Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}

\begin{document}

\section*{Řešení 11. zadané úlohy          -        Jakub Kákona}

\begin{enumerate}
\item

Obecný stavový popis dvou paralelně spojených systémů má následující tvar:


\begin{eqnarray} 
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
A_1 & 0 \\
0 & A_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
B_1 \\
B_2 \\
\end{array}
\right]u\\
y =&
\left[ \begin{array}{cc}
C_1 & C_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
D_1 + D_2 \\
\end{array}
\right]u
\end{eqnarray}

Dosadíme do něj matice zadaných systémů $S_1$
 a $S_2$. A stavový popis přejde na tento tvar:

\begin{eqnarray} 
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
2 \\
\end{array}
\right]u\\
y =&
\left[ \begin{array}{cc}
-2 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+u
\end{eqnarray}
 
 
Sestavíme matici pozorovatelnosti:    
 
\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
C A\\
\end{array}
\right]= 
\left[ \begin{array}{cc}
-2 & 1 \\
2 & -1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 
 
Hodnost této matice je pouze 1. Celkový systém proto není úplně pozorovatelný. 

Pro ověření řiditelnosti využijeme matici řiditelnosti:

\begin{equation}
C = \left[ \begin{array}{cc}
B & AB \\
\end{array}
\right]= 
\left[ \begin{array}{cc}
1 & -1 \\
2 & -2 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Hodnost této matice je 1 a celkový systém proto není úplně řiditelný.  

\item 

\begin{enumerate}
\item 

Pro řešení sériového spojení systémů $S_1$ a $S_2$ využijeme obecný stavový popis dvou sériově zapojených systémů následujícího tvaru:

\begin{eqnarray} 
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
A_1 & 0 \\
B_2 C_1 & A_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{cc}
B_1 & 0 \\
B_2 D_1 & B_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
u_1 \\
r_2 \\
\end{array}
\right]
\\
\left[ \begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
C_1 & 0 \\
D_2 C_1 & C_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{cc}
D_1 & 0 \\
D_2 D_1 & D_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
u_1 \\
r_2 \\
\end{array}
\right]
\end{eqnarray}

Pokud budeme uvažovat pouze vstup $u_1$ a výstup $y_2$, tak dostaneme následující stavový popis sériového spojení systémů.   


\begin{eqnarray} 
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
-1 & -1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\end{array}
\right]u_1\\
y =&
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+0
\end{eqnarray}

Pozorovatelnost celkového systému:

\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
C A\\
\end{array}
\right]= 
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & -1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 
 
Hodnost matice pozorovatelnosti je 1 a celkový systém proto není úplně pozorovatelný.


Ověříme řiditelnost systému 

\begin{equation}
C = \left[ \begin{array}{cc}
B & AB \\
\end{array}
\right]= 
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Hodnost matice řiditelnosti je 2 a systém je úplně řiditelný

Celkový přenos systému ze vstupu $u_1$ na výstup $y_2$ je 

\begin{equation}
H(s)= C (sI - A)^{-1} B + D =
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
\end{array}
\right] 
\left[ \begin{array}{cc}
s + 1 & 0 \\
-1 & s \\
\end{array}
\right]^{-1} 
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right]
\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s+1}
\end{equation}

\item sériové zapojení systémů v opačném pořadí

Opět dosadíme do obecného stavového popisu sériově zapojeného systému a dostaneme následující tvar:

\begin{eqnarray} 
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
\end{array}
\right]u_1\\
y =&
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+0
\end{eqnarray}

Pozorovatelnost celkového systému:

\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
C A\\
\end{array}
\right]= 
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 
 
Hodnost matice pozorovatelnosti je 2 a celkový systém proto je úplně pozorovatelný.


Ověříme řiditelnost systému 

\begin{equation}
C = \left[ \begin{array}{cc}
B & AB \\
\end{array}
\right]= 
\left[ \begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
1 & -1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Hodnost matice řiditelnosti je 1 a systém proto není úplně řiditelný.

Celkový přenos sériového spojené systému je

\begin{equation}
H(s)= C (sI - A)^{-1} B + D =
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\end{array}
\right] 
\left[ \begin{array}{cc}
s & 0 \\
1 & s+1 \\
\end{array}
\right] 
\left[ \begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
\end{array}
\right]
\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s+1}
\end{equation}

\end{enumerate}

\item

\begin{enumerate}

\item
\begin{eqnarray} 
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
A_1 + B_1 M_2 D_2 C_1 & B_1 M_2 C_2 \\
B_2 M_1 C_1& A_2 + B_2 M_1 D_1 C_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{cc}
B_1 M_2 & B_1  M_2 D_2 \\
B_2 M_1 D_1 & B_2 M_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
r_1 \\
r_2 \\
\end{array}
\right]
\\
\left[ \begin{array}{c}
y_1 \\
y_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
M_1 C_1 & M_1 D_1 C_2 \\
M_2 D_2 C_1 & M_2 C_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{cc}
M_1 D_1 & M_1 D_1 D_2 \\
M_2 D_2 D_1 & M_2 D_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
r_1 \\
r_2 \\
\end{array}
\right]
\end{eqnarray}

Kde $M_1=(I - D_1 D_2)^{-1}$, $M_2=(I - D_2 D_1)^{-1}$

Pokud pak uvažujeme pouze vstup $r_1$ a výstup $y_1$, dostaneme výsledný stavový popis sériově zapojeného systému. 

\begin{eqnarray} 
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
-1 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
\end{array}
\right]r_1\\
y =&
\left[ \begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+r_1
\end{eqnarray}

\item

Stabilitu systému určíme z vlastních čísel matice A.  
\begin{equation}
\det(s I - A) = 
\det \left( 
\left[ \begin{array}{cc}
s +1 & -1 \\
1 & s -1 \\
\end{array} \right] \right)
= s^2 - s + s - 1 + 1 = s ^2
\end{equation}

Systém má dva nulové póly, které způsobují jeho vnitřní nestabilitu. 

\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
C A\\
\end{array}
\right]= 
\left[ \begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 
 
Hodnost matice pozorovatelnosti je 1 a celkový systém proto není pozorovatelný.


Ověříme řiditelnost systému 

\begin{equation}
C = \left[ \begin{array}{cc}
B & AB \\
\end{array}
\right]= 
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Hodnost matice je pouze  1 a systém proto není řiditelný.

\item

Přenos systému ze vstupu $r_1$ na výstup $y_1$ je

\begin{equation}
H(s)= C (sI - A)^{-1} B + D =
\left[ \begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
\end{array}
\right] 
\left[ \begin{array}{cc}
\frac{s-1}{s^2} & \frac{1}{s^2} \\
\frac{-1}{s^2} & \frac{s+1}{s^2} \\
\end{array}
\right] 
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
\end{array}
\right]
+ 1 = 1
\end{equation}

\end{enumerate}














\end{enumerate}

\end{document}