Subversion Repositories svnkaklik

Rev

Rev 1045 | Show entire file | Ignore whitespace | Details | Blame | Last modification | View Log

Rev 1045 Rev 1046
Line 12... Line 12...
12 
\section*{Řešení 4. zadané úlohy		-	 Jakub Kákona}
 12 
\section*{Řešení 4. zadané úlohy		-	 Jakub Kákona}
13 
 
 13 
 
14 
\begin{enumerate}
 14 
\begin{enumerate}
15 
\item
15 
\item
16 
 
 16 
 
- 
 
 17 
Problém se pravděpodobně řeší vypočtením gramiánu. A řešením získané soustavy.
17
18 
 
- 
 
 19 
Vstup který změní stav systému z nuly na stav $\alpha$ pravděpodobně udrží stav $\alpha$ i nadále, neboť hodnota vstupu pravděpodobně postupně během časového intervalu T klesne k nule.
18
20
19 
\item
 21 
\item
20 
Zadaná soustava rovnic může být přepsána do maticového tvaru
 22 
Můžeme spočítat matici dosažitelnosti systému
21 
 
 23 
 
22 
\begin{equation}
 24 
\begin{equation}
23 
\dot x = Ax \\
 25 
C_k = \left[B, AB, A^2B \right]
24 
A = \left[ \begin{array}{ccc}
 26 
= \left[ \begin{array}{ccc}
25 
1 & -1 & 1 \\
 27 
0 & 1 & 2 \\
26 
1 & 0 & 1  \\
 28 
1 & 1 & 1  \\
27 
1 & 1 & 1  \\
 29 
1 & 1 & 1  \\
28 
\end{array}
 30 
\end{array}
29 
\right]
 31 
\right]
30 
\end{equation}
32 
\end{equation}
31 
 
 33 
 
32 
Tato matice ale není regulární, proto má systém nekonečně mnoho  rovnovážných bodů. Jejich vyjádření získáme požadavkem na nulové derivace v rovnovážných bodech. Řešíme tedy homogenní rovnici.
34 
$h(C_k=2)$ proto je dosažitelný podprostor generován dvěma lineárně nezávislými vektory
33 
 
 35 
 
34 
\begin{equation}
 36 
\begin{equation}
- 
 
 37 
u = \left[ \begin{array}{c}
35 
0 = Ax
 38 
0 \\
- 
 
 39 
1 \\
- 
 
 40 
1 \\
- 
 
 41 
\end{array}
- 
 
 42 
\\
- 
 
 43 
\right]
- 
 
 44 
v = \left[ \begin{array}{c}
- 
 
 45 
1 \\
- 
 
 46 
1 \\
- 
 
 47 
1 \\
- 
 
 48 
\end{array}
- 
 
 49 
\right]
36 
\end{equation}
50 
\end{equation}
37 
 
 51
38 
Tato rovnice má řešení
52 
Aby stav systému $x^1$ byl dosažitelný, musí být součástí dosažitelného prostoru. tj. lze jej nakombinovat z báze dosažitelného prostoru.
39 
 
 53 
 
40 
\begin{equation}
 54 
\begin{equation}
41 
a = \left[ \begin{array}{c}
 55 
\left[ \begin{array}{c}
42 
-t \\
 56 
1 \\
- 
 
 57 
3 \\
- 
 
 58 
3 \\
- 
 
 59 
\end{array} \right] = a \left[ \begin{array}{c}
43 
0 \\
 60 
0 \\
- 
 
 61 
1 \\
44 
t \\
 62 
1 \\
- 
 
 63 
\end{array}
- 
 
 64 
\right]
- 
 
 65 
+
- 
 
 66 
b \left[ \begin{array}{c}
- 
 
 67 
1 \\
- 
 
 68 
1 \\
- 
 
 69 
1 \\
45 
\end{array}
 70 
\end{array}
46 
\right] \\
 71 
\right]
47 
t \in R
 - 
 
48 
\end{equation}
72 
\end{equation}
49 
 
 73 
 
- 
 
 74 
Obecně jsou koeficienty a, b reálné a jsou souřadnicemi všech dosažitelných stavů.
50 
 
 75 
 
- 
 
 76 
Řešením této soustavy je například $a=2$, $b=1$. Stav $x^1$ je proto určitě dosažitelný.
51 
\item
 77 
 
52 
zadaný systém není asymptoticky stabilní, protože
78 
Vstup $u(k)$ potřebný k dosažení  stavu $x^1$ vypočteme ze vztahu
53 
 
 79 
 
54 
\begin{equation}
 80 
\begin{equation}
55 
\lim _{x \to \infty} \sin x(k) \neq 0
81 
C_k U_k = x^1 - A^k x^0
56 
\end{equation}
 82 
\end{equation}
57
83 
 
58 
\item
 - 
 
59 
K určení stability nepomůže Sylvestrovo kritérium, proto
 - 
 
60 
najdeme vlastní čísla matice z charakteristického polynomu
84 
Vzhledem k tomu, že požadovaná počáteční podmínka je $x=0$. Tak předchozí rovnice přejde na tvar:
61 
 
 85 
 
62 
\begin{equation}
 86 
\begin{equation}
63 
\det (\lambda I - A) =
- 
 
64 
\left[ \begin{array}{cc}
 87 
\left[ \begin{array}{cc}
65 
\lambda & -1 \\
 88 
0 & 1 \\
66 
1 & \lambda\\
 89 
1 & 1 \\
- 
 
 90 
1 & 1 \\
- 
 
 91 
\end{array}
- 
 
 92 
\\
- 
 
 93 
\right]
- 
 
 94 
\left[ \begin{array}{c}
- 
 
 95 
u(1) \\
- 
 
 96 
u(0) \\
- 
 
 97 
\end{array}
- 
 
 98 
\right]
- 
 
 99 
=\left[ \begin{array}{c}
- 
 
 100 
1 \\
- 
 
 101 
3 \\
- 
 
 102 
3 \\
- 
 
 103 
\end{array}
- 
 
 104 
\\
- 
 
 105 
\right]
- 
 
 106 
\end{equation}
- 
 
 107 
 
- 
 
 108 
Rešením této soustavy je vstupní sekvence, která způsobí přechod systému ze stavu $x=0$ do stavu $x^1$  za dva kroky
- 
 
 109 
 
- 
 
 110 
\begin{equation}
- 
 
 111 
\left[ \begin{array}{c}
- 
 
 112 
u(1) \\
- 
 
 113 
u(0) \\
- 
 
 114 
\end{array}
- 
 
 115 
\right]
- 
 
 116 
=\left[ \begin{array}{c}
- 
 
 117 
2 \\
- 
 
 118 
1 \\
67 
\end{array}
 119 
\end{array}
- 
 
 120 
\\
68 
\right] = \lambda ^2 + 1
 121 
\right]
69 
\end{equation}
122 
\end{equation}
70 
 
 123 
 
- 
 
 124 
\item
71 
Polynom má komplexní kořeny $\lambda _{1,2} = \pm j$
 125 
Systém (A,B) je řiditelný v případě, že matice $[\lambda I - A, B]$ má plnou hodnost pro každé z n vlastních čísel $\lambda _i$ matice A.
72 
 
 126 
 
73 
A matice je positivně semidefinitní. Systém je proto stabilní, ale ne asymptoticky.
127 
Je proto nutné zjistit vlastní čísla matice A.
74 
 
 128 
 
- 
 
 129 
\begin{equation}
- 
 
 130 
\det (\lambda I - A) =
- 
 
 131 
\det \left[ \begin{array}{cccc}
- 
 
 132 
\lambda & 0 & -1 & 0 \\
- 
 
 133 
0 & \lambda & 0 & 0 \\
- 
 
 134 
0 & 0 & \lambda - 1 & 0 \\
- 
 
 135 
0 & 0 & 0 & \lambda - 1 \\
- 
 
 136 
\end{array}
75 
\item
137 
\right]
- 
 
 138 
= s^2(s-1)^2 \longrightarrow \lambda_{1,2}=0 \lambda_{3,4}=1
- 
 
 139 
\end{equation}
76 
 
 140 
 
77 
Pokud si zvolíme hodnoty $x_1(k)=x(k), x_2(k)=x(k+1)$ dostaneme  $x_1(k+1)=x(k+1), x_1(k+1)=x_2(k)$ A můžeme vytvořit soustavu rovnic.
141 
Spočítáme hodnost matice pro vlastní čísla 0.
- 
 
 142
- 
 
 143 
\begin{equation}
- 
 
 144 
h(\lambda _{1,2} I - A, B) =
- 
 
 145 
h \left( \left[ \begin{array}{cccccc}
- 
 
 146 
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
- 
 
 147 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
- 
 
 148 
0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
- 
 
 149 
0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\
- 
 
 150 
\end{array}
- 
 
 151 
\right] \right)
- 
 
 152 
= 3
- 
 
 153 
\end{equation}
78
154
- 
 
 155 
Matice nemá plnou hodnost pro nulová vlastní čísla a proto jsou módy odpovídající těmto vlastním číslům neřiditelné.
- 
 
 156 
 
79 
\begin{equation}
 157 
\begin{equation}
- 
 
 158 
h(\lambda _{3,4} I - A, B) =
- 
 
 159 
h \left( \left[ \begin{array}{cccccc}
- 
 
 160 
1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
80 
x_1(k+1)=x_2(k) \\
161 
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
81 
x_2(k+1)=-x_1(k) + u(k)\\
 162 
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
- 
 
 163 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
- 
 
 164 
\end{array}
82 
y(k)=x_1(k) \\
165 
\right] \right)
- 
 
 166 
= 4
83 
\end{equation}
 167 
\end{equation}
84 
 
 168 
 
- 
 
 169 
Matice má plnou hodnost pro vlastní čísla $\lambda_{3,4}=1$  a módy odpovídající těmto vlastním číslům jsou proto řiditelné.
- 
 
 170
- 
 
 171 
\item
85 
Kterou můžeme přepsat do tvaru
 172 
Najdeme matice převodu do diskrétního tvaru.
86 
 
 173 
 
87 
\begin{equation}
 174 
\begin{equation}
- 
 
 175 
\tilde{A} = e ^{At} = L ^{-1} \left\{ (s I - A) ^{-1} \right\} = L ^{-1} \left\{
88 
x_1(k+1)=\left[ \begin{array}{cc}
 176 
\left[ \begin{array}{cc}
- 
 
 177 
\frac{s}{s^2+1} & \frac{s}{s^2+1}\\
- 
 
 178 
\frac{-1}{s^2+1} & \frac{s}{s^2+1}\\
- 
 
 179 
\end{array}
- 
 
 180 
\right] \right\} =
- 
 
 181 
\left[ \begin{array}{cc}
89 
0 & 1 \\
 182 
\cos T & \sin T \\
90 
-1 & 0 \\
 183 
- \sin T & \cos T\\
91 
\end{array}
 184 
\end{array}
- 
 
 185 
\right]
- 
 
 186 
\end{equation}
- 
 
 187 
 
- 
 
 188 
\begin{equation}
- 
 
 189 
\tilde{B} = \left( \int ^T _0 e ^{At} dt \right) B =
- 
 
 190 
\left[ \begin{array}{cc}
- 
 
 191 
\sin t & - \cos t \\
- 
 
 192 
\cos t & \sin t \\
- 
 
 193 
\end{array}
- 
 
 194 
\right]^T _0
92 
\right] x(k) + \left[ \begin{array}{c}
 195 
\left[ \begin{array}{c}
93 
0 \\
 196 
0 \\
94 
1 \\
 197 
1 \\
95 
\end{array}
 198 
\end{array}
96 
\right] u(k)
 199 
\right] =
- 
 
 200 
\left[ \begin{array}{c}
- 
 
 201 
1 - \cos T \\
- 
 
 202 
 \sin T \\
- 
 
 203 
\end{array}
- 
 
 204 
\right]
- 
 
 205 
\end{equation}
- 
 
 206 
 
- 
 
 207 
Matice dosažitelného prostoru diskrétního systému pak je
- 
 
 208 
 
- 
 
 209 
\begin{equation}
- 
 
 210 
C_k = \left[ \tilde{B}, \tilde{A}\tilde{B} \right] =
- 
 
 211 
\left[ \begin{array}{cc}
- 
 
 212 
1 - \cos T & \cos T - \cos ^2 T + \sin ^2 T \\
- 
 
 213 
\sin T & \sin T - \cos T \sin T + \cos T \sin T \\
- 
 
 214 
\end{array}
- 
 
 215 
\right]
97 
\\
216 
=\\
98 
y(k)=\left[ \begin{array}{cc}
 217 
\left[ \begin{array}{cc}
- 
 
 218 
1 - \cos T & \cos T - 1 \\
99 
1 & 0 \\
 219 
\sin T & \sin T \\
100 
\end{array} \right] x(k) + [0]u(k)\\
 220 
\end{array}
- 
 
 221 
\right]
101 
\end{equation}
 222 
\end{equation}
102 
 
 223 
 
- 
 
 224 
Aby systém mohl být řiditelný, musí mít matice $C_k$ plnou hodnost. To znamená že $T \neq k \pi , k \in Z$
- 
 
 225
- 
 
 226 
\item
- 
 
 227 
 
103 
Z toho pak můžeme zjistit přenos systému
 228 
Opět potřebujeme matici dosažitelného prostoru stavů:
104 
 
 229 
 
105 
\begin{equation}
 230 
\begin{equation}
106 
G(z)= C (zI - A)^{-1} B + D \\
 - 
 
107 
G(z)=\left[ \begin{array}{cc}
 231 
C_k = \left[ B, AB \right] =
108 
1 & 0 \\
 - 
 
109 
\end{array} \right] \frac{1}{z^2 + 1 }
 - 
 
110 
\left[ \begin{array}{cc}
 232 
\left[ \begin{array}{cc}
- 
 
 233 
0 & 1 \\
111 
z & 1 \\
 234 
1 & 1 \\
112 
-1 & z \\
 235 
1 & 2 \\
- 
 
 236 
\end{array}
- 
 
 237 
\right]
- 
 
 238 
\end{equation}
- 
 
 239 
 
113 
\end{array} \right]
 240 
Vidíme, že matice má hodnost 2. prostor dosažitelných stavů je proto generován dvěma lineárně nezávislými vektory. Protože víme, že každý dosažitelný stav je řiditelný, určíme řiditelné stavy, jako libovolnou lineární kombinaci vektorů generujících dosažitelný podprostor.
- 
 
 241 
 
- 
 
 242 
\begin{equation}
- 
 
 243 
x = \alpha
114 
\left[ \begin{array}{c}
 244 
\left[ \begin{array}{c}
115 
0 \\
 245 
0 \\
116 
1 \\
 246 
1 \\
- 
 
 247 
1 \\
- 
 
 248 
\end{array}
- 
 
 249 
\right]
- 
 
 250 
+
117 
\end{array} \right] = \frac{1}{z^2 + 1}
 251 
\beta \left[ \begin{array}{c}
- 
 
 252 
1 \\
- 
 
 253 
1 \\
- 
 
 254 
2 \\
- 
 
 255 
\end{array}
- 
 
 256 
\right]=
- 
 
 257 
\left[ \begin{array}{c}
- 
 
 258 
\beta \\
- 
 
 259 
\alpha + \beta \\
- 
 
 260 
\alpha + 2 \beta \\
- 
 
 261 
\end{array}
- 
 
 262 
\right]\\
- 
 
 263 
\alpha , \beta \in R
118 
\end{equation}
 264 
\end{equation}
119 
 
 - 
 
120 
singularita přenosu nastává v bodech $z= \pm j$ A systém není BIBO stabilní, protože jeho póly nejsou uvnitř jednotkového kruhu, ale na jeho hranici.
- 
 
121
265
122 
\end{enumerate}
- 
 
123
266
124 
 
 - 
 
- 
 
 267 
\end{enumerate}
125 
\end{document}
 268 
\end{document}
126 

            269