Subversion Repositories svnkaklik

Compare Revisions

Ignore whitespace Rev 1039 → Rev 1040

/dokumenty/skolni/TDS/2uloha/reseni.tex
0,0 → 1,337
\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}
 
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}
 
\begin{document}
 
\section*{Řešení 2. zadané úlohy - Jakub Kákona}
 
\begin{enumerate}
\item Výpočet pomocí Jordanova kanonického tvaru
 
Víme, že vlastní čísla matice A jsou kořeny charakteristického polynomu
 
$det (\lambda I - A) = (\lambda - 1) (\lambda - 2)(\lambda - 2)$
 
Vlastní čísla potom jsou $\lambda _1 = 1, \lambda _2 = 2, \lambda _3 = 2$ .
 
Dvojka je násobným kořenem, proto může tvořit více bloků.
 
$C \lambda _23 = dim A - h(\lambda I - A) = 3 -h
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
= 2
\Rightarrow
J =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{array}
\right]
$
Výpočet vlastních vektorů náležících vlastním číslům.
 
$(\lambda _1 I - A) v _1 = 0
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & -4 & -10 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{array}
\right] v_1
= 0
\Rightarrow
v_1 =
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right]
$
 
 
$(\lambda _2 I - A) v _2 = 0
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right] v_2
= 0
\Rightarrow
v_2 =
\left[ \begin{array}{c}
10 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right]
$
 
 
$(\lambda _3 I - A) v _3 = 0
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right] v_3
= 0
\Rightarrow
v_3 =
\left[ \begin{array}{c}
4 \\
1 \\
0 \\
\end{array}
\right]
$
 
Transformační matice vytvořená z vlastních vektorů
 
 
$P = \left[v_1, v_2, v_3 \right]
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 10 & 4 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]
$
Její inverze je
 
$P^{-1} = \left[v_1, v_2, v_3 \right]
= \left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]
$
 
$e^{At} = P e^{At} P^{-1}
= \left[
\begin{array}{ccc}
1 & 10 & 4 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{ccc}
e^{t} & 0 & 0 \\
0 & e^{2t} & 0 \\
0 & 0 & e^{2t} \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]
= \\
=
\left[
\begin{array}{ccc}
e^{t} & -4e^{t}+4e^{2t} & -10e^{t}+10e^{2t} \\
0 & e^{2t} & 0 \\
0 & 0 & e^{2t} \\
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
e^{t} +
\left[
\begin{array}{ccc}
0 & 4 & -10 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
e^{2t}
$
 
Metoda s použitím Laplaceovy transformace:
 
$e^{At} = L^{-1}{(sI - A)^{-1}}$
 
 
$(sI - A)^{-1} =
\left[ \begin{array}{ccc}
s-1 & -4 & -10 \\
0 & s-2 & 0 \\
0 & 0 & s-2 \\
\end{array}
\right]^{-1}
= \frac{1}{(s-1)(s-2)^2}
\left[ \begin{array}{ccc}
(s-2)^2 & -4(s-2) & -10(s-2) \\
0 & (s-1)(s-2) & 0 \\
0 & 0 & (s-1)^2 \\
\end{array}
\right]^{-1}=\\
=
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & 10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]^{-1}
\frac{1}{s-1}
+
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 4 & -10 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]^{-1}
\frac{1}{s-2}
$
 
Z toho pak
 
$
e^{At} = L^{-1} \left\{
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & 10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]^{-1}
\frac{1}{s-1}
+
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 4 & -10 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]^{-1}
\frac{1}{s-2}
\right\}
=\\
=
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
e^{t} +
\left[
\begin{array}{ccc}
0 & 4 & -10 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
e^{2t}
$
 
\item Dosazením definičních matic systému získáme rovnice tvaru: $\dot x =Ax, y =Cx$
Provedením Laplaceovy transformace pak $sX -x_0 =AX, Y =CX$
 
Z toho vyjádříme $X = (sI - A)^{-1} x_0, Y =C(sI - A)^{-1}x_0$.
$Y =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{s+1} & \frac{1}{(s+1)^2} & 0 \\
0 & \frac{1}{s+1} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{s-2} \\
\end{array}
\right] x_0 =
\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{s+1} & \frac{-s}{(s+1)^2} & \frac{1}{s-2} \\
\end{array}
\right] x_0 $
 
$ L\{(te^{-t})\} = \frac{-s}{(s+1)^2}$
 
$X =
\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{s+1} & \frac{1}{(s+1)^2} & 0 \\
0 & \frac{1}{s+1} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{s-2} \\
\end{array}
\right] x_0
$
Stav $x(0)$ pro který bude platit požadovaná podmínka je $
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{array}
\right]
$
\item Požadavkem je konstantní stav $x_0$ proto dosadíme: $ x_0 = Ax_0 + Bu(k)$ z toho $(I - A)x_0 = Bu(k)$
 
$X =
\left(
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right] -
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right] \right)
\left[ \begin{array}{c}
-2 \\
1 \\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
2 \\
\end{array}
\right] u(k)
$
 
$
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
2 \\
\end{array}
\right]
=
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
2 \\
\end{array}
\right] u(k) \rightarrow u(k) = 1(k)
$
 
Potřebná sekvence vstupů pro splnění podmínek odpovídá jednotkovému skoku.
\end{enumerate}
 
\end{document}