| 1 |
\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
|
1 |
\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
|
| 2 |
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
|
2 |
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
|
| 3 |
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
3 |
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
| 4 |
\usepackage[czech]{babel}
|
4 |
\usepackage[czech]{babel}
|
| 5 |
\usepackage{graphicx}
|
5 |
\usepackage{graphicx}
|
| 6 |
\textwidth 16cm \textheight 24.6cm
|
6 |
\textwidth 16cm \textheight 24.6cm
|
| 7 |
\topmargin -1.3cm
|
7 |
\topmargin -1.3cm
|
| 8 |
\oddsidemargin 0cm
|
8 |
\oddsidemargin 0cm
|
| 9 |
\pagestyle{empty}
|
9 |
\pagestyle{empty}
|
| 10 |
\begin{document}
|
10 |
\begin{document}
|
| 11 |
\title{Cavendishův experiment}
|
11 |
\title{Cavendishův experiment}
|
| 12 |
\author{Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz}
|
12 |
\author{Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz}
|
| 13 |
\date{9.11.2009}
|
13 |
\date{9.11.2009}
|
| 14 |
\maketitle
|
14 |
\maketitle
|
| 15 |
\thispagestyle{empty}
|
15 |
\thispagestyle{empty}
|
| 16 |
\begin{abstract}
|
16 |
\begin{abstract}
|
| 17 |
|
17 |
|
| 18 |
\end{abstract}
|
18 |
\end{abstract}
|
| 19 |
\section{Úvod}
|
19 |
\section{Úvod}
|
| 20 |
\begin{enumerate}
|
20 |
\begin{enumerate}
|
| 21 |
\item Odvodte vztah pro výpočet chyby měření.
|
21 |
\item Odvodte vztah pro výpočet chyby měření.
|
| 22 |
\item Zkontrolujte měřící aparaturu.
|
22 |
\item Zkontrolujte měřící aparaturu.
|
| 23 |
\item Dynamickou metodou změřte časový průběh torzních kmitů kyvadla v obou možných pozicích olověných koulí.
|
23 |
\item Dynamickou metodou změřte časový průběh torzních kmitů kyvadla v obou možných pozicích olověných koulí.
|
| 24 |
\item Naměřenou závislost nafitujte funkcí a zjistěte její fyzikální parametry.
|
24 |
\item Naměřenou závislost nafitujte funkcí a zjistěte její fyzikální parametry.
|
| 25 |
\item Z takto získaných údajů dopočítejte gravitační konstantu a její chybu.
|
25 |
\item Z takto získaných údajů dopočítejte gravitační konstantu a její chybu.
|
| 26 |
\item Výsledek srovnejte s tabulkovou hodnotou gravitační konstanty.
|
26 |
\item Výsledek srovnejte s tabulkovou hodnotou gravitační konstanty.
|
| 27 |
\end{enumerate}
|
27 |
\end{enumerate}
|
| 28 |
|
28 |
|
| 29 |
\section{Postup měření}
|
29 |
\section{Postup měření}
|
| 30 |
Měření silového momentu, kterým působí dvě olověné koule na torzní kyvadlo jsme provedli tak, že koule byly nejprve umístěny křížem v blízkosti hmotností na koncích torzního kyvadla tak, aby na kyvadlo působili maximálním silovým momentem způsobeným gravitačním přitahováním. Následně jsme změřili střední polohu kyvadla dynamickou metodou. A koule prohodili tak, aby nyní působily svým silovým momentem na opačnou stranu. Po opětovném změření střední polohy jsme nyní dokázali určit silový moment, kterým koule působí na kyvadlo. Obrázky dobře popisující tento postup, jsou ve zdroji \cite{Cavendish}. Při měření bylo také důležité svéct z aparatury elektrický náboj, který by značně ovlivńoval měření, neboť elektrická síla je nesrovnatelně větší než síla gravitační. Tento problém jsme ale vyřešili uzemněním celého přístroje k vodovodnímu topení.
|
30 |
Měření silového momentu, kterým působí dvě olověné koule na torzní kyvadlo jsme provedli tak, že koule byly nejprve umístěny křížem v blízkosti hmotností na koncích torzního kyvadla tak, aby na kyvadlo působili maximálním silovým momentem způsobeným gravitačním přitahováním. Následně jsme změřili střední polohu kyvadla dynamickou metodou. A koule prohodili tak, aby nyní působily svým silovým momentem na opačnou stranu. Po opětovném změření střední polohy jsme nyní dokázali určit silový moment, kterým koule působí na kyvadlo. Obrázky dobře popisující tento postup, jsou ve zdroji \cite{Cavendish}. Při měření bylo také důležité svéct z aparatury elektrický náboj, který by značně ovlivńoval měření, neboť elektrická síla je nesrovnatelně větší než síla gravitační. Tento problém jsme ale vyřešili uzemněním celého přístroje k vodovodnímu topení.
|
| 31 |
|
31 |
|
| 32 |
\begin{figure}
|
32 |
\begin{figure}
|
| 33 |
\includegraphics[width=150mm]{./poloha1.pdf}
|
33 |
\includegraphics[width=150mm]{./poloha1.pdf}
|
| 34 |
\caption{Casový průbeh výchylky torzního kyvadla v 1. pozici koulí.}
|
34 |
\caption{Casový průbeh výchylky torzního kyvadla v 1. pozici koulí.}
|
| 35 |
\end{figure}
|
35 |
\end{figure}
|
| 36 |
|
36 |
|
| 37 |
\begin{figure}
|
37 |
\begin{figure}
|
| 38 |
\includegraphics[width=150mm]{./poloha2.pdf}
|
38 |
\includegraphics[width=150mm]{./poloha2.pdf}
|
| 39 |
\caption{Casový průběh výchylky torzního kyvadla v 2. pozici koulí.}
|
39 |
\caption{Casový průběh výchylky torzního kyvadla v 2. pozici koulí.}
|
| 40 |
\end{figure}
|
40 |
\end{figure}
|
| 41 |
|
41 |
|
| 42 |
Fitem naměřených dat funkcí
|
42 |
Fitem naměřených dat funkcí
|
| 43 |
\begin{equation}
|
43 |
\begin{equation}
|
| 44 |
x=A \exp (- \delta t) \sin(2* \pi /T + \varphi)
|
44 |
x=A \exp (- \delta t) \sin(2 \cdot \pi /T + \varphi)
|
| 45 |
\end{equation}
|
45 |
\end{equation}
|
| 46 |
|
46 |
|
| 47 |
Jsme dostali žádané fyzikální parametry potřebné pro výpočet gravitační konstanty.
|
47 |
Jsme dostali žádané fyzikální parametry potřebné pro výpočet gravitační konstanty.
|
| 48 |
|
48 |
|
| 49 |
\begin{table}
|
49 |
\begin{table}
|
| 50 |
\begin{center}
|
50 |
\begin{center}
|
| 51 |
\begin{tabular}{|c|c|}
|
51 |
\begin{tabular}{|c|c|}
|
| 52 |
\hline
|
52 |
\hline
|
| 53 |
A [mm] & 429.751 \pm 2.133 \\ \hline
|
53 |
A [mm] & 429.751 \pm 2.133 \\ \hline
|
| 54 |
\delta & 0.000470283 \pm 7.339e-06 \\ \hline
|
54 |
\delta & 0.000470283 \pm 7.339e-06 \\ \hline
|
| 55 |
T [s] & 497.817 \pm 0.3167 \\ \hline
|
55 |
T [s] & 497.817 \pm 0.3167 \\ \hline
|
| 56 |
\varphi [rad] & -0.634433 \pm 0.005027 \\ \hline
|
56 |
\varphi [rad] & -0.634433 \pm 0.005027 \\ \hline
|
| 57 |
s [mm] & 1062.89 \pm 0.6162 \\ \hline
|
57 |
s [mm] & 1062.89 \pm 0.6162 \\ \hline
|
| 58 |
\end{tabular}
|
58 |
\end{tabular}
|
| 59 |
\caption{Vypoctene hodnoty pro prvni pozici koulí.}
|
59 |
\caption{Vypoctene hodnoty pro prvni pozici koulí.}
|
| 60 |
\end{center}
|
60 |
\end{center}
|
| 61 |
\end{table}
|
61 |
\end{table}
|
| 62 |
|
62 |
|
| 63 |
\begin{table}
|
63 |
\begin{table}
|
| 64 |
\begin{center}
|
64 |
\begin{center}
|
| 65 |
\begin{tabular}{|c|c|}
|
65 |
\begin{tabular}{|c|c|}
|
| 66 |
\hline
|
66 |
\hline
|
| 67 |
A [mm] & 254.373 \pm 0.4389 \\ \hline
|
67 |
A [mm] & 254.373 \pm 0.4389 \\ \hline
|
| 68 |
\delta & 0.000457669 \pm 2.783e-06 \\ \hline
|
68 |
\delta & 0.000457669 \pm 2.783e-06 \\ \hline
|
| 69 |
T [s]& 498.212 \pm 0.1441 \\ \hline
|
69 |
T [s]& 498.212 \pm 0.1441 \\ \hline
|
| 70 |
\varphi [rad] & -2.72838 \pm -2.72838 \\ \hline
|
70 |
\varphi [rad] & -2.72838 \pm -2.72838 \\ \hline
|
| 71 |
s [mm]& 961.297 \pm 0.1507 \\ \hline
|
71 |
s [mm]& 961.297 \pm 0.1507 \\ \hline
|
| 72 |
\end{tabular}
|
72 |
\end{tabular}
|
| 73 |
\caption{Vypoctene hodnoty pro druhou pozici koulí.}
|
73 |
\caption{Vypoctene hodnoty pro druhou pozici koulí.}
|
| 74 |
\end{center}
|
74 |
\end{center}
|
| 75 |
\end{table}
|
75 |
\end{table}
|
| 76 |
|
76 |
|
| 77 |
K výpočtu je ale neutné znát ještě i některé parametry aparatury. Jako hmotnosti zavazi 1.25kg , delku ramena laseroveho paprsku 6 ± 0.01 m polomer kulicek na torznim kyvadle 9.55mm polomer vnejsich kouli pusobicich na kyvadlo 50mm a delky ramena torzniho kyvadla 46.5mm.
|
77 |
K výpočtu je ale neutné znát ještě i některé parametry aparatury. Jako hmotnosti zavazi 1.25kg , delku ramena laseroveho paprsku 6 ± 0.01 m polomer kulicek na torznim kyvadle 9.55mm polomer vnejsich kouli pusobicich na kyvadlo 50mm a delky ramena torzniho kyvadla 46.5mm.
|
| 78 |
|
78 |
|
| 79 |
Všechny tyto hodnoty jjsme dosadili do odvozeného vzorce
|
79 |
Všechny tyto hodnot jjsme dosadili do odvozeného vzorce
|
| 80 |
\begin{equation}
|
80 |
\begin{equation}
|
| 81 |
G=\frac{\pi^2 b^2 s}{T^2 m_2 L} \dot \frac{d^2 + \frac{5}{2} r^2}{d (1-\beta)} \beta =
|
81 |
G=\frac{\pi^2 b^2 s}{T^2 m_2 L} \cdot \frac{d^2 + \frac{5}{2} r^2}{d (1-\beta)} \qquad \beta = \frac{b^3}{(b^2 + 4d^2)^\frac{3}{2}}
|
| 82 |
\end{equation}
|
82 |
\end{equation}
|
| 83 |
|
83 |
|
| 84 |
Konečným cílem pak bylo pomocí této gravitační konstaty spočítat hmotnost Země. Za tímto účelem jsme Zemi aproximovali dokonalou koulí. O poloměru r=6372,796km s gravitačním zrychlením u povrchu g=9,81m/s. Výpočtem nám vyšla hmotnost Země
|
84 |
Konečným cílem pak bylo pomocí této gravitační konstaty spočítat hmotnost Země. Za tímto účelem jsme Zemi aproximovali dokonalou koulí. O poloměru r=6372,796km s gravitačním zrychlením u povrchu g=9,81m/s. Výpočtem nám vyšla hmotnost Země
|
| 85 |
|
85 |
|
| 86 |
|
86 |
|
| 87 |
\section{Diskuse}
|
87 |
\section{Diskuse}
|
| 88 |
Při porovnání našich výsledků s tabulkovou hodnotou $G = (6.67428 \pm 0.00067) * 10^-11 m^2 / kg s^2 $ se ukázalo, že námi naměřená hodnota $G = (6.41 \pm 0.04) * 10^-11 m^2 / kg s^2 $ se liší o 3.93\%. Což je pro mne osobně docela velkým překvepaním, protože jsem netušil, že lze gravitační konstantu těmito prostředky vůbec změřit a natož s takovou přesností. Fakt, že se tabylková hodnota nevejde do našeho výsledku včetně chyby bych přisuzoval tomu, že naše měření mohlo být zatíženo nějakou systematickou chybou, které jsme nevěnovali dostatečnou pozornost. Například by to mohla být příliš velká prodleva při přehazování koulí z jedné do druhé polohy, Nějaká teplotní změna a podobně.
|
88 |
Při porovnání našich výsledků s tabulkovou hodnotou $G = (6.67428 \pm 0.00067) * 10^-11 m^2 / kg s^2 $ se ukázalo, že námi naměřená hodnota $G = (6.41 \pm 0.04) * 10^-11 m^2 / kg s^2 $ se liší o 3.93\%. Což je pro mne osobně docela velkým překvepaním, protože jsem netušil, že lze gravitační konstantu těmito prostředky vůbec změřit a natož s takovou přesností. Fakt, že se tabylková hodnota nevejde do našeho výsledku včetně chyby bych přisuzoval tomu, že naše měření mohlo být zatíženo nějakou systematickou chybou, které jsme nevěnovali dostatečnou pozornost. Například by to mohla být příliš velká prodleva při přehazování koulí z jedné do druhé polohy, Nějaká teplotní změna a podobně.
|
| 89 |
|
89 |
|
| 90 |
\section{Závěr}
|
90 |
\section{Závěr}
|
| 91 |
Pomocí torzních vah jsme úspěšně určili gravitační konstantu $\kappa = (6.41 \pm 0.04) * 10^-11 m^2 / kg s^2 $ s chybou 4\% oproti tabulkové hodnotě.
|
91 |
Pomocí torzních vah jsme úspěšně určili gravitační konstantu $\kappa = (6.41 \pm 0.04) * 10^-11 m^2 / kg s^2 $ s chybou 4\% oproti tabulkové hodnotě.
|
| 92 |
|
92 |
|
| 93 |
|
93 |
|
| 94 |
\begin{thebibliography}{99}
|
94 |
\begin{thebibliography}{99}
|
| 95 |
\bibitem{Cavendish}{Zadání úlohy 1 - Cavendishův experiment}\\.\href{http://rumcajs.fjfi.cvut.cz/fyzport/FundKonst/Cavendish/cav.pdf}{http://rumcajs.fjfi.cvut.cz/fyzport/FundKonst/Cavendish/cav.pdf}
|
95 |
\bibitem{Cavendish}{Zadání úlohy 1 - Cavendishův experiment}\\.\href{http://rumcajs.fjfi.cvut.cz/fyzport/FundKonst/Cavendish/cav.pdf}{http://rumcajs.fjfi.cvut.cz/fyzport/FundKonst/Cavendish/cav.pdf}
|
| 96 |
\end{thebibliography}
|
96 |
\end{thebibliography}
|
| 97 |
\end{document}
|
97 |
\end{document}
|