Subversion Repositories svnkaklik

Rev

Rev 617 | Go to most recent revision | Show entire file | Ignore whitespace | Details | Blame | Last modification | View Log

Rev 617 Rev 618
Line 6... Line 6...
6 
\textwidth 16cm \textheight 24.6cm
 6 
\textwidth 16cm \textheight 24.6cm
7 
\topmargin -1.3cm
7 
\topmargin -1.3cm
8 
\oddsidemargin 0cm
 8 
\oddsidemargin 0cm
9 
\pagestyle{empty}
 9 
\pagestyle{empty}
10 
\begin{document}
 10 
\begin{document}
11 
\title{Cavendishův experiment}
 11 
\title{Měření modulu pružnosti ve smyku a tahu}
12 
\author{Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz}
 12 
\author{Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz}
13 
\date{19.11.2009}
 13 
\date{19.11.2009}
14 
\maketitle
 14 
\maketitle
15 
\thispagestyle{empty}
 15 
\thispagestyle{empty}
16 
\begin{abstract}
 16 
\begin{abstract}
Line 26... Line 26...
26 
\item Na torzním kyvadle změřte moment setrvačnosti základního systému $I_{0}$ a modul pružnosti ve smyku $G$ ocelového drátu. Dobu torzních kmitů změřte postupnou metodou.
 26 
\item Na torzním kyvadle změřte moment setrvačnosti základního systému $I_{0}$ a modul pružnosti ve smyku $G$ ocelového drátu. Dobu torzních kmitů změřte postupnou metodou.
27 
\item V přípravě odvoďte vzorce pro výpočet modulu pružnosti ve smyku $G$ a momentu setrvačnosti základního systému torzního kyvadla $I_{0}$.
27 
\item V přípravě odvoďte vzorce pro výpočet modulu pružnosti ve smyku $G$ a momentu setrvačnosti základního systému torzního kyvadla $I_{0}$.
28 
\end{enumerate}
 28 
\end{enumerate}
29 
 
 29 
 
30 
\section{Úvod}
 30 
\section{Úvod}
- 
 
 31 
\subsection{Modul pružnosti v tahu}
- 
 
 32 
Při působení tažné síly na pružné homogenní těleso se jeho rozměr v ose síly prodlužuje podle vztahu.
31 
 
 33 
 
32 
\begin{displaymath} \frac{F}{S} = E \frac{\Delta l}{l}, \end{displaymath}
 34 
\begin{displaymath} \frac{F}{S} = E \frac{\Delta l}{l}, \end{displaymath}
33 
 
 35 
 
- 
 
 36 
Který nazýváme Hookův zákon. Konstanta $E$ je určena jen vlastnostmi materiálu a nazývá se modul pružnosti v tahu nebo Youngův modul.
- 
 
 37 
Při protahování tělesa se však jeho rozměry kolmé k ose jeho prodloužení zkracují podle vztahu.
- 
 
 38 
 
- 
 
 39 
\begin{displaymath} \frac{\Delta a}{a} = \frac{\Delta b}{b} = \mu \frac{\Delta l}{l} , resp. \frac{\Delta r}{r} = \mu \frac{\Delta l}{l} , \end{displaymath}
- 
 
 40 
 
- 
 
 41 
kde $\mu $ je Poissonovo číslo (nezávislé na $E)$. Poissonovo číslo $\mu $ je v intervalu $\langle $0, 1/2$\rangle $; hodnotu 1/2 nabývá pro nestlačitelné materiály. Protože v našem případě platí
- 
 
 42 
 
- 
 
 43 
\begin{displaymath} S = \pi d^2 \end{displaymath}
- 
 
 44 
a
- 
 
 45 
\begin{displaymath} F = mg \end{displaymath}
- 
 
 46 
 
- 
 
 47 
kde $d$ je průměr drátu a $m$ hmotnost závaží dostaneme po úpravě vztah
- 
 
 48 
 
- 
 
 49 
\begin{equation}
- 
 
 50 
E = \frac{4mgl}{\pi d^{2} \Delta l}
- 
 
 51 
\label{hook_rovnice}
- 
 
 52 
\end{equation}
- 
 
 53
- 
 
 54 
 
- 
 
 55 
 
- 
 
 56 
\subsection{Modul pružnosti v tahu měřený z ohybu nosníku}
- 
 
 57 
Nosník známé délky $L$ podepřený na obou koncích se při zátěži uprostřed prohýbá podle vztahu.
- 
 
 58 
 
- 
 
 59 
\begin{displaymath} z(0) = - \frac{F L^3}{48 E I}. \end{displaymath}
- 
 
 60 
 
- 
 
 61 
Kde $I$ je plošný moment setrvačnosti určený profilem nosníku. Pro nosník obdélníkového průřezu je roven.
- 
 
 62 
 
- 
 
 63 
\begin{displaymath} I = \frac{ab^3}{12} \end{displaymath}
- 
 
 64 
 
- 
 
 65 
Po sloučení obou výrazů a vyjádření $E$ dostáváme
- 
 
 66 
 
- 
 
 67 
\begin{displaymath} E = - \frac{mgL^3}{4ab^3} \end{displaymath}
- 
 
 68 
 
- 
 
 69 
\subsection{Modul pružnosti ve smyku měřený statickou torzí}
- 
 
 70 
Při zatížení drátu momentem síly
- 
 
 71 
\begin{displaymath} M = 2mgr \end{displaymath}
- 
 
 72 
 
- 
 
 73 
Se jeho konec bude stáčet o úhel $\Phi$ Tento úhel bude záviset na momentu síly a poloměru drátu. Tím je určen modul pružnosti ve smyku $G$
- 
 
 74 
 
- 
 
 75 
\begin{displaymath} G = \frac{2mL}{\pi R^4 \Phi} \end{displaymath}
- 
 
 76 
 
- 
 
 77 
Po dosazení za moment síly dostáváme výraz
- 
 
 78 
\begin{displaymath} G = \frac{2rgmL}{\pi R^4 \Phi} \end{displaymath}
- 
 
 79 
 
- 
 
 80 
\subsection{Modul pružnosti ve smyku měřený torzním kyvadlem}
- 
 
 81 
Stočením drátu o úhel $\Phi$ bude  kyvadlo působit momentem síly o velikosti
- 
 
 82 
 
- 
 
 83 
\begin{displaymath} M = K \Phi \end{displaymath}
- 
 
 84 
 
- 
 
 85 
kde $K$ je direkční moment kyvadla, pro který platí
- 
 
 86 
 
- 
 
 87 
\begin{displaymath} K =  \frac{G \pi R^4}{2L} \end{displaymath}
- 
 
 88 
 
- 
 
 89 
Kde $R$ je poloměr drátu a $L$ jeho délka. Tento moment bude stáčet drát zpět do rovnovážné polohy a tím vznikne kmitavý pohyb s periodou
- 
 
 90 
 
- 
 
 91 
\begin{displaymath} T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{K}} \end{displaymath}
- 
 
 92 
Kde $I$ je moment setrvačnosti kyvadla. Z vlastností $K$ plyne vztah
- 
 
 93 
 
- 
 
 94 
\begin{displaymath} \frac{I_1}{T_1^2} = \frac{I_2}{T_2^2} \end{displaymath}
- 
 
 95 
 
- 
 
 96 
Kde $I_1$ a $I_1$ jsou momenty setrvačnosti kyvadla pro dvě různé vzdálenosti závaží od osy.
- 
 
 97 
 
34 
\section{Postup měření}
 98 
\section{Postup měření}
35 
 
 99 
 
- 
 
 100 
Měření modulu pružnosti v tahu jsme měřili napínáním svisle pověšeného drátu závažími o hmotnosti 101g průtah drátu jsme zjistili pomocí měřících hodinek. Naměřené hodnoty ukazuje tabulka \ref{hook}.
- 
 
 101 
 
- 
 
 102 
\begin{table}[htbp]
- 
 
 103 
\begin{center}
- 
 
 104 
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
- 
 
 105 
\hline
- 
 
 106 
počet zavaží & hmotnost[g] & zatezovani[10um] & odlehcovani[10um] \\ \hline
- 
 
 107 
1 & 101 & 51 & 59 \\ \hline
- 
 
 108 
2 & 202 & 77 & 81 \\ \hline
- 
 
 109 
3 & 303 & 96 & 100 \\ \hline
- 
 
 110 
4 & 404 & 114 & 118 \\ \hline
- 
 
 111 
5 & 505 & 133 & 135 \\ \hline
- 
 
 112 
6 & 606 & 151 & 153 \\ \hline
- 
 
 113 
7 & 707 & 169,5 & 170 \\ \hline
- 
 
 114 
8 & 808 & 183,5 & 187 \\ \hline
- 
 
 115 
9 & 909 & 202 & 202 \\ \hline
- 
 
 116 
10 & 1010 & 221 & 221 \\ \hline
- 
 
 117 
\end{tabular}
- 
 
 118 
\end{center}
- 
 
 119 
\label{hook}
- 
 
 120 
\caption{Prodlužování a zkracování drátu }
- 
 
 121 
\end{table}
- 
 
 122 
 
- 
 
 123 
Proložením naměřených dat funkcí \ref{hook_rovnice} jsme dostali hodnotu $E = (1.59619e+11 \pm 6.539e+09)$ Pa.
- 
 
 124 
 
- 
 
 125 
Proložení ukazuje graf \ref{Graf_hookz} a \ref{Graf_hooko}.
- 
 
 126 
 
- 
 
 127 
\begin{figure}
- 
 
 128 
\begin{center}
- 
 
 129 
\includegraphics[width=150mm]{hookz.pdf}
- 
 
 130 
\end{center}
- 
 
 131 
\caption{prodloužení drátu délky 1,15m v závislosti na zátěži}
- 
 
 132 
\label{Graf_hookz}
- 
 
 133 
\end{figure}
- 
 
 134 
 
- 
 
 135 
\begin{figure}
- 
 
 136 
\begin{center}
- 
 
 137 
\includegraphics[width=150mm]{hooko.pdf}
- 
 
 138 
\end{center}
- 
 
 139 
\caption{prodloužení drátu délky 1,15m v závislosti na zátěži během odlehčování}
- 
 
 140 
\label{Graf_hooko}
- 
 
 141 
\end{figure}
- 
 
 142 
 
- 
 
 143 
Průhyb nosníku jsme měřili zatěžováním hranolu o rozměrech 498x10,1x4,1 mm. Hodnotu jsme měřili mikroskopem v prostřední části. Naměřené hodnoty uvádí tabulka \ref{pruhyb}.
- 
 
 144 
 
- 
 
 145 
\begin{table}[htbp]
- 
 
 146 
\begin{center}
- 
 
 147 
\begin{tabular}{|c|c|c|}
- 
 
 148 
\hline
- 
 
 149 
zatez[g] & pruhyb[mm] & pruhyb[mm] \\ \hline
- 
 
 150 
101 & 2,53 & 0,06 \\ \hline
- 
 
 151 
202 & 5,05 & 0,13 \\ \hline
- 
 
 152 
303 & 7,58 & 0,19 \\ \hline
- 
 
 153 
404 & 10,1 & 0,25 \\ \hline
- 
 
 154 
505 & 12,63 & 0,32 \\ \hline
- 
 
 155 
606 & 15,15 & 0,38 \\ \hline
- 
 
 156 
707 & 17,68 & 0,44 \\ \hline
- 
 
 157 
808 & 20,2 & 0,51 \\ \hline
- 
 
 158 
909 & 22,73 & 0,57 \\ \hline
- 
 
 159 
1010 & 25,25 & 0,63 \\ \hline
- 
 
 160 
\end{tabular}
- 
 
 161 
\end{center}
- 
 
 162 
\caption{Průhyb nosníku}
- 
 
 163 
\label{pruhyb}
- 
 
 164 
\end{table}
- 
 
 165 
 
- 
 
 166 
Grafické vyjádření je v grafu \ref{pruhyb_graf}.
- 
 
 167 
 
- 
 
 168 
 
- 
 
 169 
\begin{figure}
- 
 
 170 
\begin{center}
- 
 
 171 
\includegraphics[width=150mm]{pruhyb.pdf}
- 
 
 172 
\end{center}
- 
 
 173 
\caption{Průhyb nosníku}
- 
 
 174 
\label{pruhyb_graf}
- 
 
 175 
\end{figure}
- 
 
 176 
 
- 
 
 177 
Zde nám vyšla hodnota modulu pružnosti $E = 165,66$ GPa.
- 
 
 178 
 
- 
 
 179 
Měření modulu pružnosti ve smyku jsme provedli zkrutem drátu delky 665mm, a průměru 1,99mm naměřené výsledky jsou v tabulce \ref{torze_static} a grafu \ref{Torze_graf}.
- 
 
 180 
 
- 
 
 181 
\begin{table}[htbp]
- 
 
 182 
\begin{center}
- 
 
 183 
\begin{tabular}{|c|c|c|}
- 
 
 184 
\hline
- 
 
 185 
hmotnost & Zatezovani [°] & Odlehcovani [°] \\ \hline
- 
 
 186 
0 & 290 & 291 \\ \hline
- 
 
 187 
101 & 302 & 305 \\ \hline
- 
 
 188 
202 & 312 & 317 \\ \hline
- 
 
 189 
303 & 324 & 329 \\ \hline
- 
 
 190 
404 & 336 & 341 \\ \hline
- 
 
 191 
505 & 350 & 350 \\ \hline
- 
 
 192 
\end{tabular}
- 
 
 193 
\end{center}
- 
 
 194 
\caption{Statická torze drátu}
- 
 
 195 
\label{torze_static}
- 
 
 196 
\end{table}
- 
 
 197
- 
 
 198 
\begin{figure}
- 
 
 199 
\begin{center}
- 
 
 200 
\includegraphics[width=150mm]{torze.pdf}
- 
 
 201 
\end{center}
- 
 
 202 
\caption{Torze drátu}
- 
 
 203 
\label{Torze_graf}
- 
 
 204 
\end{figure}
- 
 
 205 
 
- 
 
 206 
Po výpočtu nám vyšel modul pružnosti ve smyku 91 GPa.
- 
 
 207 
 
- 
 
 208 
Posledním měřením bylo požití torzního kyvadla k měření modulu pružnosti ve smyku. Zde jsme zvolili dvě různé vzdálenosti závaží a změřili pro ně periodu kmitů.Pro vzdálenost závaží 31mm nám vyšla perioda 5,91s a pro vzdálenost 222mm 16,8s. Po zjištění potřebných momentů setrvačnosti již bylo možné vypočítat hodnotu modulu pružnosti ve smyku 83,2 GPa.
- 
 
 209
36 
\section{Diskuse}
 210 
\section{Diskuse}
- 
 
 211 
Při měření bylo poměrně komplikované určit správné rozměry měřených profilů. zvláště pak výšku nosníku kde bylo třeba mikrometrem měřit přesně kolmo k jeho ose, tuto jsem vyhodnotil jako nepřesnou a výšku se pokusil změřit posuvným měřítkem o kterém mám ale nyní podezření, že mohlo proměřovat až o 0,2mm, což je hodnota kterou bych od měřícího prostředku tohoto typu nečekal.  Výsledkem je, že měření jsou zatížena poměrně neznámou chybou určení rozměrů. Na druhou stranu si ale myslím, že výsledné moduly pružnosti vyšly v celku reálné, takže konečná chyba nebude velká.
37 
 
 212 
 
38 
\section{Závěr}
 213 
\section{Závěr}
39 
 
 214 
Z výsledků měření vidíme že hodnota modulu pružnosti v tahu se u ocelových materiálů pohybuje okolo 160 GPa zatímco, modul pružnosti ve smyku má menší hodnoty v oblasti 80 GPa. Tento fakt vysvětluje známou snahu konstruktérů ocelové díly namáhat pouze na tah a vyhnout se namáhání na zkrut a střih.
40 
 
 215 
 
41 
\begin{thebibliography}{99}
 216 
\begin{thebibliography}{99}
42 
\bibitem{pruznost}{Zadání úlohy 2 - Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku} \href{http://praktika.fjfi.cvut.cz/Pruznost/}{http://praktika.fjfi.cvut.cz/Pruznost/}
 217 
\bibitem{pruznost}{Zadání úlohy 2 - Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku} \href{http://praktika.fjfi.cvut.cz/Pruznost/}{http://praktika.fjfi.cvut.cz/Pruznost/}
43 
\end{thebibliography}
 218 
\end{thebibliography}
44 
\end{document}
 219 
\end{document}