Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{graphicx}
\textwidth 16cm \textheight 24.6cm
\topmargin -1.3cm 
\oddsidemargin 0cm
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\title{Určení Poissonovy konstanty vzduchu}
\author{Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz}
\date{30.11.2009}
\maketitle
\thispagestyle{empty}
\begin{abstract}

\end{abstract}

\section{Pracovní úkoly}
\begin{enumerate}
\item Změřte kompresí plynu objem baňky systému s kmitajícím pístkem.
\item Změřte Poissonovu konstantu metodou adiabatické expanze a současně metodou kmitajícího pístku.
\item Oba výsledky porovnejte. Výsledek metody kmitajícího pístku považujte za tabulkovou hodnotu Poissonovy konstanty.
\item Jednolitrovou láhev zvažte prázdnou.
\item Jednolitrovou láhev zvažte plnou vody.
\item Z obou výsledků určete objem lahve.
\item Objem prázdné jednotlitrové lahve určete kompresí plynu.
\item Stejným postupem změřte objem hadičky spojující byretu s měřeným prostorem. Tuto hodnotu odečtěte od výsledku podle bodu 7.

\end{enumerate}

\section{Úvod}
Poissonova konstanta $\kappa $ je poměr měrného tepla $C_{P}$ při stálém tlaku ke měrnému teplu $C_{V}$ při stálém objemu
\begin{displaymath} \kappa = \frac{C_P }{C_V }. \end{displaymath}

$\kappa $ má ve všech soustavách stejnou číselnou hodnotu. Pro všechny plyny je poměr specifických tepel $\kappa $ větší než 1 a závisí na počtu atomů v molekule plynu. Hodnotu $\kappa $ můžeme určit ze změny tlaku při adiabatickém ději, který je popsán Poissonovou rovnicí 

\begin{displaymath} pV^\kappa = konst. \end{displaymath}

kde $p$, $V$ jsou tlak a objem plynu.

Pro měření Poissonovy konstanty vzduchu jsme mimo jiné použili Clémentovu-Désormesovu metodu. Jejíž princip spočívá ve stlačení vzduchu ve velké báni, aby měl proti vnějšímu barometrickému tlaku $b$ přetlak $h$. Ten odečteme jako výškový rozdíl hladin otevřeného manometru, který je k báni připojen. Tlak vzduchu v báni je pak
\begin{displaymath} p_1 = b + h. \end{displaymath}

Příslušný objem vzduchu před adiabatickou expanzí je $V_{1}$, po adiabatické expanzi $V_{2}$. Teplotu plynu, která by měla být shodná s teplotou okolí báně rozumíme $T_{1}$. Vnitřek báně je od vnějšího vzduchu oddělen membránovým závěrem. Otevřeme-li jej dostatečně ale na velmi krátkou dobu, vyrovnají se tlaky uvnitř a vně na hodnotu barometrického tlaku $b$.

\begin{displaymath} p_2 = b. \end{displaymath}

Proběhne tedy adiabatická expanze vzduchu v báni z počátečních podmínek $V_{1}$, $T_{1}$, $p_{1}$ do stavu určeného veličinami $V_{2}$, $T_{2} \quad < T_{1}$, $p_{2}$ (kde $V_{2}$ je objem báně). Po dosti dlouhé době se teplota vzduchu v báni vyrovná na vnější teplotu $T_{1}$ a tlak přitom stoupne o přírůstek $ h'$, který změříme. Tato změna je izochorická. Celkový tlak je
\begin{displaymath} p_3 = b + h^I. \end{displaymath}

Pro první (adiabatickou) změnu stavu vzduchu dostaneme z Poissonovy rovnice za předpokladu, že vzduch můžeme považovat za ideální plyn,
\begin{displaymath} \frac{p_1 }{p_2 } = \left( {\frac{V_2 }{V_1 }} \right)^\kappa . \end{displaymath}

Změna ze stavu $V_{1}$, $T_{1}$, $p_{1}$ do stavu $V_{3}= V_{2}$, $T_{3} = T_{1}$, $p_{3}$ je izotermická a platí pro ni Boyle-Mariotteův zákon
\begin{displaymath} \frac{p_1 }{p_3 } = \frac{V_2 }{V_1 }. \end{displaymath}

Sloučíme-li předchozí rovnice dostaneme
\begin{displaymath} \kappa=\frac{log(b+h)-logb}{log(b+h)-log(b+h')} \end{displaymath}

Po odlogaritmování pak dostaneme výsledný vztah

\begin{displaymath} \kappa=\frac{h}{h-h'} \end{displaymath}

Který ovšem neuvažuje chybu způsobenou nenulovou dobou otevření ventilu. Z toho důvodu je přesnější vytvořit aparaturu pracující na analogickém principu a ale s definovanou dobou otevření ventilu.
Velice efektivním řešením tohoto problému je využít vlastností harmonických kmitů a uzávěr (píst) uvést do dynamické rovnováhy s protékajícím vzduchem. 
Pro takto zkonstruovanou aparaturu založenou na kmitajícím pístu lze odvodit vztah pro Poissonovu konstantu jako 
  
\begin{displaymath} \kappa=\frac{4mV}{T^2 pr^4} \end{displaymath}

\section{Postup měření}
\subsection{Měření dutých objemů}
Dostali jsme za úkol změřit objem jisté zhruba jednolitrové lahve.  Lahev jsme proto připojili j plynové byretě a definovanou kompresí několika desítek $cm^3$ vzduchu jsme změřili její objem. Který i s přívodní hadičkou od byrety činil 1141,78 $cm^3$. K odečtení objemu hadičky byla využita stejná metoda s tím rozdílem, že jsme odpojili flašku a hadičku zašpuntovali.. Naměřili jsme tak objem hadičky 71,16 $cm^3$ po vzájemném odečtení těchto dvou objemů je výsledný objem lahve 1,07363 litru.

Druhou metodou kterou jsme vyzkoušeli bylo zvážení prázdné lahve (0,56 kg) a po jejím naplnění vodou o téže teplotě (25 $^\circ C)$ její opětovné zvážení (1,58 kg) protože známe hustotu vody při této teplotě 995,72 $kg/m^3$. Můžeme spočítat objem lahve 1,02438 litru.     

\subsection{Měření Poissonovy konstanty plynu}
Během měření Poissonovy konstanty Clement-Desormesovo metodou jsme se snažili o maximální zkrácení času otevření ventilu, po krátkém tréninku bylo jasné, že nemá smysl dobu otevření snižovat pod mez zhruba 70ms neboť se nestačí dostatečně vyrovnat tlak v aparatuře s atmosférickým tlakem.

Uvedené výsledky jsou proto nad touto hranicí. Průměr z naměřených hodnot je $1,40 \pm 0,02$

\begin{table}[htbp]
\caption{Naměřené hodnoty Poissonovy konstanty Clement-Desormesovo metodou}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
h1 [mm] & t[ms] & h2 [mm] & t[ms] & $ \kappa $ \\ \hline
31,5 & 88 & 9,10 & 88 & 1,41 \\ \hline
31,2 & 85 & 9,00 & 85 & 1,41 \\ \hline
31,4 & 103 & 9,20 & 103 & 1,41 \\ \hline
31,2 & 130 & 8,70 & 130 & 1,39 \\ \hline
31,4 & 138 & 8,50 & 138 & 1,37 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{Clement-Desormes}
\end{table}

V celém průběhu měření jsme paralelně měřili Poissonovu konstantu i pomocí kmitajícího pístu. A tabulka \ref{Kmit} udává naměřená i vypočtená data, jako objem baňky jsme zvolili asistentem doporučený objem $0,001067 m^3$ jelikož ho nebylo možné změřit žádným z v návodu \cite{objemy} popsaných postupů. Průměrnou změřenou hodnotou je $1,29 \pm 0,03 $. Ostatní konstanty potřebné pro výpočet jsou převzaté z návodu k úloze. 

\begin{table}[htbp]
\caption{Pocty period pistu v pěti minutovém měřícím intervalu a vypočtená hodnota Poissovnovy konstanty}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
period & $\kappa$ \\ \hline
859 & 1,27 \\ \hline
862 & 1,28 \\ \hline
865 & 1,29 \\ \hline
863 & 1,29 \\ \hline
864 & 1,29 \\ \hline
865 & 1,29 \\ \hline
866 & 1,29 \\ \hline
867 & 1,30 \\ \hline
858 & 1,27 \\ \hline
862 & 1,28 \\ \hline
866 & 1,29 \\ \hline
870 & 1,31 \\ \hline
872 & 1,31 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{Kmit}
\end{table}
 
\section{Diskuse}
Z výsledků naměřených v chronologickém pořadí lze vypozorovat mírnou stabilní variaci v průběhu měření. Tento jev by mohl být způsoben buď změnou vlastností aparatury, nebo skutečně změnou složení vzduchu. Nejpravděpodobnější asi bude kombinace obou těchto jevů.  Kdy při měření metodou kmitajícího pístu může docházet k mírným změnám v průtoku vzduchu a navíc i doby po které čítač počítá kmity válečku nemusí být úplně časově ekvidistantní. Zřejmé také je, že v místnosti, která není příliš větraná se pohybuje značné množství lidí kteří souhrnně obohacují vzduch o víceatomové molekuly.. 

\section{Závěr}
Závěrem lze říci že hodnota Poissonovy konstanty vzduchu za běžných podmínek leží někde okolo hodnoty 1,35. Což je v  souladu s předpokladem, že vzduch obsahuje převážně dvou nebo více atomové plyny.  

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{objemy}{Měření dutých objemů vážením a kompresí plynu} \href{http://praktika.fjfi.cvut.cz/objemy/}{http://praktika.fjfi.cvut.cz/objemy/}
\end{thebibliography}
\end{document}