| 14,112 → 14,255 |
|---|
| \begin{enumerate} |
| \item |
| |
| |
| Problém se pravděpodobně řeší vypočtením gramiánu. A řešením získané soustavy. |
| |
| Vstup který změní stav systému z nuly na stav $\alpha$ pravděpodobně udrží stav $\alpha$ i nadále, neboť hodnota vstupu pravděpodobně postupně během časového intervalu T klesne k nule. |
| |
| \item |
| Zadaná soustava rovnic může být přepsána do maticového tvaru |
| Můžeme spočítat matici dosažitelnosti systému |
| |
| \begin{equation} |
| \dot x = Ax \\ |
| A = \left[ \begin{array}{ccc} |
| 1 & -1 & 1 \\ |
| 1 & 0 & 1 \\ |
| C_k = \left[B, AB, A^2B \right] |
| = \left[ \begin{array}{ccc} |
| 0 & 1 & 2 \\ |
| 1 & 1 & 1 \\ |
| 1 & 1 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Tato matice ale není regulární, proto má systém nekonečně mnoho rovnovážných bodů. Jejich vyjádření získáme požadavkem na nulové derivace v rovnovážných bodech. Řešíme tedy homogenní rovnici. |
| $h(C_k=2)$ proto je dosažitelný podprostor generován dvěma lineárně nezávislými vektory |
| |
| \begin{equation} |
| 0 = Ax |
| u = \left[ \begin{array}{c} |
| 0 \\ |
| 1 \\ |
| 1 \\ |
| \end{array} |
| \\ |
| \right] |
| v = \left[ \begin{array}{c} |
| 1 \\ |
| 1 \\ |
| 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Aby stav systému $x^1$ byl dosažitelný, musí být součástí dosažitelného prostoru. tj. lze jej nakombinovat z báze dosažitelného prostoru. |
| |
| Tato rovnice má řešení |
| |
| \begin{equation} |
| a = \left[ \begin{array}{c} |
| -t \\ |
| \left[ \begin{array}{c} |
| 1 \\ |
| 3 \\ |
| 3 \\ |
| \end{array} \right] = a \left[ \begin{array}{c} |
| 0 \\ |
| t \\ |
| 1 \\ |
| 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] \\ |
| t \in R |
| \right] |
| + |
| b \left[ \begin{array}{c} |
| 1 \\ |
| 1 \\ |
| 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Obecně jsou koeficienty a, b reálné a jsou souřadnicemi všech dosažitelných stavů. |
| |
| \item |
| zadaný systém není asymptoticky stabilní, protože |
| Řešením této soustavy je například $a=2$, $b=1$. Stav $x^1$ je proto určitě dosažitelný. |
| |
| Vstup $u(k)$ potřebný k dosažení stavu $x^1$ vypočteme ze vztahu |
| |
| \begin{equation} |
| \lim _{x \to \infty} \sin x(k) \neq 0 |
| \end{equation} |
| |
| \item |
| K určení stability nepomůže Sylvestrovo kritérium, proto |
| najdeme vlastní čísla matice z charakteristického polynomu |
| C_k U_k = x^1 - A^k x^0 |
| \end{equation} |
| |
| Vzhledem k tomu, že požadovaná počáteční podmínka je $x=0$. Tak předchozí rovnice přejde na tvar: |
| |
| \begin{equation} |
| \det (\lambda I - A) = |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| \lambda & -1 \\ |
| 1 & \lambda\\ |
| 0 & 1 \\ |
| 1 & 1 \\ |
| 1 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] = \lambda ^2 + 1 |
| \\ |
| \right] |
| \left[ \begin{array}{c} |
| u(1) \\ |
| u(0) \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| =\left[ \begin{array}{c} |
| 1 \\ |
| 3 \\ |
| 3 \\ |
| \end{array} |
| \\ |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Polynom má komplexní kořeny $\lambda _{1,2} = \pm j$ |
| Rešením této soustavy je vstupní sekvence, která způsobí přechod systému ze stavu $x=0$ do stavu $x^1$ za dva kroky |
| |
| A matice je positivně semidefinitní. Systém je proto stabilní, ale ne asymptoticky. |
| \begin{equation} |
| \left[ \begin{array}{c} |
| u(1) \\ |
| u(0) \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| =\left[ \begin{array}{c} |
| 2 \\ |
| 1 \\ |
| \end{array} |
| \\ |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| \item |
| \item |
| Systém (A,B) je řiditelný v případě, že matice $[\lambda I - A, B]$ má plnou hodnost pro každé z n vlastních čísel $\lambda _i$ matice A. |
| |
| Pokud si zvolíme hodnoty $x_1(k)=x(k), x_2(k)=x(k+1)$ dostaneme $x_1(k+1)=x(k+1), x_1(k+1)=x_2(k)$ A můžeme vytvořit soustavu rovnic. |
| Je proto nutné zjistit vlastní čísla matice A. |
| |
| \begin{equation} |
| \det (\lambda I - A) = |
| \det \left[ \begin{array}{cccc} |
| \lambda & 0 & -1 & 0 \\ |
| 0 & \lambda & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & \lambda - 1 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & \lambda - 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| = s^2(s-1)^2 \longrightarrow \lambda_{1,2}=0 \lambda_{3,4}=1 |
| \end{equation} |
| |
| Spočítáme hodnost matice pro vlastní čísla 0. |
| |
| \begin{equation} |
| h(\lambda _{1,2} I - A, B) = |
| h \left( \left[ \begin{array}{cccccc} |
| 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] \right) |
| = 3 |
| \end{equation} |
| |
| Matice nemá plnou hodnost pro nulová vlastní čísla a proto jsou módy odpovídající těmto vlastním číslům neřiditelné. |
| |
| \begin{equation} |
| x_1(k+1)=x_2(k) \\ |
| x_2(k+1)=-x_1(k) + u(k)\\ |
| y(k)=x_1(k) \\ |
| \end{equation} |
| h(\lambda _{3,4} I - A, B) = |
| h \left( \left[ \begin{array}{cccccc} |
| 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ |
| 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] \right) |
| = 4 |
| \end{equation} |
| |
| Kterou můžeme přepsat do tvaru |
| Matice má plnou hodnost pro vlastní čísla $\lambda_{3,4}=1$ a módy odpovídající těmto vlastním číslům jsou proto řiditelné. |
| |
| \item |
| Najdeme matice převodu do diskrétního tvaru. |
| |
| \begin{equation} |
| x_1(k+1)=\left[ \begin{array}{cc} |
| 0 & 1 \\ |
| -1 & 0 \\ |
| \tilde{A} = e ^{At} = L ^{-1} \left\{ (s I - A) ^{-1} \right\} = L ^{-1} \left\{ |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| \frac{s}{s^2+1} & \frac{s}{s^2+1}\\ |
| \frac{-1}{s^2+1} & \frac{s}{s^2+1}\\ |
| \end{array} |
| \right] x(k) + \left[ \begin{array}{c} |
| \right] \right\} = |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| \cos T & \sin T \\ |
| - \sin T & \cos T\\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{B} = \left( \int ^T _0 e ^{At} dt \right) B = |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| \sin t & - \cos t \\ |
| \cos t & \sin t \\ |
| \end{array} |
| \right]^T _0 |
| \left[ \begin{array}{c} |
| 0 \\ |
| 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] u(k) |
| \\ |
| y(k)=\left[ \begin{array}{cc} |
| 1 & 0 \\ |
| \end{array} \right] x(k) + [0]u(k)\\ |
| \right] = |
| \left[ \begin{array}{c} |
| 1 - \cos T \\ |
| \sin T \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Z toho pak můžeme zjistit přenos systému |
| Matice dosažitelného prostoru diskrétního systému pak je |
| |
| \begin{equation} |
| G(z)= C (zI - A)^{-1} B + D \\ |
| G(z)=\left[ \begin{array}{cc} |
| 1 & 0 \\ |
| \end{array} \right] \frac{1}{z^2 + 1 } |
| C_k = \left[ \tilde{B}, \tilde{A}\tilde{B} \right] = |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| z & 1 \\ |
| -1 & z \\ |
| \end{array} \right] |
| 1 - \cos T & \cos T - \cos ^2 T + \sin ^2 T \\ |
| \sin T & \sin T - \cos T \sin T + \cos T \sin T \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| =\\ |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| 1 - \cos T & \cos T - 1 \\ |
| \sin T & \sin T \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Aby systém mohl být řiditelný, musí mít matice $C_k$ plnou hodnost. To znamená že $T \neq k \pi , k \in Z$ |
| |
| \item |
| |
| Opět potřebujeme matici dosažitelného prostoru stavů: |
| |
| \begin{equation} |
| C_k = \left[ B, AB \right] = |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| 0 & 1 \\ |
| 1 & 1 \\ |
| 1 & 2 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Vidíme, že matice má hodnost 2. prostor dosažitelných stavů je proto generován dvěma lineárně nezávislými vektory. Protože víme, že každý dosažitelný stav je řiditelný, určíme řiditelné stavy, jako libovolnou lineární kombinaci vektorů generujících dosažitelný podprostor. |
| |
| \begin{equation} |
| x = \alpha |
| \left[ \begin{array}{c} |
| 0 \\ |
| 1 \\ |
| \end{array} \right] = \frac{1}{z^2 + 1} |
| 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| + |
| \beta \left[ \begin{array}{c} |
| 1 \\ |
| 1 \\ |
| 2 \\ |
| \end{array} |
| \right]= |
| \left[ \begin{array}{c} |
| \beta \\ |
| \alpha + \beta \\ |
| \alpha + 2 \beta \\ |
| \end{array} |
| \right]\\ |
| \alpha , \beta \in R |
| \end{equation} |
| |
| singularita přenosu nastává v bodech $z= \pm j$ A systém není BIBO stabilní, protože jeho póly nejsou uvnitř jednotkového kruhu, ale na jeho hranici. |
| |
| |
| \end{enumerate} |
| |
| |
| \end{document} |