WebSVN – svnkaklik – Diff – /dokumenty/skolni/TDS/2uloha/reseni.tex


\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}
 
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}
 
\begin{document}
 
\section*{Řešení 2. zadané úlohy		-	 Jakub Kákona}
 
\begin{enumerate}
\item Výpočet pomocí Jordanova kanonického tvaru
 
Víme, že vlastní čísla matice A jsou kořeny charakteristického polynomu
 
$det (\lambda I - A) = (\lambda - 1) (\lambda - 2)(\lambda - 2)$
 
Vlastní čísla potom jsou $\lambda _1 = 1, \lambda _2 = 2, \lambda _3 = 2$ .
 
Dvojka je algebraicky násobným kořenem, proto může mít i geometrickou násobnost větší než 1. 
 
$C \lambda _23 = dim A - h(\lambda I - A) = 3 -h 
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
= 2
\Rightarrow
J =  
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{array}
\right]
 $
 
Geometrická násobnost je proto také 2.  
 
Výpočet vlastních vektorů náležících vlastním číslům.
 
$(\lambda _1 I - A) v _1 = 0
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & -4 & -10 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{array}
\right] v_1
= 0
\Rightarrow
v_1 =  
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right]
 $
 
 
$(\lambda _2 I - A) v _2 = 0
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right] v_2
= 0
\Rightarrow
v_2 =  
\left[ \begin{array}{c}
10 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right]
 $
 
 
$(\lambda _3 I - A) v _3 = 0
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right] v_3
= 0
\Rightarrow
v_3 =  
\left[ \begin{array}{c}
4 \\
1 \\
0 \\
\end{array}
\right]
 $
 
Transformační matice vytvořená z vlastních vektorů 
 
 
$P = \left[v_1, v_2, v_3 \right]
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 10 & 4 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]
 $
 
Její inverze je 
 
$P^{-1} = \left[v_1, v_2, v_3 \right]
= \left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]
$
 
$e^{At} = P e^{At} P^{-1}
= \left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & 10 & 4 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]
\left[ 
\begin{array}{ccc}
e^{t} & 0 & 0 \\
0 & e^{2t} & 0 \\
0 & 0 & e^{2t} \\
\end{array}
\right]
\left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]
= \\
=
\left[ 
\begin{array}{ccc}
e^{t} & -4e^{t}+4e^{2t} & -10e^{t}+10e^{2t} \\
0 & e^{2t} & 0 \\
0 & 0 & e^{2t} \\
\end{array}
\right]
=
\left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right] 
e^{t} +
\left[ 
\begin{array}{ccc}
0 & 4 & -10 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right] 
e^{2t}
$
 
Metoda s použitím Laplaceovy transformace:
 
$e^{At} = L^{-1}{(sI - A)^{-1}}$
 
 
$(sI - A)^{-1} =
\left[ \begin{array}{ccc}
s-1 & -4 & -10 \\
0 & s-2 & 0 \\
0 & 0 & s-2 \\
\end{array}
\right]^{-1}
= \frac{1}{(s-1)(s-2)^2}
\left[ \begin{array}{ccc}
(s-2)^2 & -4(s-2) & -10(s-2) \\
0 & (s-1)(s-2) & 0 \\
0 & 0 & (s-1)^2 \\
\end{array}
\right]^{-1}=\\
=
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & 10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]^{-1}
\frac{1}{s-1}
+
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 4 & -10 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]^{-1}
\frac{1}{s-2}
$
 
Z toho pak 
 
$
e^{At} = L^{-1} \left\{
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & 10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]^{-1}
\frac{1}{s-1}
+
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 4 & -10 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]^{-1}
\frac{1}{s-2}
\right\}
=\\
=
\left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right] 
e^{t} +
\left[ 
\begin{array}{ccc}
0 & 4 & -10 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right] 
e^{2t}
$
 
\item Dosazením definičních matic systému získáme rovnice tvaru: $\dot x =Ax, y =Cx$
Provedením Laplaceovy transformace pak $sX -x_0 =AX, Y =CX$
 
Z toho vyjádříme $X = (sI - A)^{-1} x_0, Y =C(sI - A)^{-1}x_0$.
 
$Y =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{s+1} & \frac{1}{(s+1)^2} & 0 \\
0 & \frac{1}{s+1} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{s-2} \\
\end{array}
\right] x_0 = 
\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{s+1} & \frac{-s}{(s+1)^2} & \frac{1}{s-2} \\
\end{array}
\right] x_0 $
 
$ L\{(te^{-t})\} =  \frac{-s}{(s+1)^2}$
 
$X =
\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{s+1} & \frac{1}{(s+1)^2} & 0 \\
0 & \frac{1}{s+1} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{s-2} \\
\end{array}
\right] x_0 
$
 
 Stav $x(0)$ pro který bude platit požadovaná podmínka je $
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{array}
\right]
$
 
\item Požadavkem je konstantní stav $x_0$ proto dosadíme: $ x_0 = Ax_0 + Bu(k)$ z toho $(I - A)x_0 = Bu(k)$
 
$X =
\left(
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right] -
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right] \right)
\left[ \begin{array}{c}
-2 \\
 1 \\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
 2 \\
\end{array}
\right] u(k)
$
 
$
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
 2 \\
\end{array}
\right]
=
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
2 \\
\end{array}
\right] u(k) \rightarrow u(k) = 1(k) 
$
 
Potřebná sekvence vstupů pro splnění podmínek odpovídá jednotkovému skoku.  
 
\item Řešením charakteristického polynomu matice A získáme její vlastní čísla. Jsou ale ovšem ryze komplexní $\lambda _1 = -i, \lambda _2 = +i, \lambda _{34} = 0$. 
 
Matice vlastních vektorů proto nabývá tvaru:
$
P = \left[ \begin{array}{cccc}
 -0.3162        &    -0.3162     &        0  & 0    \\     
 0 + 0.3162i    &    0 - 0.3162i &       	0  & 0  \\     
 0 + 0.6325i    &   0 - 0.6325i  & 		1  & 1      \\
 0.6325         &    0.6325      &      	0  & 0  \\
\end{array}
\right]
$
 
Matici podobnou matici A pak získáme z definice
 
$^\sim A = P A P^{-1}$ 
 
\end{enumerate} 
 
 
\end{document}

Rev 1040	Rev 1042
1	`\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}`	1	`\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}`
2		2
3	`\usepackage[czech]{babel}`	3	`\usepackage[czech]{babel}`
4	`\usepackage[pdftex]{graphicx}`	4	`\usepackage[pdftex]{graphicx}`
5	`\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce`	5	`\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce`
6	`\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8`	6	`\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8`
7	`\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů`	7	`\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů`
8	`\usepackage{rotating}`	8	`\usepackage{rotating}`
9		9
10	`\begin{document}`	10	`\begin{document}`
11		11
12	`\section*{Řešení 2. zadané úlohy - Jakub Kákona}`	12	`\section*{Řešení 2. zadané úlohy - Jakub Kákona}`
13		13
14	`\begin{enumerate}`	14	`\begin{enumerate}`
15	`\item Výpočet pomocí Jordanova kanonického tvaru`	15	`\item Výpočet pomocí Jordanova kanonického tvaru`
16		16
17	`Víme, že vlastní čísla matice A jsou kořeny charakteristického polynomu`	17	`Víme, že vlastní čísla matice A jsou kořeny charakteristického polynomu`
18		18
19	$det (\lambda I - A) = (\lambda - 1) (\lambda - 2)(\lambda - 2)$	19	$det (\lambda I - A) = (\lambda - 1) (\lambda - 2)(\lambda - 2)$
20		20
21	`Vlastní čísla potom jsou $\lambda _1 = 1, \lambda _2 = 2, \lambda _3 = 2$ .`	21	`Vlastní čísla potom jsou $\lambda _1 = 1, \lambda _2 = 2, \lambda _3 = 2$ .`
22		22
23	`Dvojka je násobným kořenem, proto může tvořit více bloků.`	23	`Dvojka je algebraicky násobným kořenem, proto může mít i geometrickou násobnost větší než 1.`
24		24
25	`$C \lambda _23 = dim A - h(\lambda I - A) = 3 -h`	25	`$C \lambda _23 = dim A - h(\lambda I - A) = 3 -h`
26	`\left[ \begin{array}{ccc}`	26	`\left[ \begin{array}{ccc}`
27	`1 & -4 & -10 \\`	27	`1 & -4 & -10 \\`
28	`0 & 0 & 0 \\`	28	`0 & 0 & 0 \\`
29	`0 & 0 & 0 \\`	29	`0 & 0 & 0 \\`
30	`\end{array}`	30	`\end{array}`
31	`\right]`	31	`\right]`
32	`= 2`	32	`= 2`
33	`\Rightarrow`	33	`\Rightarrow`
34	`J =`	34	`J =`
35	`\left[ \begin{array}{ccc}`	35	`\left[ \begin{array}{ccc}`
36	`1 & 0 & 0 \\`	36	`1 & 0 & 0 \\`
37	`0 & 2 & 0 \\`	37	`0 & 2 & 0 \\`
38	`0 & 0 & 2 \\`	38	`0 & 0 & 2 \\`
39	`\end{array}`	39	`\end{array}`
40	`\right]`	40	`\right]`
41	`$`	41	`$`
-		42
-		43	`Geometrická násobnost je proto také 2.`
42		44
43	`Výpočet vlastních vektorů náležících vlastním číslům.`	45	`Výpočet vlastních vektorů náležících vlastním číslům.`
44		46
45	`$(\lambda _1 I - A) v _1 = 0`	47	`$(\lambda _1 I - A) v _1 = 0`
46	`\left[ \begin{array}{ccc}`	48	`\left[ \begin{array}{ccc}`
47	`0 & -4 & -10 \\`	49	`0 & -4 & -10 \\`
48	`0 & -1 & 0 \\`	50	`0 & -1 & 0 \\`
49	`0 & 0 & -1 \\`	51	`0 & 0 & -1 \\`
50	`\end{array}`	52	`\end{array}`
51	`\right] v_1`	53	`\right] v_1`
52	`= 0`	54	`= 0`
53	`\Rightarrow`	55	`\Rightarrow`
54	`v_1 =`	56	`v_1 =`
55	`\left[ \begin{array}{c}`	57	`\left[ \begin{array}{c}`
56	`1 \\`	58	`1 \\`
57	`0 \\`	59	`0 \\`
58	`0 \\`	60	`0 \\`
59	`\end{array}`	61	`\end{array}`
60	`\right]`	62	`\right]`
61	`$`	63	`$`
62		64
63		65
64	`$(\lambda _2 I - A) v _2 = 0`	66	`$(\lambda _2 I - A) v _2 = 0`
65	`\left[ \begin{array}{ccc}`	67	`\left[ \begin{array}{ccc}`
66	`1 & -4 & -10 \\`	68	`1 & -4 & -10 \\`
67	`0 & 0 & 0 \\`	69	`0 & 0 & 0 \\`
68	`0 & 0 & 0 \\`	70	`0 & 0 & 0 \\`
69	`\end{array}`	71	`\end{array}`
70	`\right] v_2`	72	`\right] v_2`
71	`= 0`	73	`= 0`
72	`\Rightarrow`	74	`\Rightarrow`
73	`v_2 =`	75	`v_2 =`
74	`\left[ \begin{array}{c}`	76	`\left[ \begin{array}{c}`
75	`10 \\`	77	`10 \\`
76	`0 \\`	78	`0 \\`
77	`1 \\`	79	`1 \\`
78	`\end{array}`	80	`\end{array}`
79	`\right]`	81	`\right]`
80	`$`	82	`$`
81		83
82		84
83	`$(\lambda _3 I - A) v _3 = 0`	85	`$(\lambda _3 I - A) v _3 = 0`
84	`\left[ \begin{array}{ccc}`	86	`\left[ \begin{array}{ccc}`
85	`1 & -4 & -10 \\`	87	`1 & -4 & -10 \\`
86	`0 & 0 & 0 \\`	88	`0 & 0 & 0 \\`
87	`0 & 0 & 0 \\`	89	`0 & 0 & 0 \\`
88	`\end{array}`	90	`\end{array}`
89	`\right] v_3`	91	`\right] v_3`
90	`= 0`	92	`= 0`
91	`\Rightarrow`	93	`\Rightarrow`
92	`v_3 =`	94	`v_3 =`
93	`\left[ \begin{array}{c}`	95	`\left[ \begin{array}{c}`
94	`4 \\`	96	`4 \\`
95	`1 \\`	97	`1 \\`
96	`0 \\`	98	`0 \\`
97	`\end{array}`	99	`\end{array}`
98	`\right]`	100	`\right]`
99	`$`	101	`$`
100		102
101	`Transformační matice vytvořená z vlastních vektorů`	103	`Transformační matice vytvořená z vlastních vektorů`
102		104
103		105
104	`$P = \left[v_1, v_2, v_3 \right]`	106	`$P = \left[v_1, v_2, v_3 \right]`
105	`\left[ \begin{array}{ccc}`	107	`\left[ \begin{array}{ccc}`
106	`1 & 10 & 4 \\`	108	`1 & 10 & 4 \\`
107	`0 & 0 & 1 \\`	109	`0 & 0 & 1 \\`
108	`0 & 1 & 0 \\`	110	`0 & 1 & 0 \\`
109	`\end{array}`	111	`\end{array}`
110	`\right]`	112	`\right]`
111	`$`	113	`$`
112		114
113	`Její inverze je`	115	`Její inverze je`
114		116
115	`$P^{-1} = \left[v_1, v_2, v_3 \right]`	117	`$P^{-1} = \left[v_1, v_2, v_3 \right]`
116	`= \left[ \begin{array}{ccc}`	118	`= \left[ \begin{array}{ccc}`
117	`1 & -4 & -10 \\`	119	`1 & -4 & -10 \\`
118	`0 & 0 & 1 \\`	120	`0 & 0 & 1 \\`
119	`0 & 1 & 0 \\`	121	`0 & 1 & 0 \\`
120	`\end{array}`	122	`\end{array}`
121	`\right]`	123	`\right]`
122	`$`	124	`$`
123		125
124	`$e^{At} = P e^{At} P^{-1}`	126	`$e^{At} = P e^{At} P^{-1}`
125	`= \left[`	127	`= \left[`
126	`\begin{array}{ccc}`	128	`\begin{array}{ccc}`
127	`1 & 10 & 4 \\`	129	`1 & 10 & 4 \\`
128	`0 & 0 & 1 \\`	130	`0 & 0 & 1 \\`
129	`0 & 1 & 0 \\`	131	`0 & 1 & 0 \\`
130	`\end{array}`	132	`\end{array}`
131	`\right]`	133	`\right]`
132	`\left[`	134	`\left[`
133	`\begin{array}{ccc}`	135	`\begin{array}{ccc}`
134	`e^{t} & 0 & 0 \\`	136	`e^{t} & 0 & 0 \\`
135	`0 & e^{2t} & 0 \\`	137	`0 & e^{2t} & 0 \\`
136	`0 & 0 & e^{2t} \\`	138	`0 & 0 & e^{2t} \\`
137	`\end{array}`	139	`\end{array}`
138	`\right]`	140	`\right]`
139	`\left[`	141	`\left[`
140	`\begin{array}{ccc}`	142	`\begin{array}{ccc}`
141	`1 & -4 & -10 \\`	143	`1 & -4 & -10 \\`
142	`0 & 0 & 1 \\`	144	`0 & 0 & 1 \\`
143	`0 & 1 & 0 \\`	145	`0 & 1 & 0 \\`
144	`\end{array}`	146	`\end{array}`
145	`\right]`	147	`\right]`
146	`= \\`	148	`= \\`
147	`=`	149	`=`
148	`\left[`	150	`\left[`
149	`\begin{array}{ccc}`	151	`\begin{array}{ccc}`
150	`e^{t} & -4e^{t}+4e^{2t} & -10e^{t}+10e^{2t} \\`	152	`e^{t} & -4e^{t}+4e^{2t} & -10e^{t}+10e^{2t} \\`
151	`0 & e^{2t} & 0 \\`	153	`0 & e^{2t} & 0 \\`
152	`0 & 0 & e^{2t} \\`	154	`0 & 0 & e^{2t} \\`
153	`\end{array}`	155	`\end{array}`
154	`\right]`	156	`\right]`
155	`=`	157	`=`
156	`\left[`	158	`\left[`
157	`\begin{array}{ccc}`	159	`\begin{array}{ccc}`
158	`1 & -4 & -10 \\`	160	`1 & -4 & -10 \\`
159	`0 & 0 & 0 \\`	161	`0 & 0 & 0 \\`
160	`0 & 0 & 0 \\`	162	`0 & 0 & 0 \\`
161	`\end{array}`	163	`\end{array}`
162	`\right]`	164	`\right]`
163	`e^{t} +`	165	`e^{t} +`
164	`\left[`	166	`\left[`
165	`\begin{array}{ccc}`	167	`\begin{array}{ccc}`
166	`0 & 4 & -10 \\`	168	`0 & 4 & -10 \\`
167	`0 & 1 & 0 \\`	169	`0 & 1 & 0 \\`
168	`0 & 0 & 1 \\`	170	`0 & 0 & 1 \\`
169	`\end{array}`	171	`\end{array}`
170	`\right]`	172	`\right]`
171	`e^{2t}`	173	`e^{2t}`
172	`$`	174	`$`
173		175
174	`Metoda s použitím Laplaceovy transformace:`	176	`Metoda s použitím Laplaceovy transformace:`
175		177
176	$e^{At} = L^{-1}{(sI - A)^{-1}}$	178	$e^{At} = L^{-1}{(sI - A)^{-1}}$
177		179
178		180
179	`$(sI - A)^{-1} =`	181	`$(sI - A)^{-1} =`
180	`\left[ \begin{array}{ccc}`	182	`\left[ \begin{array}{ccc}`
181	`s-1 & -4 & -10 \\`	183	`s-1 & -4 & -10 \\`
182	`0 & s-2 & 0 \\`	184	`0 & s-2 & 0 \\`
183	`0 & 0 & s-2 \\`	185	`0 & 0 & s-2 \\`
184	`\end{array}`	186	`\end{array}`
185	`\right]^{-1}`	187	`\right]^{-1}`
186	`= \frac{1}{(s-1)(s-2)^2}`	188	`= \frac{1}{(s-1)(s-2)^2}`
187	`\left[ \begin{array}{ccc}`	189	`\left[ \begin{array}{ccc}`
188	`(s-2)^2 & -4(s-2) & -10(s-2) \\`	190	`(s-2)^2 & -4(s-2) & -10(s-2) \\`
189	`0 & (s-1)(s-2) & 0 \\`	191	`0 & (s-1)(s-2) & 0 \\`
190	`0 & 0 & (s-1)^2 \\`	192	`0 & 0 & (s-1)^2 \\`
191	`\end{array}`	193	`\end{array}`
192	`\right]^{-1}=\\`	194	`\right]^{-1}=\\`
193	`=`	195	`=`
194	`\left[ \begin{array}{ccc}`	196	`\left[ \begin{array}{ccc}`
195	`1 & -4 & 10 \\`	197	`1 & -4 & 10 \\`
196	`0 & 0 & 0 \\`	198	`0 & 0 & 0 \\`
197	`0 & 0 & 0 \\`	199	`0 & 0 & 0 \\`
198	`\end{array}`	200	`\end{array}`
199	`\right]^{-1}`	201	`\right]^{-1}`
200	`\frac{1}{s-1}`	202	`\frac{1}{s-1}`
201	`+`	203	`+`
202	`\left[ \begin{array}{ccc}`	204	`\left[ \begin{array}{ccc}`
203	`0 & 4 & -10 \\`	205	`0 & 4 & -10 \\`
204	`0 & 1 & 0 \\`	206	`0 & 1 & 0 \\`
205	`0 & 0 & 1 \\`	207	`0 & 0 & 1 \\`
206	`\end{array}`	208	`\end{array}`
207	`\right]^{-1}`	209	`\right]^{-1}`
208	`\frac{1}{s-2}`	210	`\frac{1}{s-2}`
209	`$`	211	`$`
210		212
211	`Z toho pak`	213	`Z toho pak`
212		214
213	`$`	215	`$`
214	`e^{At} = L^{-1} \left\{`	216	`e^{At} = L^{-1} \left\{`
215	`\left[ \begin{array}{ccc}`	217	`\left[ \begin{array}{ccc}`
216	`1 & -4 & 10 \\`	218	`1 & -4 & 10 \\`
217	`0 & 0 & 0 \\`	219	`0 & 0 & 0 \\`
218	`0 & 0 & 0 \\`	220	`0 & 0 & 0 \\`
219	`\end{array}`	221	`\end{array}`
220	`\right]^{-1}`	222	`\right]^{-1}`
221	`\frac{1}{s-1}`	223	`\frac{1}{s-1}`
222	`+`	224	`+`
223	`\left[ \begin{array}{ccc}`	225	`\left[ \begin{array}{ccc}`
224	`0 & 4 & -10 \\`	226	`0 & 4 & -10 \\`
225	`0 & 1 & 0 \\`	227	`0 & 1 & 0 \\`
226	`0 & 0 & 1 \\`	228	`0 & 0 & 1 \\`
227	`\end{array}`	229	`\end{array}`
228	`\right]^{-1}`	230	`\right]^{-1}`
229	`\frac{1}{s-2}`	231	`\frac{1}{s-2}`
230	`\right\}`	232	`\right\}`
231	`=\\`	233	`=\\`
232	`=`	234	`=`
233	`\left[`	235	`\left[`
234	`\begin{array}{ccc}`	236	`\begin{array}{ccc}`
235	`1 & -4 & -10 \\`	237	`1 & -4 & -10 \\`
236	`0 & 0 & 0 \\`	238	`0 & 0 & 0 \\`
237	`0 & 0 & 0 \\`	239	`0 & 0 & 0 \\`
238	`\end{array}`	240	`\end{array}`
239	`\right]`	241	`\right]`
240	`e^{t} +`	242	`e^{t} +`
241	`\left[`	243	`\left[`
242	`\begin{array}{ccc}`	244	`\begin{array}{ccc}`
243	`0 & 4 & -10 \\`	245	`0 & 4 & -10 \\`
244	`0 & 1 & 0 \\`	246	`0 & 1 & 0 \\`
245	`0 & 0 & 1 \\`	247	`0 & 0 & 1 \\`
246	`\end{array}`	248	`\end{array}`
247	`\right]`	249	`\right]`
248	`e^{2t}`	250	`e^{2t}`
249	`$`	251	`$`
250		252
251	`\item Dosazením definičních matic systému získáme rovnice tvaru: $\dot x =Ax, y =Cx$`	253	`\item Dosazením definičních matic systému získáme rovnice tvaru: $\dot x =Ax, y =Cx$`
252	`Provedením Laplaceovy transformace pak $sX -x_0 =AX, Y =CX$`	254	`Provedením Laplaceovy transformace pak $sX -x_0 =AX, Y =CX$`
253		255
254	`Z toho vyjádříme $X = (sI - A)^{-1} x_0, Y =C(sI - A)^{-1}x_0$.`	256	`Z toho vyjádříme $X = (sI - A)^{-1} x_0, Y =C(sI - A)^{-1}x_0$.`
255		257
256	`$Y =`	258	`$Y =`
257	`\left[ \begin{array}{ccc}`	259	`\left[ \begin{array}{ccc}`
258	`1 & -1 & 1 \\`	260	`1 & -1 & 1 \\`
259	`\end{array}`	261	`\end{array}`
260	`\right]`	262	`\right]`
261	`\left[ \begin{array}{ccc}`	263	`\left[ \begin{array}{ccc}`
262	`\frac{1}{s+1} & \frac{1}{(s+1)^2} & 0 \\`	264	`\frac{1}{s+1} & \frac{1}{(s+1)^2} & 0 \\`
263	`0 & \frac{1}{s+1} & 0 \\`	265	`0 & \frac{1}{s+1} & 0 \\`
264	`0 & 0 & \frac{1}{s-2} \\`	266	`0 & 0 & \frac{1}{s-2} \\`
265	`\end{array}`	267	`\end{array}`
266	`\right] x_0 =`	268	`\right] x_0 =`
267	`\left[ \begin{array}{ccc}`	269	`\left[ \begin{array}{ccc}`
268	`\frac{1}{s+1} & \frac{-s}{(s+1)^2} & \frac{1}{s-2} \\`	270	`\frac{1}{s+1} & \frac{-s}{(s+1)^2} & \frac{1}{s-2} \\`
269	`\end{array}`	271	`\end{array}`
270	`\right] x_0 $`	272	`\right] x_0 $`
271		273
272	$ L\{(te^{-t})\} = \frac{-s}{(s+1)^2}$	274	$ L\{(te^{-t})\} = \frac{-s}{(s+1)^2}$
273		275
274	`$X =`	276	`$X =`
275	`\left[ \begin{array}{ccc}`	277	`\left[ \begin{array}{ccc}`
276	`\frac{1}{s+1} & \frac{1}{(s+1)^2} & 0 \\`	278	`\frac{1}{s+1} & \frac{1}{(s+1)^2} & 0 \\`
277	`0 & \frac{1}{s+1} & 0 \\`	279	`0 & \frac{1}{s+1} & 0 \\`
278	`0 & 0 & \frac{1}{s-2} \\`	280	`0 & 0 & \frac{1}{s-2} \\`
279	`\end{array}`	281	`\end{array}`
280	`\right] x_0`	282	`\right] x_0`
281	`$`	283	`$`
282		284
283	`Stav $x(0)$ pro který bude platit požadovaná podmínka je $`	285	`Stav $x(0)$ pro který bude platit požadovaná podmínka je $`
284	`\left[ \begin{array}{c}`	286	`\left[ \begin{array}{c}`
285	`1 \\`	287	`1 \\`
286	`1 \\`	288	`1 \\`
287	`0 \\`	289	`0 \\`
288	`\end{array}`	290	`\end{array}`
289	`\right]`	291	`\right]`
290	`$`	292	`$`
291		293
292	`\item Požadavkem je konstantní stav $x_0$ proto dosadíme: $ x_0 = Ax_0 + Bu(k)$ z toho $(I - A)x_0 = Bu(k)$`	294	`\item Požadavkem je konstantní stav $x_0$ proto dosadíme: $ x_0 = Ax_0 + Bu(k)$ z toho $(I - A)x_0 = Bu(k)$`
293		295
294	`$X =`	296	`$X =`
295	`\left(`	297	`\left(`
296	`\left[ \begin{array}{cc}`	298	`\left[ \begin{array}{cc}`
297	`1 & 0 \\`	299	`1 & 0 \\`
298	`0 & 1 \\`	300	`0 & 1 \\`
299	`\end{array}`	301	`\end{array}`
300	`\right] -`	302	`\right] -`
301	`\left[ \begin{array}{cc}`	303	`\left[ \begin{array}{cc}`
302	`1 & 0 \\`	304	`1 & 0 \\`
303	`0 & 1 \\`	305	`0 & 1 \\`
304	`\end{array}`	306	`\end{array}`
305	`\right] \right)`	307	`\right] \right)`
306	`\left[ \begin{array}{c}`	308	`\left[ \begin{array}{c}`
307	`-2 \\`	309	`-2 \\`
308	`1 \\`	310	`1 \\`
309	`\end{array}`	311	`\end{array}`
310	`\right]=`	312	`\right]=`
311	`\left[ \begin{array}{c}`	313	`\left[ \begin{array}{c}`
312	`1 \\`	314	`1 \\`
313	`2 \\`	315	`2 \\`
314	`\end{array}`	316	`\end{array}`
315	`\right] u(k)`	317	`\right] u(k)`
316	`$`	318	`$`
317		319
318	`$`	320	`$`
319	`\left[ \begin{array}{c}`	321	`\left[ \begin{array}{c}`
320	`1 \\`	322	`1 \\`
321	`2 \\`	323	`2 \\`
322	`\end{array}`	324	`\end{array}`
323	`\right]`	325	`\right]`
324	`=`	326	`=`
325	`\left[ \begin{array}{c}`	327	`\left[ \begin{array}{c}`
326	`1 \\`	328	`1 \\`
327	`2 \\`	329	`2 \\`
328	`\end{array}`	330	`\end{array}`
329	`\right] u(k) \rightarrow u(k) = 1(k)`	331	`\right] u(k) \rightarrow u(k) = 1(k)`
330	`$`	332	`$`
331		333
332	`Potřebná sekvence vstupů pro splnění podmínek odpovídá jednotkovému skoku.`	334	`Potřebná sekvence vstupů pro splnění podmínek odpovídá jednotkovému skoku.`
333		335
-		336	`\item Řešením charakteristického polynomu matice A získáme její vlastní čísla. Jsou ale ovšem ryze komplexní $\lambda _1 = -i, \lambda _2 = +i, \lambda _{34} = 0$.`
-		337
-		338	`Matice vlastních vektorů proto nabývá tvaru:`
-		339	`$`
-		340	`P = \left[ \begin{array}{cccc}`
-		341	`-0.3162 & -0.3162 & 0 & 0 \\`
-		342	`0 + 0.3162i & 0 - 0.3162i & 0 & 0 \\`
-		343	`0 + 0.6325i & 0 - 0.6325i & 1 & 1 \\`
-		344	`0.6325 & 0.6325 & 0 & 0 \\`
-		345	`\end{array}`
-		346	`\right]`
-		347	`$`
-		348
-		349	`Matici podobnou matici A pak získáme z definice`
-		350
-		351	$^\sim A = P A P^{-1}$
-		352
334	`\end{enumerate}`	353	`\end{enumerate}`
335		354
336		355
337	`\end{document}`	356	`\end{document}`

Subversion Repositories svnkaklik

(root)/dokumenty/skolni/TDS/2uloha/reseni.tex – Rev 1040 → 1042