Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol,amsmath} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}

% Here it is: the code that adjusts justification and spacing around caption.
\makeatletter
% http://www.texnik.de/floats/caption.phtml
% This does spacing around caption.
\setlength{\abovecaptionskip}{2pt}   % 0.5cm as an example
\setlength{\belowcaptionskip}{2pt}   % 0.5cm as an example
% This does justification (left) of caption.
\long\def\@makecaption#1#2{%
\vskip\abovecaptionskip
\sbox\@tempboxa{#1: #2}%
\ifdim \wd\@tempboxa >\hsize
#1: #2\par
\else
\global \@minipagefalse
\hb@xt@\hsize{\box\@tempboxa\hfil}%
\fi
\vskip\belowcaptionskip}
\makeatother


\begin{document}

\pagestyle{empty} %nastavení stylu stránky
\def\tablename{\textbf {Tabulka}}

\begin {table}[tbp]
\begin {center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\multicolumn{ 2}{|c|}{\Large \bfseries FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE \huge\strut} \\ \hline
\textbf{Datum měření:} {10.5.2011} & \textbf{Jméno:} {Jakub Kákona} \\ \hline
\textbf{Pracovní skupina:} {4} & \textbf{Ročník a kroužek:} {Pa 9:30} \\ \hline
\textbf{Spolupracovníci:} {Jana Navrátilová} & \textbf{Hodnocení:}  \\ \hline 
\end{tabular}
\end {center}
\end {table}

\begin{center} \Large{Měření měrného náboje elektronu} \end{center}

\begin{abstract}
V tomto měření jsme použili dvě metody určení měrného náboje elektronu. Jednak metodou fokusace elektronového svazku v podélném magnetickém poli. A potom i měření zakřivení dráhy elektronů magnetickém poli kolmém k rychlosti elektronů.
\end{abstract}

\section{Úvod}

\subsection{Zadání}
\begin{enumerate}
\item    Sestavte úlohu pro měření $e/m$ fokusací podélným magnetickým polem
a proveďte měření pro čtyři různé hodnoty urychlovacího napětí $U$ v rozmezí 950
- 1250 V. Pomocné napětí volte 140 V.
\item Změřte měrný náboj elektronu $e/m$ ze zakřivení dráhy elektronů v kolmém
magnetickém poli. Měření proveďte pro pět dvojic urychlovacího napětí a
magnetizačního proudu. Vypočtěte příslušné hodnoty měrného náboje a z nich
určete střední hodnotu.

Doporučené hodnoty $U$ a $I$ jsou: 120 V/1,5 A; 140 V/1,5 A; 160V/2A; 180
V/2A; 200 V/2A.
\item Několikrát pootočte katodovou trubicí sem a tam vůči magnetickému poli a
sledujte změnu trajektorie proudu elektronů. Uvidíte, že z kruhového tvaru
$\left( \vec {v}\bot \vec {B}\right) $ přejde na šroubovitý  $\left( \vec
{v}\cdot \vec {B} \neq 0\right) $
a nakonec v přímku ($\vec{v} \,\| \, \vec {B})$. Nakreslete pozorované
trajektorie do protokolu. Použijte napětí $U = 150 \mathrm{V}$ a proud $I = 1,5
\mathrm{A}$ .
\end{enumerate}

\section{Pomůcky}
Zdroj napětí 300 V a 2 kV, zdroj proudu, katodová trubice firmy Leybold-Heraeus,
Helmholtzovy cívky, ampérmetr, voltmetr, obrazovka s cívkou.

\section{Základní pojmy a vztahy}
Měrný náboj elektronu je poměr mezi nábojem elektronu a jeho hmotností. Je tedy rozměru 
$[e/m] = C\,kg^{-1}$. Obě metody, které k měření použijeme, jsou založeny na
vychylování nabité částice pomocí magnetického pole Lorentzovou silou.

\begin{equation}
 \vec{F}=q\left( \vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} \right) \label{e1}
\end{equation}

\subsubsection{Měření \textit{e/m }v podélném magnetickém poli}
Popíšeme nyní chování svazku elektronů v rovnoběžném poli. Je vhodné si
rozdělit rychlost $\vec{v}$ letícího náboje na $\vec{v_{\perp}}+ \vec{v_{\|}}$;
 složku kolmou, resp. rovnoběžnou vnějšímu magnetickému poli.
Magnetická část Lorentzovy síly pak má tvar

\begin{equation}
 \vec{F}=e\cdot\left( \vec{v_{\perp}}\times \vec{B}\right).
\end{equation}

$\vec{F}$ je pak kolmá k $\vec{v}, \vec{v_\perp}$ i k $\vec{B}$.
A velikosti obou složek rychlosti zůstávají konstantní. Elektron se pohybuje po
spirále poloměrem $r$ s konstantní dobou \uv{oběhu}

\begin{displaymath} T = \frac{2 \pi r}{v_\bot } = \frac{2 \pi }{ \frac{e}{m} B},
\end{displaymath} která nezávisí na poloměru spirály.

Svazek elektronů není příliš divergentní a proto můžeme aproximovat
$v_{\vert\vert } =v$ Díky tomu se mírně divergentní svazek ve vzdálenosti $l$
od anody opět z fokusuje. 

Využitím toho, že

\begin{displaymath} {v} = \sqrt {\frac{2 e U}{m}},\end{displaymath}

můžeme psát vztah pro fokální vzdálenost

\begin{displaymath} l^2 = \frac{8 \pi ^2 U}{ B^2 \frac{e}{m}}, \end{displaymath}

ze kterého lze vyjádřit

\begin{displaymath} \frac{e}{m} = \frac{8 \pi ^2 U}{ B^2 l^2}, \end{displaymath}

kde $B$ je magnetické pole cívky, pro něž platí

\begin{displaymath} B=\mu _0\frac{N}{l'}I. \end{displaymath}

$I$ je proud v ampérech tekoucí cívkou, $l'$ =
0,381 m je délka cívky a $N$ = 174 je počet závitů cívky.
 
\subsubsection{Měření \textit{e/m} v příčném magnetickém poli}
Jiné uspořádání dostaneme, bude-li převládající složka rychlosti kolmá k
magnetickému poli. Zajistíme-li vhodným uspořádáním $v_{\|}=0$, budou se
elektrony pohybovat po kružnici o poloměru $r$. Elektrony vyletují otvorem
v anodě; jejich dráha se zviditelní díky ionizaci velmi zředěného plynu.

Pro hledaný měrný náboj bude platit:

\begin{equation} \frac{e}{m}=\frac{2 U}{r^2 B^2}, \label{ds} \end{equation} 

kde $U$ je urychlovací napětí.

Magnetické pole je vytvářeno Helmholtzovými cívkami, pro něž platí výrazy

\begin{displaymath} B = \mu _0 \frac{N R^2}{\left( {R^2 + a^2} \right)^{3/2}}I =
k I, \end{displaymath}

\begin{displaymath} k = \mu _0 \frac{N R^2}{\left( {R^2 + a^2} \right)^{3/2}} =
0,781\cdot 10^{-3} T\cdot A^{-1}. \end{displaymath}


\section{Výsledky}
\subsubsection{Měření \textit{e/m} v podélném magnetickém poli}
Vzdálenost anody od fluorescenčního stínítka je dána konstrukcí přístroje $l$ = 0,249
m.
Pomocné napětí na $A_{1}$ jsme volili 140 V. Výsledné hodnoty měrného
náboje elektronu pro různé volby urychlovacího napětí jsou uvedeny v tabulce
\ref{pod}.


\begin{table}[H]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
U [V] & I [A] & e/m [C/kg] \\ \hline
950     &4,59 & 1,74$\cdot 10^{11}$ \\ \hline
1250&   5,03 &  1,91$\cdot 10^{11}$ \\ \hline
1100&   4,77 &  1,87$\cdot 10^{11}$ \\ \hline
1000&   4,60 &  1,83$\cdot 10^{11}$ \\ \hline
1200&   4,91 &  1,93$\cdot 10^{11}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Měření měrného náboje elektronu v podélném magnetickém poli.}
\label{pod}
\end{table}
Nakonec jsme měrný náboj elektronu v podélném magnetickém poli stanovili na
\begin{equation}
 e/m=(1,86$\pm$0.05) \cdot 10^{11} \jed{C\,kg^{-1}}
\end{equation}


\subsubsection{Měření \textit{e/m} v příčném magnetickém poli}
Měření jsme provedli pro 5 dvojic urychlovacího napětí $U$ a magnetizačního
proudu $I$ podle doporučení ze zadání úlohy. Příslušné hodnoty poloměrů $r$ kruhové dráhy elektronů a z nich
vypočtené měrné náboje jsou v tabulce \ref{kol}.
\begin{table}[H]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
U [V] & I [A] & r [mm] & e/m [C\,kg^{-1}] \\ \hline
120 & 1,5&      29,75&  1,98$\cdot 10^{11}$ \\ \hline
140     & 1,5&  30,25&  2,23$\cdot 10^{11}$ \\ \hline
160     & 2&    25,25&  2,06$\cdot 10^{11}$ \\ \hline
180     & 2&    26,5&   2,10$\cdot 10^{11}$ \\ \hline
200     & 2&    29&     1,95$\cdot 10^{11}$ \\ \hline

\end{tabular}
\end{center}
\caption{Měření měrného náboje elektronu v příčném magnetickém poli.}
\label{kol}
\end{table}

Celkově jsme získali velikost měrného
náboje elektronu měřenou v příčném magnetickém poli.
\begin{equation}
 e/m = (2.06 \pm 0.05) \cdot 10^{11} C\,kg^{-1}.
\end{equation}

Tato hodnota však neodpovídá tabulkové hodnotě
$1.76 \,\cdot 10^{11} \, \mathrm{C / kg}$ 

Předpokládáme, že systematická chyba vzniká deformací pole Helmholtzových cívek.

Dále jsme pozorovali tvar trajektorie elektronů vyletujících z elektronového děla, pro různá pootočení baňky
vůči magnetickému poli. Z počátečního kruhového tvaru přešla trajektorie
na šroubovitou ( $\vec {v} {\bot }\vec {B})$ a nakonec v přímku (
$\vec {v}\vert \vert \vec {B})$.

\section{Diskuse}
Námi změřený údaj $e/m= (1,86 \pm 0.05)\cdot 10^{11} C\,kg^{-1}$  v podélném magnetickém poli se více blíží tabulkové hodnotě 

\begin{equation}
 e/m_{tab} = 1.76\cdot 10^{11} \jed{C\,kg^{-1}}
\end{equation}

Než metoda měření v příčném magnetickém poli. Je to pravděpodobně způsobeno větší kompaktností aparatury a tudíž i menší deformací magnetického pole okolními předměty. Avšak i přes to na stínítku aparatury vzniká ještě i parazitní obraz, který značně komplikuje měření. Neboť každý z obrazů se fokusuje při jiné velikosti urychlovacího napětí.

U měření v příčném poli je zase komplikací fakt, že stopa elektronové dráhy nemá příliš velký kontrast a je tedy problematické určení jejího přesného středu. Navíc skleněná baňka přístroje vytváří čočku, která mírně zkresluje obraz na straně měřidel. 

\section{Závěr}
Podařilo se nám dvěma způsoby změřit měrný náboj elektronu s nejlepším výsledkem, $e/m=(1,86 \pm 0,05)
\cdot 10^{11} \jed{C\,kg^{-1}}$ který se uspokojivě přibližuje tabulkové hodnotě  $e/m_{tab} = 1.76\cdot 10^{11} \jed{C\,kg^{-1}}$


\begin{thebibliography}{10}      %REFERENCE
\bibitem{3} {http://praktika.fjfi.cvut.cz/edm}{ -Zadání úlohy}
\end{thebibliography}

\end{document}