Subversion Repositories svnkaklik

Compare Revisions

No changes between revisions

Ignore whitespace Rev 1044 → Rev 1045

/dokumenty/skolni/TDS/4uloha/kakonjak_reseni4.pdf
Cannot display: file marked as a binary type.
svn:mime-type = application/octet-stream
Property changes:
Added: svn:mime-type
+application/octet-stream
\ No newline at end of property
/dokumenty/skolni/TDS/4uloha/kakonjak_reseni4.tex
0,0 → 1,125
\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}
 
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}
 
\begin{document}
 
\section*{Řešení 4. zadané úlohy - Jakub Kákona}
 
\begin{enumerate}
\item
 
\item
Zadaná soustava rovnic může být přepsána do maticového tvaru
 
\begin{equation}
\dot x = Ax \\
A = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}
 
Tato matice ale není regulární, proto má systém nekonečně mnoho rovnovážných bodů. Jejich vyjádření získáme požadavkem na nulové derivace v rovnovážných bodech. Řešíme tedy homogenní rovnici.
 
\begin{equation}
0 = Ax
\end{equation}
 
Tato rovnice má řešení
 
\begin{equation}
a = \left[ \begin{array}{c}
-t \\
0 \\
t \\
\end{array}
\right] \\
t \in R
\end{equation}
 
 
\item
zadaný systém není asymptoticky stabilní, protože
 
\begin{equation}
\lim _{x \to \infty} \sin x(k) \neq 0
\end{equation}
\item
K určení stability nepomůže Sylvestrovo kritérium, proto
najdeme vlastní čísla matice z charakteristického polynomu
 
\begin{equation}
\det (\lambda I - A) =
\left[ \begin{array}{cc}
\lambda & -1 \\
1 & \lambda\\
\end{array}
\right] = \lambda ^2 + 1
\end{equation}
 
Polynom má komplexní kořeny $\lambda _{1,2} = \pm j$
 
A matice je positivně semidefinitní. Systém je proto stabilní, ale ne asymptoticky.
 
\item
 
Pokud si zvolíme hodnoty $x_1(k)=x(k), x_2(k)=x(k+1)$ dostaneme $x_1(k+1)=x(k+1), x_1(k+1)=x_2(k)$ A můžeme vytvořit soustavu rovnic.
\begin{equation}
x_1(k+1)=x_2(k) \\
x_2(k+1)=-x_1(k) + u(k)\\
y(k)=x_1(k) \\
\end{equation}
 
Kterou můžeme přepsat do tvaru
 
\begin{equation}
x_1(k+1)=\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{array}
\right] x(k) + \left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right] u(k)
\\
y(k)=\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\end{array} \right] x(k) + [0]u(k)\\
\end{equation}
 
Z toho pak můžeme zjistit přenos systému
 
\begin{equation}
G(z)= C (zI - A)^{-1} B + D \\
G(z)=\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\end{array} \right] \frac{1}{z^2 + 1 }
\left[ \begin{array}{cc}
z & 1 \\
-1 & z \\
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array} \right] = \frac{1}{z^2 + 1}
\end{equation}
 
singularita přenosu nastává v bodech $z= \pm j$ A systém není BIBO stabilní, protože jeho póly nejsou uvnitř jednotkového kruhu, ale na jeho hranici.
\end{enumerate}
 
\end{document}