| 8,7 → 8,7 |
|---|
| \oddsidemargin 0cm |
| \pagestyle{empty} |
| \begin{document} |
| \title{Cavendishův experiment} |
| \title{Měření modulu pružnosti ve smyku a tahu} |
| \author{Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz} |
| \date{19.11.2009} |
| \maketitle |
| 28,16 → 28,191 |
|---|
| \end{enumerate} |
| |
| \section{Úvod} |
| \subsection{Modul pružnosti v tahu} |
| Při působení tažné síly na pružné homogenní těleso se jeho rozměr v ose síly prodlužuje podle vztahu. |
| |
| \begin{displaymath} \frac{F}{S} = E \frac{\Delta l}{l}, \end{displaymath} |
| |
| Který nazýváme Hookův zákon. Konstanta $E$ je určena jen vlastnostmi materiálu a nazývá se modul pružnosti v tahu nebo Youngův modul. |
| Při protahování tělesa se však jeho rozměry kolmé k ose jeho prodloužení zkracují podle vztahu. |
| |
| \begin{displaymath} \frac{\Delta a}{a} = \frac{\Delta b}{b} = \mu \frac{\Delta l}{l} , resp. \frac{\Delta r}{r} = \mu \frac{\Delta l}{l} , \end{displaymath} |
| |
| kde $\mu $ je Poissonovo číslo (nezávislé na $E)$. Poissonovo číslo $\mu $ je v intervalu $\langle $0, 1/2$\rangle $; hodnotu 1/2 nabývá pro nestlačitelné materiály. Protože v našem případě platí |
| |
| \begin{displaymath} S = \pi d^2 \end{displaymath} |
| a |
| \begin{displaymath} F = mg \end{displaymath} |
| |
| kde $d$ je průměr drátu a $m$ hmotnost závaží dostaneme po úpravě vztah |
| |
| \begin{equation} |
| E = \frac{4mgl}{\pi d^{2} \Delta l} |
| \label{hook_rovnice} |
| \end{equation} |
| |
| |
| |
| \subsection{Modul pružnosti v tahu měřený z ohybu nosníku} |
| Nosník známé délky $L$ podepřený na obou koncích se při zátěži uprostřed prohýbá podle vztahu. |
| |
| \begin{displaymath} z(0) = - \frac{F L^3}{48 E I}. \end{displaymath} |
| |
| Kde $I$ je plošný moment setrvačnosti určený profilem nosníku. Pro nosník obdélníkového průřezu je roven. |
| |
| \begin{displaymath} I = \frac{ab^3}{12} \end{displaymath} |
| |
| Po sloučení obou výrazů a vyjádření $E$ dostáváme |
| |
| \begin{displaymath} E = - \frac{mgL^3}{4ab^3} \end{displaymath} |
| |
| \subsection{Modul pružnosti ve smyku měřený statickou torzí} |
| Při zatížení drátu momentem síly |
| \begin{displaymath} M = 2mgr \end{displaymath} |
| |
| Se jeho konec bude stáčet o úhel $\Phi$ Tento úhel bude záviset na momentu síly a poloměru drátu. Tím je určen modul pružnosti ve smyku $G$ |
| |
| \begin{displaymath} G = \frac{2mL}{\pi R^4 \Phi} \end{displaymath} |
| |
| Po dosazení za moment síly dostáváme výraz |
| \begin{displaymath} G = \frac{2rgmL}{\pi R^4 \Phi} \end{displaymath} |
| |
| \subsection{Modul pružnosti ve smyku měřený torzním kyvadlem} |
| Stočením drátu o úhel $\Phi$ bude kyvadlo působit momentem síly o velikosti |
| |
| \begin{displaymath} M = K \Phi \end{displaymath} |
| |
| kde $K$ je direkční moment kyvadla, pro který platí |
| |
| \begin{displaymath} K = \frac{G \pi R^4}{2L} \end{displaymath} |
| |
| Kde $R$ je poloměr drátu a $L$ jeho délka. Tento moment bude stáčet drát zpět do rovnovážné polohy a tím vznikne kmitavý pohyb s periodou |
| |
| \begin{displaymath} T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{K}} \end{displaymath} |
| Kde $I$ je moment setrvačnosti kyvadla. Z vlastností $K$ plyne vztah |
| |
| \begin{displaymath} \frac{I_1}{T_1^2} = \frac{I_2}{T_2^2} \end{displaymath} |
| |
| Kde $I_1$ a $I_1$ jsou momenty setrvačnosti kyvadla pro dvě různé vzdálenosti závaží od osy. |
| |
| \section{Postup měření} |
| |
| Měření modulu pružnosti v tahu jsme měřili napínáním svisle pověšeného drátu závažími o hmotnosti 101g průtah drátu jsme zjistili pomocí měřících hodinek. Naměřené hodnoty ukazuje tabulka \ref{hook}. |
| |
| \begin{table}[htbp] |
| \begin{center} |
| \begin{tabular}{|c|c|c|c|} |
| \hline |
| počet zavaží & hmotnost[g] & zatezovani[10um] & odlehcovani[10um] \\ \hline |
| 1 & 101 & 51 & 59 \\ \hline |
| 2 & 202 & 77 & 81 \\ \hline |
| 3 & 303 & 96 & 100 \\ \hline |
| 4 & 404 & 114 & 118 \\ \hline |
| 5 & 505 & 133 & 135 \\ \hline |
| 6 & 606 & 151 & 153 \\ \hline |
| 7 & 707 & 169,5 & 170 \\ \hline |
| 8 & 808 & 183,5 & 187 \\ \hline |
| 9 & 909 & 202 & 202 \\ \hline |
| 10 & 1010 & 221 & 221 \\ \hline |
| \end{tabular} |
| \end{center} |
| \label{hook} |
| \caption{Prodlužování a zkracování drátu } |
| \end{table} |
| |
| Proložením naměřených dat funkcí \ref{hook_rovnice} jsme dostali hodnotu $E = (1.59619e+11 \pm 6.539e+09)$ Pa. |
| |
| Proložení ukazuje graf \ref{Graf_hookz} a \ref{Graf_hooko}. |
| |
| \begin{figure} |
| \begin{center} |
| \includegraphics[width=150mm]{hookz.pdf} |
| \end{center} |
| \caption{prodloužení drátu délky 1,15m v závislosti na zátěži} |
| \label{Graf_hookz} |
| \end{figure} |
| |
| \begin{figure} |
| \begin{center} |
| \includegraphics[width=150mm]{hooko.pdf} |
| \end{center} |
| \caption{prodloužení drátu délky 1,15m v závislosti na zátěži během odlehčování} |
| \label{Graf_hooko} |
| \end{figure} |
| |
| Průhyb nosníku jsme měřili zatěžováním hranolu o rozměrech 498x10,1x4,1 mm. Hodnotu jsme měřili mikroskopem v prostřední části. Naměřené hodnoty uvádí tabulka \ref{pruhyb}. |
| |
| \begin{table}[htbp] |
| \begin{center} |
| \begin{tabular}{|c|c|c|} |
| \hline |
| zatez[g] & pruhyb[mm] & pruhyb[mm] \\ \hline |
| 101 & 2,53 & 0,06 \\ \hline |
| 202 & 5,05 & 0,13 \\ \hline |
| 303 & 7,58 & 0,19 \\ \hline |
| 404 & 10,1 & 0,25 \\ \hline |
| 505 & 12,63 & 0,32 \\ \hline |
| 606 & 15,15 & 0,38 \\ \hline |
| 707 & 17,68 & 0,44 \\ \hline |
| 808 & 20,2 & 0,51 \\ \hline |
| 909 & 22,73 & 0,57 \\ \hline |
| 1010 & 25,25 & 0,63 \\ \hline |
| \end{tabular} |
| \end{center} |
| \caption{Průhyb nosníku} |
| \label{pruhyb} |
| \end{table} |
| |
| Grafické vyjádření je v grafu \ref{pruhyb_graf}. |
| |
| |
| \begin{figure} |
| \begin{center} |
| \includegraphics[width=150mm]{pruhyb.pdf} |
| \end{center} |
| \caption{Průhyb nosníku} |
| \label{pruhyb_graf} |
| \end{figure} |
| |
| Zde nám vyšla hodnota modulu pružnosti $E = 165,66$ GPa. |
| |
| Měření modulu pružnosti ve smyku jsme provedli zkrutem drátu delky 665mm, a průměru 1,99mm naměřené výsledky jsou v tabulce \ref{torze_static} a grafu \ref{Torze_graf}. |
| |
| \begin{table}[htbp] |
| \begin{center} |
| \begin{tabular}{|c|c|c|} |
| \hline |
| hmotnost & Zatezovani [°] & Odlehcovani [°] \\ \hline |
| 0 & 290 & 291 \\ \hline |
| 101 & 302 & 305 \\ \hline |
| 202 & 312 & 317 \\ \hline |
| 303 & 324 & 329 \\ \hline |
| 404 & 336 & 341 \\ \hline |
| 505 & 350 & 350 \\ \hline |
| \end{tabular} |
| \end{center} |
| \caption{Statická torze drátu} |
| \label{torze_static} |
| \end{table} |
| |
| \begin{figure} |
| \begin{center} |
| \includegraphics[width=150mm]{torze.pdf} |
| \end{center} |
| \caption{Torze drátu} |
| \label{Torze_graf} |
| \end{figure} |
| |
| Po výpočtu nám vyšel modul pružnosti ve smyku 91 GPa. |
| |
| Posledním měřením bylo požití torzního kyvadla k měření modulu pružnosti ve smyku. Zde jsme zvolili dvě různé vzdálenosti závaží a změřili pro ně periodu kmitů.Pro vzdálenost závaží 31mm nám vyšla perioda 5,91s a pro vzdálenost 222mm 16,8s. Po zjištění potřebných momentů setrvačnosti již bylo možné vypočítat hodnotu modulu pružnosti ve smyku 83,2 GPa. |
| |
| \section{Diskuse} |
| Při měření bylo poměrně komplikované určit správné rozměry měřených profilů. zvláště pak výšku nosníku kde bylo třeba mikrometrem měřit přesně kolmo k jeho ose, tuto jsem vyhodnotil jako nepřesnou a výšku se pokusil změřit posuvným měřítkem o kterém mám ale nyní podezření, že mohlo proměřovat až o 0,2mm, což je hodnota kterou bych od měřícího prostředku tohoto typu nečekal. Výsledkem je, že měření jsou zatížena poměrně neznámou chybou určení rozměrů. Na druhou stranu si ale myslím, že výsledné moduly pružnosti vyšly v celku reálné, takže konečná chyba nebude velká. |
| |
| \section{Závěr} |
| Z výsledků měření vidíme že hodnota modulu pružnosti v tahu se u ocelových materiálů pohybuje okolo 160 GPa zatímco, modul pružnosti ve smyku má menší hodnoty v oblasti 80 GPa. Tento fakt vysvětluje známou snahu konstruktérů ocelové díly namáhat pouze na tah a vyhnout se namáhání na zkrut a střih. |
| |
| |
| \begin{thebibliography}{99} |
| \bibitem{pruznost}{Zadání úlohy 2 - Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku} \href{http://praktika.fjfi.cvut.cz/Pruznost/}{http://praktika.fjfi.cvut.cz/Pruznost/} |
| \end{thebibliography} |