Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}

% Here it is: the code that adjusts justification and spacing around caption.
\makeatletter
% http://www.texnik.de/floats/caption.phtml
% This does spacing around caption.
\setlength{\abovecaptionskip}{2pt}   % 0.5cm as an example
\setlength{\belowcaptionskip}{2pt}   % 0.5cm as an example
% This does justification (left) of caption.
\long\def\@makecaption#1#2{%
\vskip\abovecaptionskip
\sbox\@tempboxa{#1: #2}%
\ifdim \wd\@tempboxa >\hsize
#1: #2\par
\else
\global \@minipagefalse
\hb@xt@\hsize{\box\@tempboxa\hfil}%
\fi
\vskip\belowcaptionskip}
\makeatother


\begin{document}

\pagestyle{empty} %nastavení stylu stránky
\def\tablename{\textbf {Tabulka}}

\pagestyle{empty} %nastavení stylu stránky
\def\tablename{\textbf {Tabulka}}

\begin {table}[tbp]
\begin {center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\multicolumn{ 2}{|c|}{\Large \bfseries FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE \huge\strut} \\ \hline
\textbf{Datum měření:} {16.4.2011} & \textbf{Jméno:} {Jakub Kákona} \\ \hline
\textbf{Pracovní skupina:} {2} & \textbf{Hodina:} {Po 7:30} \\ \hline
\textbf{Spolupracovníci: - } {} & \textbf{Hodnocení:}  \\ \hline 
\end{tabular}
\end {center}
\end {table}

\begin{center} \Large{Úloha 10: Interference a ohyb světla} \end{center}

\begin{abstract}
Cílem úlohy je vyzkoušet metody měření rozměrů kruhových otvorů a štěrbin pomocí difrakce optického záření a výsledky porovnat s klasickými metodami měření rozměrů. 
\end{abstract}

\section{Úvod}
\subsection{Zadání}
\begin{enumerate}
\item Bonus: spočítejte hodnotu konstanty $C$ u kruhového otvoru pro 4. a 5. tmavý kroužek.

\item Rozšiřte svazek laseru pomocí dvou spojek (+50 a +200).

\item Změřte průměr tří nejmenších kruhových otvorů pomocí Fraunhoferova ohybu světla z He-Ne Laseru vlnové délky 594 nm a pomocí měřícího mikroskopu. Odhadněte, s jakou chybou jste schopni měřit šířku štěrbiny mikroskopem. Poznamenejte si odhad chyby měření délky, chyby měření optické dráhy a průmětu tmavých proužků. Proveďte řádné statistické zpracování (tj. včetně propagace chyb) a výsledky z mikroskopu a interference srovnejte. Pro jaký průměr kruhového otvoru je přesnější měření interferencí a pro jaký přímo mikroskopem?
 
\item Změřte 10 šířek štěrbiny (šířka nastavitelná šroubem) pomocí Fraunhoferova ohybu světla z He-Ne Laseru vlnové délky 594 nm a pomocí indikátorových hodinek, které se dotýkají šroubu. Proveďte řádné statistické zpracování (tj. včetně propagace chyb) a výsledky z indikátorových hodinek a interference srovnejte. Pro jaké šířky štěrbiny je výhodnější měření interferencí a pro jaké indikátorovými hodinkami?

\item Změřte pomocí He-Ne laseru 543 nm (zelený laser) mřížkovou konstantu optické mřížky a srovnejte s hodnotou uvedenou na mřížce.

\item Pomocí He-Ne laseru 597 nm, dvou rovinných zrcadel a děliče svazku (Abbeho kostka) sestavte Michelsonův interferometr a změřte vlnovou délku světla laseru.
\end{enumerate}

\section{Experimentální uspořádání a metody}

\subsection{Pomůcky}

Železná deska s magnetickými stojánky, Polovodičový diodový laser (633 nm, <5 mW), 2 zrcadla, 1 dělič svazku (Abbeho kostka), laboratorní zvedák, optická lavice s jezdci, 2 spojné čočky (+50, +200), rozptylka (-50), sada kruhových otvorů, štěrbina s nastavitelnou šířkou, držák na mřížku, opt. mřížka 600 vrypů na mm, stínítko na zdi, pásmo (5 m), měřítko (1 m), měřící mikroskop.

\subsection{Teoretický úvod}

Při odvozování vzorce ohybu na kruhovém otvoru vycházíme z Babinetova principu, který nám říká, že štěrbinu si můžeme nahradit stejně velkou plochou s nekonečně mnoha zdroji, jejichž vlny budou interferovat. Tedy pro kruhový otvor můžeme sčítat příspěvky

\begin{equation} \hbox{d}E = E_0 \frac{2\sqrt{R^2-s^2}}{\pi R^2}\hbox{d}s, \end{equation}

z toho se lze dostat k eliptickému integrálu

\begin{equation} J(C)=\int_{-1}^1\sqrt{1-u^2}\cos(2\pi C u)\hbox{d}u, \end{equation}

 Odsud je potřeba numericky získat konstantu C, ta se pak využije do finálního vztahu pro interferenční minima

\begin{equation} sin \varphi_i = C_i \frac{\lambda}{R}.\end{equation} 

K odvozování vztahu se ohybu na štěrbině se použije opět Babinetův princip a výsledný vztah pro interferenční minima je

\begin{equation} \sin\theta=\frac{m\lambda}{D}\qquad m=1,2,3,\dots. \end{equation}

Pro difrakci na mřížce se z Babinetova principu dá odvodit vztah pro hlavní interferenční maxima

\begin{equation} \lim_{\sin\vartheta\to\frac{m\lambda}{d}} \frac{I}{I_0}=N^2,    v~bodech \quad \sin\vartheta_m=\frac{2\pi m}{kd}=\frac{m\lambda}{d}, kde \quad m=0,1,2,\dots\end{equation} 


\section{Výsledky a postup měření}

Z důvodu vytvoření lepších podmínek pro difrakci na otvorech bylo třeba  rozšířit svazek vycházející z laseru, k tomu jsme využili kolimátor sestavený ze dvou spojných čoček (+50 a +200) jejich konfigurace je identická s Keplerovým dalekohledem a "okulárová čočka je umístěna" blíže v výstupní apertuře laseru. 

Zaostření soustavy na nekonečno bylo provedeno nastavením vzdálenosti čoček, tak aby odpovídala součtu jejich nominálních ohniskových vzdáleností 25cm. Na rozdíl od zadání byl v úloze využíván pouze polovodičový laser 633nm.  

\subsection{Měření průměru kruhových otvorů}
Do rozšířeného gaussovského svazku, který byl v celém rozsahu měření přibližně kolineární a dosahoval šířky cca 5mm jsem v držáku umístili karuselovou clonu s otvory  nominálních průměrů 0,5mm, 1mm a 2mm. Po umístění otvorů jsme vždy na stínítku odečítali rozměry interferenčních obrazců a zapisovali je.

\begin{table}[htbp]
\caption{Měření průměru otvoru 2mm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
 &  & naměřené & vypočtené \\ \hline
Řád & R [mm] & D  [mm] &  D [mm] \\ \hline
1 & 1.1 & 2,250 & 2.67 \\ \hline
2 & 2.7 & 2,000 & 1.99 \\ \hline
3 & 3.5 & 2,120 & 3.01 \\ \hline
4 & 4.8 & 2,120 & 2.88 \\ \hline
5 & 5.7 & 2,000 & 2.99 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{}
\end{table}

Pro otvor 2mm nám z měření na měřícím mikroskopu vyšel průměr (2,098 $\pm$ 0,093) mm  a pro měření z difrakčních obrazců (2.71 $\pm$ 0.19) mm. 
 
\begin{table}[htbp]
\caption{Měření průměru otvoru 1mm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|r|r|r|r|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{naměřené} & \multicolumn{1}{c|}{vypočtené} \\ \hline
\multicolumn{1}{|c|}{Řád} & \multicolumn{1}{c|}{R [mm]} & \multicolumn{1}{c|}{D  [mm]} & \multicolumn{1}{c|}{ D [mm]} \\ \hline
1 & 2.4 & 1,250 & 1.23 \\ \hline
2 & 5.2 & 1,120 & 1.04 \\ \hline
3 & 7.6 & 1,250 & 1.03 \\ \hline
4 & 10.1 & 1,370 & 1.01 \\ \hline
5 & 12.4 & 1,250 & 1.02 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{}
\end{table}

Pro otvor 1mm nám z měření na měřícím mikroskopu vyšel průměr (1,248 $\pm$ 0,079) mm  a pro měření z difrakčních obrazců (1.06 $\pm$ 0.08) mm. 

\begin{table}[htbp]
\caption{Měření průměru otvoru 0,5mm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|r|r|r|r|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{naměřené} & \multicolumn{1}{c|}{vypočtené} \\ \hline
\multicolumn{1}{|c|}{Řád} & \multicolumn{1}{c|}{R [mm]} & \multicolumn{1}{c|}{D  [mm]} & \multicolumn{1}{c|}{ D [mm]} \\ \hline
1 & 6 & 0,750 & 0.49 \\ \hline
2 & 11.1 & 0,670 & 0.49 \\ \hline
3 & 16.7 & 0,750 & 0.47 \\ \hline
4 & 22.1 & 0,750 & 0.46 \\ \hline
5 & 27.9 & 0,870 & 0.45 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{}
\end{table}

Pro otvor 0,5mm nám z měření na měřícím mikroskopu vyšel průměr (0,758 $\pm$ 0,064) mm  a pro měření z difrakčních obrazců (0.47 $\pm$ 0.01) mm. 



\subsection{Měření šířek šterbin}

Obdobně jako v předchozím bodě jsme postupovali i zde, ovšem nyní jsme měřili štěrbinu s proměnlivou šířkou nastavitelnou šroubem a měřenou indikátorovými hodinkami. Naměřená data byla s ohledem na minimalizaci propagace nejistot měření zpracována postupnou metodou. 

\begin{table}[htbp]
\caption{Měřená difrakční minima pro šířku štěrbiny 1.5mm}
\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Číslo měření} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{I} [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{postupnou} [mm]$} \\ \hline
1 & 6.0 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
2 & 11.0 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
3 & 15.0 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
4 & 19.5 & 2.25 \\ \hline
5 & 24.0 & 2.17 \\ \hline
6 & 28.0 & 2.17 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Průměr} & \multicolumn{1}{l|}{} & 2.19 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Směrodatná odchylka} & \multicolumn{1}{l|}{} & 0.04 \\ \hline
\end{tabular}
\label{}
\end{table}

\begin{table}[htbp]
\caption{Měřená difrakční minima pro šířku štěrbiny 1.3mm}
\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Číslo měření} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{I} [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{postupnou} [mm]$} \\ \hline
1 & 7.8 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
2 & 12.2 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
3 & 17.7 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
4 & 22.5 & 2.45 \\ \hline
5 & 27.6 & 2.57 \\ \hline
6 & 32.6 & 2.48 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Průměr} & \multicolumn{1}{l|}{} & 2.50 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Směrodatná odchylka} & \multicolumn{1}{l|}{} & 0.05 \\ \hline
\end{tabular}
\label{}
\end{table}

\begin{table}[htbp]
\caption{Měřená difrakční minima pro šířku štěrbiny 1.1mm}
\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Číslo měření} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{I} [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{postupnou} [mm]$} \\ \hline
1 & 8.9 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
2 & 16.3 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
3 & 20.7 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
4 & 27.0 & 3.02 \\ \hline
5 & 33.2 & 2.82 \\ \hline
6 & 39.4 & 3.12 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Průměr} & \multicolumn{1}{l|}{} & 2.98 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Směrodatná odchylka} & \multicolumn{1}{l|}{} & 0.12 \\ \hline
\end{tabular}
\label{}
\end{table}

\begin{table}[htbp]
\caption{Měřená difrakční minima pro šířku štěrbiny 0.9mm}
\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Číslo měření} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{I} [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{postupnou} [mm]$} \\ \hline
1 & 11.7 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
2 & 18.2 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
3 & 24.6 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
4 & 32.9 & 3.53 \\ \hline
5 & 40.1 & 3.65 \\ \hline
6 & 47.6 & 3.83 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Průměr} & \multicolumn{1}{l|}{} & 3.67 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Směrodatná odchylka} & \multicolumn{1}{l|}{} & 0.12 \\ \hline
\end{tabular}
\label{}
\end{table}

\begin{table}[htbp]
\caption{Měřená difrakční minima pro šířku štěrbiny 0.7mm}
\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Číslo měření} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{I} [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{postupnou} [mm]$} \\ \hline
1 & 14.4 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
2 & 23.7 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
3 & 33.7 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
4 & 43.3 & 4.82 \\ \hline
5 & 53.0 & 4.88 \\ \hline
6 & 63.0 & 4.88 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Průměr} & \multicolumn{1}{l|}{} & 4.86 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Směrodatná odchylka} & \multicolumn{1}{l|}{} & 0.03 \\ \hline
\end{tabular}
\label{}
\end{table}

\begin{table}[htbp]
\caption{$D_I$ vypočtené hodnoty štěrbin, $D_H$ změřené indikátorovými hodinkymi, +chyby}
\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Štěrbina} & \multicolumn{1}{l|}{$D_I [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{Směrodatná odchylka$[mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_H [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$\pm Chyba_H [mm]$} \\ \hline
1.5 & 1.48 & 0.03 & 1.5 & 0.1 \\ \hline
1.3 & 1.30 & 0.03 & 1.3 & 0.1 \\ \hline
1.1 & 1.09 & 0.05 & 1.1 & 0.1 \\ \hline
0.9 & 0.89 & 0.03 & 0.9 & 0.1 \\ \hline
0.7 & 0.67 & 0.01 & 0.7 & 0.1 \\ \hline
\end{tabular}
\label{}
\end{table}



\subsection{Mřížková konstanta}

Při tomto měření jsme laser sundali z laboratorního zvedáku a položili na bok na stůl, tak aby svazek lasetu mohl procházet difrakční mřížkou umístěnou v držáku položeném na stole. Průchodem svazku skrz mřížku vznikl na stěně  jednorozměrný bodový difrakční obrazec (mřížka tedy obsahovala pouze svislé vrypy).  
Mřížkovou konstantu jsme pak určili tak, že jsme změřili vzdálenost stěny od mřížky a vzdálenost 1. difrakčních  maxim na stěně vzhledem k difrakčnímu maximu 0. řádu.  

\begin{table}[htbp]
\caption{Měření mřížkové konstanty - X je pozice maxim vzhledem k 0. řádu}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Rád & X [cm] & $D_{vyp}$ [mm] \\ \hline
-1. & 55,9 & 0,00165 \\ \hline
1. & 56 & 0,00165 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{difrakce_mrizka}
\end{table}

Z naměřených hodnot vychází hodnota mřížkové konstanty $(1,65 \pm 0,05) \times 10^{-6}$m, což by odpovídalo 605 čarám na mm. (Na mřížce bylo uvedeno 600/mm). 

\subsection{Michelsonův interferometr}

Dle známého schématu jsme sestavili Michelsonův interferometr a výstupní svazek rozšířili přes rozptylku, poté jsme měřili interferenční přechody v závislosti na přibližování nebo oddalování jednoho zrcadla posunovaného mikrometrickým šroubem.

\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\caption{Naměřené a vypočtené hodnoty vlnových délek laseru pomocí Michelsonova interferometru}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Posuv zrcadla [um] & $\lambda [nm]$ \\ \hline
20 & 666 \\ \hline
30 & 285 \\ \hline
30 & 545 \\ \hline
\end{tabular}
\label{}
\end{center}
\end{table}

Je vidět, že při měření pravděpodobně vznikla hrubá chyba u druhého řádku, kde je zřejmě špatně spočítán počet prošlých interferenčních proužků (Bylo obtížné definovaně otočit posuvným šroubem a zároveň počítat interferenční proužky. Pokud tento řádek neuvažujeme, tak změřená vlnová délka laseru vyjde  $(606 \pm 86)$ nm.

\section{Diskuse}

\begin{itemize}
\item Pomocí numerických metod, se podařilo spočítat další dvě konstanty, kdy nabývá daný eliptický integrál nuly. Všech pět konstant tedy číselně vychází $C_1=0.610$, $C_2=1.117$, $C_3=1.619$, $C_4=2.121$, $C_5=2.622$.

\item Laserový svazek jsme rozšířili pomocí dvou spojek $+200$ a $+50$ použitých jako kolimátor, tak aby divergence svazku byla co nejmenší. 

\item Změřili jsme průměr tří nejmenších kruhových otvorů z karuselu, jak pomocí ohybu světla tak pomocí mikroskopu. Naměřené a vypočtené hodnoty jsou uvedeny v tabulkách 1, 2 a 3. Popřípadě v jejich popisu.

\item Změřili jsme šířky 5ti štěrbin, ohybem světla a indikátorovými hodinkami. Naměřené a postupnou metodou vypočtené hodnoty  jsou v tabulkách 4-8, celkové vyhodnocení v tabulce 9. Měření ohybem světla předpokládáme zvláště výhodné při malých velikostech otvorů, naopak při větších otvorech začíná být výhodnější jiná metoda.
Avšak velikost této hranice je relativní, neboť měření je závislé na použité vlnové délce, takže i průměry větších otvorů by při použití vhodného laseru pravděpodobně bylo možné měřit difrakční metodou.

\item Pomocí polovodičového laseru 633nm jsme změřili mřížkovou konstantu. Hodnoty jsou uvedeny v tabulce 10. Počet vrypů na 1mm jsme určili $605$ oproti hodnotě na mřížce $600$.

\item Sestrojili jsme dle návodu Michelsonův interferometr a posouváním jednoho ze zrcadel a pozorováním inteferenčních obrazců naměřili vlnovou délku daného laseru $594nm$. 

\end{itemize}

\section{Závěr}
Při měření jsme si prakticky vyzkoušeli zákon odrazu, lomu, ohybu a interference viditelného koherentního světla. Došli jsme k závěru, že ohybem viditelného se dají velmi efektivně měřit otvory menší než cca 1mm, ale vetší je lepší měřit jinou metodou. 

\begin{thebibliography}{10}      %REFERENCE
%\bibitem{3} doc. Ing. Ivan Štoll, CSc., \emph{Mechanika}, Vydavatelství ČVUT Praha, 1994
%\bibitem{3} $<$http://fyzika.fjfi.cvut.cz$>$

\bibitem{3} Petržílka: Fyzikální optika, Přírodovědecké nakladatelství, Praha, 1952.
\bibitem{3} Friš, Timoreva: Kurs fyziky, díl III, NČSAV, Praha, 1954.
\bibitem{3} Krauford:Volny, Nauka, 1974; ruský překlad 3. dílu Berkleyského kurzu fyziky Crawford F. S.: Waves.

\end{thebibliography}

\end{document}