tak aby vliv tangenciální trysky byl nulový. A pak znovu přepočítáme matici řiditelnosti systému. |
| |
| \begin{equation} |
| B = \left[ \begin{array}{cc} |
| 0 & 0 \\ |
| 1 & 0 \\ |
| 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| |
| \begin{equation} |
| C = |
| \left[ \begin{array}{cccccccc} |
| 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & - \omega ^2 & 0 \\ |
| 1 & 0 & 0 & 0 & - \omega ^2 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 & - 2 \omega & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & -2 \omega & 0 & 0 & - 2 \omega ^2 & 0 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Hodnost této matice je ale pouze 3 a satelit proto není řiditelný pouze radiální tryskou. |
| |
| \item |
| |
| Pozorovatelnost systému vyřešíme obdobným způsobem, úpravou matice C. |
| |
| \begin{equation} |
| C = \left[ \begin{array}{cccc} |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| O = \left[ \begin{array}{c} |
| C \\ |
| AC \\ |
| A^2C \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| = \left[ \begin{array}{cccc} |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 0 & 1 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 1 \\ |
| 3 \omega ^2 & 0 & 0 & 2 \omega \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & - \omega ^2 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Hodnost této matice je 3 a systém není pozorovatelný pouze na výstupu $y_1$ |
| |
| \begin{equation} |
| C = \left[ \begin{array}{cccc} |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| O = \left[ \begin{array}{c} |
| C \\ |
| AC \\ |
| A^2C \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| = \left[ \begin{array}{cccc} |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 0 & 1 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 1 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & -2 \omega & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| - 6 \omega ^3 & 0 & 0 & - 4 \omega ^2 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Hodnost matice pozorovatelnosti systému je 4 a systém je pozorovatelný pouze na výstupu $y_2$ |
| |
| \end{enumerate} |
| |
| |
| \item |
| Najdeme matice převodu do diskrétního tvaru. |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{A} = e ^{At} = L ^{-1} \left\{ (s I - A) ^{-1} \right\} = L ^{-1} \left\{ |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| \frac{s}{s^2+1} & \frac{s}{s^2+1}\\ |
| \frac{-1}{s^2+1} & \frac{s}{s^2+1}\\ |
| \end{array} |
| \right] \right\} = |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| \cos T & \sin T \\ |
| - \sin T & \cos T\\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{C} = C e ^{A \alpha}= |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| 1 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| \cos \alpha & \sin \alpha \\ |
| - \sin & \cos \alpha \\ |
| \end{array} |
| \right] = |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| \cos \alpha & \sin \alpha \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Matice pozorovatelnosti diskrétního systému pak vypadá takto |
| |
| \begin{equation} |
| O = \left[ \begin{array}{c} |
| \tilde{C} \\ |
| \tilde{C}\tilde{A} \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| = |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| \cos \alpha & \sin \alpha \\ |
| \cos \alpha \cos T - \sin \alpha \sin T & \cos \alpha \sin T + \sin \alpha \cos T \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| O = |
| \\ |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| \cos \alpha & \sin \alpha \\ |
| \cos (\alpha + T) & \sin (\alpha + T) |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Aby systém nebyl pozorovatelný, tak matice O musí být singulární a musí platit: |
| |
| \begin{equation} |
| \cos \alpha \sin (\alpha + T) - \sin \alpha \cos (\alpha + T) = 0 |
| \end{equation} |
| |
| \end{enumerate} |
| \end{document} |