0,0 → 1,337 |
\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article} |
|
\usepackage[czech]{babel} |
\usepackage[pdftex]{graphicx} |
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce |
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8 |
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů |
\usepackage{rotating} |
|
\begin{document} |
|
\section*{Řešení 2. zadané úlohy - Jakub Kákona} |
|
\begin{enumerate} |
\item Výpočet pomocí Jordanova kanonického tvaru |
|
Víme, že vlastní čísla matice A jsou kořeny charakteristického polynomu |
|
$det (\lambda I - A) = (\lambda - 1) (\lambda - 2)(\lambda - 2)$ |
|
Vlastní čísla potom jsou $\lambda _1 = 1, \lambda _2 = 2, \lambda _3 = 2$ . |
|
Dvojka je násobným kořenem, proto může tvořit více bloků. |
|
$C \lambda _23 = dim A - h(\lambda I - A) = 3 -h |
\left[ \begin{array}{ccc} |
1 & -4 & -10 \\ |
0 & 0 & 0 \\ |
0 & 0 & 0 \\ |
\end{array} |
\right] |
= 2 |
\Rightarrow |
J = |
\left[ \begin{array}{ccc} |
1 & 0 & 0 \\ |
0 & 2 & 0 \\ |
0 & 0 & 2 \\ |
\end{array} |
\right] |
$ |
|
Výpočet vlastních vektorů náležících vlastním číslům. |
|
$(\lambda _1 I - A) v _1 = 0 |
\left[ \begin{array}{ccc} |
0 & -4 & -10 \\ |
0 & -1 & 0 \\ |
0 & 0 & -1 \\ |
\end{array} |
\right] v_1 |
= 0 |
\Rightarrow |
v_1 = |
\left[ \begin{array}{c} |
1 \\ |
0 \\ |
0 \\ |
\end{array} |
\right] |
$ |
|
|
$(\lambda _2 I - A) v _2 = 0 |
\left[ \begin{array}{ccc} |
1 & -4 & -10 \\ |
0 & 0 & 0 \\ |
0 & 0 & 0 \\ |
\end{array} |
\right] v_2 |
= 0 |
\Rightarrow |
v_2 = |
\left[ \begin{array}{c} |
10 \\ |
0 \\ |
1 \\ |
\end{array} |
\right] |
$ |
|
|
$(\lambda _3 I - A) v _3 = 0 |
\left[ \begin{array}{ccc} |
1 & -4 & -10 \\ |
0 & 0 & 0 \\ |
0 & 0 & 0 \\ |
\end{array} |
\right] v_3 |
= 0 |
\Rightarrow |
v_3 = |
\left[ \begin{array}{c} |
4 \\ |
1 \\ |
0 \\ |
\end{array} |
\right] |
$ |
|
Transformační matice vytvořená z vlastních vektorů |
|
|
$P = \left[v_1, v_2, v_3 \right] |
\left[ \begin{array}{ccc} |
1 & 10 & 4 \\ |
0 & 0 & 1 \\ |
0 & 1 & 0 \\ |
\end{array} |
\right] |
$ |
|
Její inverze je |
|
$P^{-1} = \left[v_1, v_2, v_3 \right] |
= \left[ \begin{array}{ccc} |
1 & -4 & -10 \\ |
0 & 0 & 1 \\ |
0 & 1 & 0 \\ |
\end{array} |
\right] |
$ |
|
$e^{At} = P e^{At} P^{-1} |
= \left[ |
\begin{array}{ccc} |
1 & 10 & 4 \\ |
0 & 0 & 1 \\ |
0 & 1 & 0 \\ |
\end{array} |
\right] |
\left[ |
\begin{array}{ccc} |
e^{t} & 0 & 0 \\ |
0 & e^{2t} & 0 \\ |
0 & 0 & e^{2t} \\ |
\end{array} |
\right] |
\left[ |
\begin{array}{ccc} |
1 & -4 & -10 \\ |
0 & 0 & 1 \\ |
0 & 1 & 0 \\ |
\end{array} |
\right] |
= \\ |
= |
\left[ |
\begin{array}{ccc} |
e^{t} & -4e^{t}+4e^{2t} & -10e^{t}+10e^{2t} \\ |
0 & e^{2t} & 0 \\ |
0 & 0 & e^{2t} \\ |
\end{array} |
\right] |
= |
\left[ |
\begin{array}{ccc} |
1 & -4 & -10 \\ |
0 & 0 & 0 \\ |
0 & 0 & 0 \\ |
\end{array} |
\right] |
e^{t} + |
\left[ |
\begin{array}{ccc} |
0 & 4 & -10 \\ |
0 & 1 & 0 \\ |
0 & 0 & 1 \\ |
\end{array} |
\right] |
e^{2t} |
$ |
|
Metoda s použitím Laplaceovy transformace: |
|
$e^{At} = L^{-1}{(sI - A)^{-1}}$ |
|
|
$(sI - A)^{-1} = |
\left[ \begin{array}{ccc} |
s-1 & -4 & -10 \\ |
0 & s-2 & 0 \\ |
0 & 0 & s-2 \\ |
\end{array} |
\right]^{-1} |
= \frac{1}{(s-1)(s-2)^2} |
\left[ \begin{array}{ccc} |
(s-2)^2 & -4(s-2) & -10(s-2) \\ |
0 & (s-1)(s-2) & 0 \\ |
0 & 0 & (s-1)^2 \\ |
\end{array} |
\right]^{-1}=\\ |
= |
\left[ \begin{array}{ccc} |
1 & -4 & 10 \\ |
0 & 0 & 0 \\ |
0 & 0 & 0 \\ |
\end{array} |
\right]^{-1} |
\frac{1}{s-1} |
+ |
\left[ \begin{array}{ccc} |
0 & 4 & -10 \\ |
0 & 1 & 0 \\ |
0 & 0 & 1 \\ |
\end{array} |
\right]^{-1} |
\frac{1}{s-2} |
$ |
|
Z toho pak |
|
$ |
e^{At} = L^{-1} \left\{ |
\left[ \begin{array}{ccc} |
1 & -4 & 10 \\ |
0 & 0 & 0 \\ |
0 & 0 & 0 \\ |
\end{array} |
\right]^{-1} |
\frac{1}{s-1} |
+ |
\left[ \begin{array}{ccc} |
0 & 4 & -10 \\ |
0 & 1 & 0 \\ |
0 & 0 & 1 \\ |
\end{array} |
\right]^{-1} |
\frac{1}{s-2} |
\right\} |
=\\ |
= |
\left[ |
\begin{array}{ccc} |
1 & -4 & -10 \\ |
0 & 0 & 0 \\ |
0 & 0 & 0 \\ |
\end{array} |
\right] |
e^{t} + |
\left[ |
\begin{array}{ccc} |
0 & 4 & -10 \\ |
0 & 1 & 0 \\ |
0 & 0 & 1 \\ |
\end{array} |
\right] |
e^{2t} |
$ |
|
\item Dosazením definičních matic systému získáme rovnice tvaru: $\dot x =Ax, y =Cx$ |
Provedením Laplaceovy transformace pak $sX -x_0 =AX, Y =CX$ |
|
Z toho vyjádříme $X = (sI - A)^{-1} x_0, Y =C(sI - A)^{-1}x_0$. |
|
$Y = |
\left[ \begin{array}{ccc} |
1 & -1 & 1 \\ |
\end{array} |
\right] |
\left[ \begin{array}{ccc} |
\frac{1}{s+1} & \frac{1}{(s+1)^2} & 0 \\ |
0 & \frac{1}{s+1} & 0 \\ |
0 & 0 & \frac{1}{s-2} \\ |
\end{array} |
\right] x_0 = |
\left[ \begin{array}{ccc} |
\frac{1}{s+1} & \frac{-s}{(s+1)^2} & \frac{1}{s-2} \\ |
\end{array} |
\right] x_0 $ |
|
$ L\{(te^{-t})\} = \frac{-s}{(s+1)^2}$ |
|
$X = |
\left[ \begin{array}{ccc} |
\frac{1}{s+1} & \frac{1}{(s+1)^2} & 0 \\ |
0 & \frac{1}{s+1} & 0 \\ |
0 & 0 & \frac{1}{s-2} \\ |
\end{array} |
\right] x_0 |
$ |
|
Stav $x(0)$ pro který bude platit požadovaná podmínka je $ |
\left[ \begin{array}{c} |
1 \\ |
1 \\ |
0 \\ |
\end{array} |
\right] |
$ |
|
\item Požadavkem je konstantní stav $x_0$ proto dosadíme: $ x_0 = Ax_0 + Bu(k)$ z toho $(I - A)x_0 = Bu(k)$ |
|
$X = |
\left( |
\left[ \begin{array}{cc} |
1 & 0 \\ |
0 & 1 \\ |
\end{array} |
\right] - |
\left[ \begin{array}{cc} |
1 & 0 \\ |
0 & 1 \\ |
\end{array} |
\right] \right) |
\left[ \begin{array}{c} |
-2 \\ |
1 \\ |
\end{array} |
\right]= |
\left[ \begin{array}{c} |
1 \\ |
2 \\ |
\end{array} |
\right] u(k) |
$ |
|
$ |
\left[ \begin{array}{c} |
1 \\ |
2 \\ |
\end{array} |
\right] |
= |
\left[ \begin{array}{c} |
1 \\ |
2 \\ |
\end{array} |
\right] u(k) \rightarrow u(k) = 1(k) |
$ |
|
Potřebná sekvence vstupů pro splnění podmínek odpovídá jednotkovému skoku. |
|
\end{enumerate} |
|
|
\end{document} |