| 0,0 → 1,549 |
|---|
| \documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article} |
| |
| \usepackage[czech]{babel} |
| \usepackage[pdftex]{graphicx} |
| \usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce |
| \usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8 |
| \usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů |
| \usepackage{rotating} |
| |
| \begin{document} |
| |
| \section*{Řešení 6. zadané úlohy - Jakub Kákona} |
| |
| \begin{enumerate} |
| |
| \item |
| |
| Spočítáme matici řiditelnosti systému |
| |
| \begin{equation} |
| C = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right] = |
| \left[ \begin{array}{cccccccc} |
| 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & 1 \\ |
| 1 & 1 & 0 & 1 & -3& 0 & -10 & -3 \\ |
| 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & 1 & 13 & 4 \\ |
| 0 & 1 & 0 & 0 & -1& 0 & -1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Protože tato matice má hodnost pouze 4. Tak obsahuje zbytečné vektory. Vybereme proto lineárně nezávislé: |
| |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{C} = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right] = |
| \left[ \begin{array}{cccc} |
| 0 & 0 & 0 & 1 \\ |
| 1 & 1 & 0 & -3 \\ |
| 0 & 0 & 1 & 4 \\ |
| 0 & 1 & 0 & -1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Indexy řiditelnosti pak jsou |
| |
| \begin{equation} |
| \mu _1=3 \\ |
| \mu _2=1 |
| \end{equation} |
| |
| Dále vypočteme inverzní matici k matici $\tilde{C}$ |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{C} ^{-1} = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right] = |
| \left[ \begin{array}{cccc} |
| 0 & 0 & 0 & 1 \\ |
| 1 & 1 & 0 & -3 \\ |
| 0 & 0 & 1 & 4 \\ |
| 0 & 1 & 0 & -1 \\ |
| \end{array} |
| \right]^{-1}= |
| \left[ \begin{array}{cccc} |
| 2 & 1 & 0 & -1 \\ |
| -4 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 1 & 0 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Pro sestavení transformační matice P vybereme řádky $q_1, q_2$ na základě zjištěných indexů řiditelnosti. |
| |
| \begin{equation} |
| P = \left[ \begin{array}{c} |
| q_1 \\ |
| q_1 A \\ |
| q_1 A^2 \\ |
| q_2 \\ |
| \end{array} |
| \right]\\ |
| \sigma_1 = \mu _1 = 3, \sigma = \mu _1 + \mu _2 = 4 |
| \end{equation} |
| |
| Z matice $\tilde{C} ^{-1}$ bude proto k sestavení transformační matice P použit 3. a 4. řádek |
| |
| \begin{equation} |
| q_1 = \left[ \begin{array}{cccc} |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right]\\ |
| q_2 = \left[ \begin{array}{cccc} |
| 1 & 0 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right]\\ |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| P = \left[ \begin{array}{c} |
| q_1 \\ |
| q_1 A \\ |
| q_1 A^2 \\ |
| q_2 \\ |
| \end{array} |
| \right]= |
| \left[ \begin{array}{cccc} |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| -1 & 1 & 4 & -1 \\ |
| 1 & 0 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right]\\ |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| P^{-1}=\left[ \begin{array}{cccc} |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & -4 & 1 & 1 \\ |
| 0 & 1 & 0 & 0 \\ |
| -1 & 0 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right]\\, |
| \end{equation} |
| |
| Nyní přetransformujeme matice A a B pomocí nalezené matice P. |
| |
| \begin{equation} |
| A_c = PAP^{-1}=\left[ \begin{array}{cccc} |
| 0 & 1 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 1 & -3 & 4 & 1 \\ |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right], |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| B_c = PB =\left[ \begin{array}{cc} |
| 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 \\ |
| 1 & 0 \\ |
| 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right], |
| \end{equation} |
| |
| |
| \item |
| |
| Vlastní číslo $\lambda$ je neřiditelné v případě, že bude platit: |
| |
| \begin{equation} |
| h[\lambda _i I - A, B] < n |
| \end{equation} |
| |
| $n$ je řád systému. Pro určení podmínky řiditelnosti systému (A, B) vyjdeme z obecného tvaru matic. |
| |
| \begin{equation} |
| A = \left[ \begin{array}{cccc} |
| \lambda _1 & 0 & \cdots & 0 \\ |
| 0 & \lambda _2 & & \vdots \\ |
| \vdots & & \ddots & 0 \\ |
| 0 & \cdots & 0 & \lambda _n \\ |
| \end{array} |
| \right]\\ |
| B = \left[ \begin{array}{cccc} |
| b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ |
| b_{21} & b_{22} & & \vdots \\ |
| \vdots & & \ddots & \vdots \\ |
| b_{m1} & \cdots & \cdots & b_{mn} \\ |
| \end{array} |
| \right]\\ |
| \end{equation} |
| |
| V důsledku toho, že matice A je diagonální a obsahuje tedy přímo vlastní čísla. Tak dosazením vlastního čísla do výše uvedeného vzorce bude hodnost matice A snížena minimálně o jedna. (v závislosti na algebraické násobnosti vlastního čísla.) |
| Pokud ale budou všechny řádky matice B lineárně nezávislé, tak hodnost testovací matice $h[\lambda _i I - A, B]$ nebude snížena pod $n$ a systém bude řiditelný. V opačném případě, pokud matice B nebude mít vhodnou lineární nezávislost, tak systém bude neřiditelný. |
| |
| \item |
| Je potřeba zjistit vlastní čísla matice A. |
| |
| \begin{equation} |
| \det (\lambda I - A) = |
| \det \left[ \begin{array}{cccc} |
| \lambda & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & \lambda & 0 & 0 \\ |
| 0 & -1 & \lambda & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & \lambda + 1 \\ |
| \end{array} |
| \right]= |
| \lambda \det \left[ \begin{array}{ccc} |
| \lambda & 0 & 0 \\ |
| -1 & \lambda & 0 \\ |
| 0 & 0 & \lambda + 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| = \lambda ^3 (\lambda + 1) |
| \end{equation} |
| |
| Vlastní čísla matice pak jsou: |
| |
| \begin{equation} |
| \lambda _{1} = -1 \\ \lambda _{2,3,4} = 0 |
| \end{equation} |
| |
| Dále potřebujeme matici pozorovatelnosti systému |
| |
| \begin{equation} |
| O = \left[ \begin{array}{c} |
| C \\ |
| AC \\ |
| A^2C \\ |
| A^3C \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| = \left[ \begin{array}{cccc} |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 1 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Stav je nepozorovatelný, pokud je součástí jádra matice O. tj. $x \in ker(O)$ |
| |
| Hledáme proto řešení soustavy: |
| |
| \begin{equation} |
| \left[ \begin{array}{cccc} |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 1 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \\ |
| \right] |
| \left[ \begin{array}{c} |
| a \\ |
| b \\ |
| c \\ |
| d \\ |
| \end{array} |
| \right] = 0 |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| N(0) = \left[ \begin{array}{c} |
| 0 \\ |
| 0 \\ |
| 0 \\ |
| 1 \\ |
| \end{array} \right] |
| \end{equation} |
| |
| Dále hledáme transformační matici $Q = [Q_o, v_1]$ , která umožní vytvořit standardní formu nepozorovatelných systémů. $v_1$ je vektor z nepozorovatelného podprostoru systému a $Q_o$ je matice složená z lineárně nezávislých vektorů matice O. |
| |
| \begin{equation} |
| Q = \left[ \begin{array}{cccc} |
| 0 & 1 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Nyní můžeme sestavit standardní tvar. |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{A} = Q^{-1} A Q = |
| \left[ \begin{array}{cccc} |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 1 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \left[ \begin{array}{cccc} |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 1 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & -1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \left[ \begin{array}{cccc} |
| 0 & 1 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right]= |
| \left[ \begin{array}{cccc} |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & -1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Dílčí bloky matice pak jsou: |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{A}_1 = |
| \left[ \begin{array}{ccc} |
| 0 & 0 & 1 \\ |
| 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right]\\ |
| \tilde{A}_2 = -1 |
| \end{equation} |
| |
| Dále lze upravit i matici C. |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{C} = CQ = |
| \left[ \begin{array}{cccc} |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \left[ \begin{array}{cccc} |
| 0 & 1 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 1 & 0 \\ |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 0 & 0 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right]= |
| \left[ \begin{array}{cccc} |
| 1 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 0 & 1 & 0 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Z těchto výsledků již zjistíme, že |
| |
| \begin{enumerate} |
| \item Vlastní čísla matice $A_1$, $\lambda _{1,2,3}=0$ jsou pozorovatelná vlastní čísla systému (A, C). |
| |
| \item Vlastní číslo $A_2 = \lambda _4 = -1$ je nepozorovatelným vlastním číslem. A mód náležící tomuto vlastnímu číslu je nepozorovatelný. |
| \end{enumerate} |
| |
| \item |
| |
| Vypočteme matici pozorovatelnosti |
| |
| \begin{equation} |
| O = \left[ \begin{array}{c} |
| C \\ |
| AC \\ |
| A^2C \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| = \left[ \begin{array}{ccc} |
| 0 & 1 & 0 \\ |
| 1 & -2 & 1 \\ |
| -2 & 4 & -2 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| A řiditelnosti systému: |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{C} = \left[ B, AB, A^2B \right] = |
| \left[ \begin{array}{cccccc} |
| 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Dále ještě potřebujeme jádro matice O. |
| |
| \begin{equation} |
| \left[ \begin{array}{ccc} |
| 0 & 1 & 0 \\ |
| 1 & -2 & 1 \\ |
| -2 & 4 & -2 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \left[ \begin{array}{c} |
| a \\ |
| b \\ |
| c \\ |
| d \\ |
| \end{array} |
| \right] = 0 |
| \end{equation} |
| |
| |
| \begin{equation} |
| N(O) = \left[ \begin{array}{c} |
| 1 \\ |
| 0 \\ |
| -1 \\ |
| \end{array} \right] |
| \end{equation} |
| |
| Nyní můžeme určit transformační matici Q. |
| |
| \begin{equation} |
| Q = [v_1, v_2, Q_n] = |
| \left[ \begin{array}{ccc} |
| 1 & 1 & 0 \\ |
| 1 & 0 & 0 \\ |
| 1 & -1 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Její inverze je: |
| |
| \begin{equation} |
| Q ^{-1}= |
| \left[ \begin{array}{ccc} |
| 1 & 1 & 0 \\ |
| 1 & 0 & 0 \\ |
| 1 & -1 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right]^{-1} |
| = |
| \left[ \begin{array}{ccc} |
| 0 & 1 & 0 \\ |
| 1 & -1 & 0 \\ |
| 1 & -2 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| Nyní lze určit Kalmanovu formu matic |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{A}= Q^{-1} A Q = |
| \left[ \begin{array}{ccc} |
| 0 & 1 & 0 \\ |
| 1 & -1 & 0 \\ |
| 1 & -2 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \left[ \begin{array}{ccc} |
| 0 & 0 & 0 \\ |
| 1 & -2 & 1 \\ |
| 0 & 0 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \left[ \begin{array}{ccc} |
| 1 & 1 & 0 \\ |
| 1 & 0 & 0 \\ |
| 1 & -1 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| =\left[ \begin{array}{ccc} |
| 0 & 0 & 1 \\ |
| 0 & 0 & -1 \\ |
| 0 & 0 & -2 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{B}= Q^{-1} B = |
| \left[ \begin{array}{ccc} |
| 0 & 1 & 0 \\ |
| 1 & -1 & 0 \\ |
| 1 & -2 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \left[ \begin{array}{cc} |
| 1 & 0 \\ |
| 1 & 1 \\ |
| 1 & 2 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| =\left[ \begin{array}{ccc} |
| 1 & 1 \\ |
| 0 & -1 \\ |
| 0 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{C}= CQ = |
| \left[ \begin{array}{ccc} |
| 0 & 1 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \left[ \begin{array}{ccc} |
| 1 & 1 & 0 \\ |
| 1 & 0 & 0 \\ |
| 1 & -1 & 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| =\left[ \begin{array}{ccc} |
| 1 & 0 & 0 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| \begin{equation} |
| \tilde{D}= D = |
| \left[ \begin{array}{c} |
| 0 \\ |
| 1 \\ |
| \end{array} |
| \right] |
| \end{equation} |
| |
| |
| |
| \item |
| |
| Příklad je podobný příkladu č. 4. z předchozího úkolu. |
| |
| \begin{enumerate} |
| \item |
| |
| Spočítáme matici řiditelnosti: |
| \begin{equation} |
| C = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right] |
| \end{equation} |
| |
| U matice vyjde plná hodnost, a systém by proto měl být řiditelný. |
| |
| \item Když matici B upravíme tak, aby efekt síly $f_2$ byl nulový a přepočítáme matici řiditelnosti, tak vyjde opět plná hodnost. A systém by proto měl být řiditelný ze vstupu $f_1$ |
| |
| Protože jde o spojitý systém, tak se zde dosažitelnost a řiditelnost nerozlišuje. |
| |
| Matice B může být upravena i tak, aby efekt síly $f_1$ byl nulový. ale opět vyjde plná hodnost. |
| \end{enumerate} |
| |
| Podobně je to i s dalšími typy určujících matic. (vždy vyjde plná hodnost a systém splňuje podmínky na pozorovatelnost a řiditelnost) |
| |
| Problémem tohoto příkladu pravděpodobně je špatně podmíněná neceločíselná matice. A použití vhodného numerického řešení. K zjištění problematických stavů. |
| |
| \end{enumerate} |
| \end{document} |