| 0,0 → 1,183 |
|---|
| \documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article} |
| |
| \usepackage[czech]{babel} |
| \usepackage[pdftex]{graphicx} |
| \usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce |
| \usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8 |
| \usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů |
| \usepackage{rotating} |
| |
| \begin{document} |
| |
| \section*{Řešení 3. zadané úlohy - Jakub Kákona} |
| |
| \begin{enumerate} |
| \item |
| Diskrétní systém je v rovnovážném stavu v případě, když nemění svůj stav. Tedy všechny jeho následující stavy jsou rovny předchozím stavům. |
| |
| Z toho plyne: |
| |
| \begin{equation} |
| x_1(k+1) = x_1(k)\\ |
| x_2(k+1) = x_2(k) |
| \end{equation} |
| |
| Dosazením do zadané soustavy získáme tvar: |
| |
| \begin{equation} |
| x_1(k) = x_1(k)x_2(k)-1\\ |
| x_2(k) = 2x_1(k)x_2(k)-2 |
| \end{equation} |
| |
| Dále postupně řešíme soustavu těchto rovnic. |
| |
| \begin{equation} |
| x_1(k) = \frac{1}{x_2(k)-1}\\ |
| x_2(k) = \frac{2x_1(k)}{x_2(k)-1} -2 |
| \end{equation} |
| |
| úpravou získáme kvadratickou rovnici |
| |
| \begin{equation} |
| x_2(k)^2 - 3x_2(k) + 2 = 0 |
| \end{equation} |
| |
| Její kořeny jsou: |
| |
| \begin{equation} |
| {x_2}_1(k) = -1\\ |
| {x_2}_2(k) = -2 |
| \end{equation} |
| |
| Dosazením do vztahu pro $x_1$ dostaneme zbývající složky |
| |
| \begin{equation} |
| {x_1}_1(k) = - \frac{1}{2}\\ |
| {x_1}_2(k) = - \frac{1}{3}\\ |
| \end{equation} |
| |
| |
| A systém má dva rovnovážné body |
| |
| |
| \begin{equation} |
| a_1 = \left[ \begin{array}{c} |
| - \frac{1}{2} \\ |
| -1 \\ |
| \end{array} |
| \right] \\ |
| a_2 = \left[ \begin{array}{c} |
| - \frac{1}{3} \\ |
| -2 \\ |
| \end{array} |
| \right] \\ |
| \end{equation} |
| |
| |
| \item |
| Zadaná soustava rovnic může být přepsána do maticového tvaru |
| |
| \begin{equation} |
| \dot x = Ax \\ |
| A = \left[ \begin{array}{ccc} |
| 1 & -1 & 1 \\ |
| 1 & 0 & 1 \\ |
| 1 & 1 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Tato matice ale není regulární, proto má systém nekonečně mnoho rovnovážných bodů. Jejich vyjádření získáme požadavkem na nulové derivace v rovnovážných bodech. Řešíme tedy homogenní rovnici. |
| |
| \begin{equation} |
| 0 = Ax |
| \end{equation} |
| |
| Tato rovnice má řešení |
| |
| \begin{equation} |
| a = \left[ \begin{array}{c} |
| -t \\ |
| 0 \\ |
| t \\ |
| \end{array} |
| \right] \\ |
| t \in R |
| \end{equation} |
| |
| |
| \item |
| zadaný systém není asymptoticky stabilní, protože |
| |
| \begin{equation} |
| \lim _{x \to \infty} \sin x(k) \neq 0 |
| \end{equation} |
| |
| \item |
| K určení stability nepomůže Sylvestrovo kritérium, proto |
| najdeme vlastní čísla matice z charakteristického polynomu |
| |
| \begin{equation} |
| \det (\lambda I - A) = |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| \lambda & -1 \\ |
| 1 & \lambda\\ |
| \end{array} |
| \right] = \lambda ^2 + 1 |
| \end{equation} |
| |
| Polynom má komplexní kořeny $\lambda _{1,2} = \pm j$ |
| |
| A matice je positivně semidefinitní. Systém je proto stabilní, ale ne asymptoticky. |
| |
| \item |
| |
| Pokud si zvolíme hodnoty $x_1(k)=x(k), x_2(k)=x(k+1)$ dostaneme $x_1(k+1)=x(k+1), x_1(k+1)=x_2(k)$ A můžeme vytvořit soustavu rovnic. |
| |
| \begin{equation} |
| x_1(k+1)=x_2(k) \\ |
| x_2(k+1)=-x_1(k) + u(k)\\ |
| y(k)=x_1(k) \\ |
| \end{equation} |
| |
| Kterou můžeme přepsat do tvaru |
| |
| \begin{equation} |
| x_1(k+1)=\left[ \begin{array}{cc} |
| 0 & 1 \\ |
| -1 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] x(k) + \left[ \begin{array}{c} |
| 0 \\ |
| 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] u(k) |
| \\ |
| y(k)=\left[ \begin{array}{cc} |
| 1 & 0 \\ |
| \end{array} \right] x(k) + [0]u(k)\\ |
| \end{equation} |
| |
| Z toho pak můžeme zjistit přenos systému |
| |
| \begin{equation} |
| G(z)= C (zI - A)^{-1} B + D \\ |
| G(z)=\left[ \begin{array}{cc} |
| 1 & 0 \\ |
| \end{array} \right] \frac{1}{z^2 + 1 } |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| z & 1 \\ |
| -1 & z \\ |
| \end{array} \right] |
| \left[ \begin{array}{c} |
| 0 \\ |
| 1 \\ |
| \end{array} \right] = \frac{1}{z^2 + 1} |
| \end{equation} |
| |
| singularita přenosu nastává v bodech $z= \pm j$ A systém není BIBO stabilní, protože jeho póly nejsou uvnitř jednotkového kruhu, ale na jeho hranici. |
| |
| \end{enumerate} |
| |
| |
| \end{document} |