Subversion Repositories svnkaklik

Compare Revisions

No changes between revisions

Regard whitespace Rev 1060 → Rev 1061

/dokumenty/skolni/TDS/11uloha/kakonjak_reseni11.pdf
Cannot display: file marked as a binary type.
svn:mime-type = application/octet-stream
Property changes:
Added: svn:mime-type
+application/octet-stream
\ No newline at end of property
/dokumenty/skolni/TDS/11uloha/kakonjak_reseni11.tex
0,0 → 1,570
\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}
 
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}
 
\begin{document}
 
\section*{Řešení 11. zadané úlohy - Jakub Kákona}
 
\begin{enumerate}
\item
 
Obecný stavový popis dvou paralelně spojených systémů má následující tvar:
 
 
\begin{eqnarray}
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
A_1 & 0 \\
0 & A_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
B_1 \\
B_2 \\
\end{array}
\right]u\\
y =&
\left[ \begin{array}{cc}
C_1 & C_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
D_1 + D_2 \\
\end{array}
\right]u
\end{eqnarray}
 
Dosadíme do něj matice zadaných systémů $S_1$
a $S_2$. A stavový popis přejde na tento tvar:
 
\begin{eqnarray}
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
2 \\
\end{array}
\right]u\\
y =&
\left[ \begin{array}{cc}
-2 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+u
\end{eqnarray}
Sestavíme matici pozorovatelnosti:
\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
C A\\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{cc}
-2 & 1 \\
2 & -1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}
Hodnost této matice je pouze 1. Celkový systém proto není úplně pozorovatelný.
 
Pro ověření řiditelnosti využijeme matici řiditelnosti:
 
\begin{equation}
C = \left[ \begin{array}{cc}
B & AB \\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
2 & -2 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}
 
Hodnost této matice je 1 a celkový systém proto není úplně řiditelný.
 
\item
 
\begin{enumerate}
\item
 
Pro řešení sériového spojení systémů $S_1$ a $S_2$ využijeme obecný stavový popis dvou sériově zapojených systémů následujícího tvaru:
 
\begin{eqnarray}
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
A_1 & 0 \\
B_2 C_1 & A_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{cc}
B_1 & 0 \\
B_2 D_1 & B_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
u_1 \\
r_2 \\
\end{array}
\right]
\\
\left[ \begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
C_1 & 0 \\
D_2 C_1 & C_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{cc}
D_1 & 0 \\
D_2 D_1 & D_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
u_1 \\
r_2 \\
\end{array}
\right]
\end{eqnarray}
 
Pokud budeme uvažovat pouze vstup $u_1$ a výstup $y_2$, tak dostaneme následující stavový popis sériového spojení systémů.
 
 
\begin{eqnarray}
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
-1 & -1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\end{array}
\right]u_1\\
y =&
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+0
\end{eqnarray}
 
Pozorovatelnost celkového systému:
 
\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
C A\\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & -1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}
Hodnost matice pozorovatelnosti je 1 a celkový systém proto není úplně pozorovatelný.
 
 
Ověříme řiditelnost systému
 
\begin{equation}
C = \left[ \begin{array}{cc}
B & AB \\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}
 
Hodnost matice řiditelnosti je 2 a systém je úplně řiditelný
 
Celkový přenos systému ze vstupu $u_1$ na výstup $y_2$ je
 
\begin{equation}
H(s)= C (sI - A)^{-1} B + D =
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
s + 1 & 0 \\
-1 & s \\
\end{array}
\right]^{-1}
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right]
\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s+1}
\end{equation}
 
\item sériové zapojení systémů v opačném pořadí
 
Opět dosadíme do obecného stavového popisu sériově zapojeného systému a dostaneme následující tvar:
 
\begin{eqnarray}
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
\end{array}
\right]u_1\\
y =&
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+0
\end{eqnarray}
 
Pozorovatelnost celkového systému:
 
\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
C A\\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}
Hodnost matice pozorovatelnosti je 2 a celkový systém proto je úplně pozorovatelný.
 
 
Ověříme řiditelnost systému
 
\begin{equation}
C = \left[ \begin{array}{cc}
B & AB \\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
1 & -1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}
 
Hodnost matice řiditelnosti je 1 a systém proto není úplně řiditelný.
 
Celkový přenos sériového spojené systému je
 
\begin{equation}
H(s)= C (sI - A)^{-1} B + D =
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
s & 0 \\
1 & s+1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
\end{array}
\right]
\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s+1}
\end{equation}
 
\end{enumerate}
 
\item
 
\begin{enumerate}
 
\item
\begin{eqnarray}
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
A_1 + B_1 M_2 D_2 C_1 & B_1 M_2 C_2 \\
B_2 M_1 C_1& A_2 + B_2 M_1 D_1 C_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{cc}
B_1 M_2 & B_1 M_2 D_2 \\
B_2 M_1 D_1 & B_2 M_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
r_1 \\
r_2 \\
\end{array}
\right]
\\
\left[ \begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
M_1 C_1 & M_1 D_1 C_2 \\
M_2 D_2 C_1 & M_2 C_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{cc}
M_1 D_1 & M_1 D_1 D_2 \\
M_2 D_2 D_1 & M_2 D_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
r_1 \\
r_2 \\
\end{array}
\right]
\end{eqnarray}
 
Kde $M_1=(I - D_1 D_2)^{-1}$, $M_2=(I - D_2 D_1)^{-1}$
 
Pokud pak uvažujeme pouze vstup $r_1$ a výstup $y_1$, dostaneme výsledný stavový popis sériově zapojeného systému.
 
\begin{eqnarray}
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
-1 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
\end{array}
\right]r_1\\
y =&
\left[ \begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+r_1
\end{eqnarray}
 
\item
 
Stabilitu systému určíme z vlastních čísel matice A.
\begin{equation}
\det(s I - A) =
\det \left(
\left[ \begin{array}{cc}
s +1 & -1 \\
1 & s -1 \\
\end{array} \right] \right)
= s^2 - s + s - 1 + 1 = s ^2
\end{equation}
 
Systém má dva nulové póly, které způsobují jeho vnitřní nestabilitu.
 
\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
C A\\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}
Hodnost matice pozorovatelnosti je 1 a celkový systém proto není pozorovatelný.
 
 
Ověříme řiditelnost systému
 
\begin{equation}
C = \left[ \begin{array}{cc}
B & AB \\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}
 
Hodnost matice je pouze 1 a systém proto není řiditelný.
 
\item
 
Přenos systému ze vstupu $r_1$ na výstup $y_1$ je
 
\begin{equation}
H(s)= C (sI - A)^{-1} B + D =
\left[ \begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
\frac{s-1}{s^2} & \frac{1}{s^2} \\
\frac{-1}{s^2} & \frac{s+1}{s^2} \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
\end{array}
\right]
+ 1 = 1
\end{equation}
 
\end{enumerate}
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\end{enumerate}
 
\end{document}