Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}

\begin{document}

\section*{Řešení 2. zadané úlohy           -        Jakub Kákona}

\begin{enumerate}
\item Výpočet pomocí Jordanova kanonického tvaru

Víme, že vlastní čísla matice A jsou kořeny charakteristického polynomu

$det (\lambda I - A) = (\lambda - 1) (\lambda - 2)(\lambda - 2)$

Vlastní čísla potom jsou $\lambda _1 = 1, \lambda _2 = 2, \lambda _3 = 2$ .

Dvojka je algebraicky násobným kořenem, proto může mít i geometrickou násobnost větší než 1. 

$C \lambda _23 = dim A - h(\lambda I - A) = 3 -h 
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
= 2
\Rightarrow
J =  
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{array}
\right]
 $

Geometrická násobnost je proto také 2.  
 
Výpočet vlastních vektorů náležících vlastním číslům.

$(\lambda _1 I - A) v _1 = 0
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & -4 & -10 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{array}
\right] v_1
= 0
\Rightarrow
v_1 =  
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right]
 $


$(\lambda _2 I - A) v _2 = 0
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right] v_2
= 0
\Rightarrow
v_2 =  
\left[ \begin{array}{c}
10 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right]
 $


$(\lambda _3 I - A) v _3 = 0
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right] v_3
= 0
\Rightarrow
v_3 =  
\left[ \begin{array}{c}
4 \\
1 \\
0 \\
\end{array}
\right]
 $

Transformační matice vytvořená z vlastních vektorů 


$P = \left[v_1, v_2, v_3 \right]
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 10 & 4 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]
 $
 
Její inverze je 

$P^{-1} = \left[v_1, v_2, v_3 \right]
= \left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]
$

$e^{At} = P e^{At} P^{-1}
= \left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & 10 & 4 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]
\left[ 
\begin{array}{ccc}
e^{t} & 0 & 0 \\
0 & e^{2t} & 0 \\
0 & 0 & e^{2t} \\
\end{array}
\right]
\left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]
= \\
=
\left[ 
\begin{array}{ccc}
e^{t} & -4e^{t}+4e^{2t} & -10e^{t}+10e^{2t} \\
0 & e^{2t} & 0 \\
0 & 0 & e^{2t} \\
\end{array}
\right]
=
\left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right] 
e^{t} +
\left[ 
\begin{array}{ccc}
0 & 4 & -10 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right] 
e^{2t}
$

Metoda s použitím Laplaceovy transformace:

$e^{At} = L^{-1}{(sI - A)^{-1}}$


$(sI - A)^{-1} =
\left[ \begin{array}{ccc}
s-1 & -4 & -10 \\
0 & s-2 & 0 \\
0 & 0 & s-2 \\
\end{array}
\right]^{-1}
= \frac{1}{(s-1)(s-2)^2}
\left[ \begin{array}{ccc}
(s-2)^2 & -4(s-2) & -10(s-2) \\
0 & (s-1)(s-2) & 0 \\
0 & 0 & (s-1)^2 \\
\end{array}
\right]^{-1}=\\
=
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & 10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]^{-1}
\frac{1}{s-1}
+
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 4 & -10 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]^{-1}
\frac{1}{s-2}
$

Z toho pak 

$
e^{At} = L^{-1} \left\{
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -4 & 10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]^{-1}
\frac{1}{s-1}
+
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 4 & -10 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]^{-1}
\frac{1}{s-2}
\right\}
=\\
=
\left[ 
\begin{array}{ccc}
1 & -4 & -10 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right] 
e^{t} +
\left[ 
\begin{array}{ccc}
0 & 4 & -10 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right] 
e^{2t}
$

\item Dosazením definičních matic systému získáme rovnice tvaru: $\dot x =Ax, y =Cx$
Provedením Laplaceovy transformace pak $sX -x_0 =AX, Y =CX$

Z toho vyjádříme $X = (sI - A)^{-1} x_0, Y =C(sI - A)^{-1}x_0$.
 
$Y =
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{s+1} & \frac{1}{(s+1)^2} & 0 \\
0 & \frac{1}{s+1} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{s-2} \\
\end{array}
\right] x_0 = 
\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{s+1} & \frac{-s}{(s+1)^2} & \frac{1}{s-2} \\
\end{array}
\right] x_0 $

$ L\{(te^{-t})\} =  \frac{-s}{(s+1)^2}$

$X =
\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{s+1} & \frac{1}{(s+1)^2} & 0 \\
0 & \frac{1}{s+1} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{s-2} \\
\end{array}
\right] x_0 
$
 
 Stav $x(0)$ pro který bude platit požadovaná podmínka je $
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{array}
\right]
$
 
\item Požadavkem je konstantní stav $x_0$ proto dosadíme: $ x_0 = Ax_0 + Bu(k)$ z toho $(I - A)x_0 = Bu(k)$

$X =
\left(
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right] -
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right] \right)
\left[ \begin{array}{c}
-2 \\
 1 \\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
 2 \\
\end{array}
\right] u(k)
$

$
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
 2 \\
\end{array}
\right]
=
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
2 \\
\end{array}
\right] u(k) \rightarrow u(k) = 1(k) 
$

Potřebná sekvence vstupů pro splnění podmínek odpovídá jednotkovému skoku.  
 
\item Řešením charakteristického polynomu matice A získáme její vlastní čísla. Jsou ale ovšem ryze komplexní $\lambda _1 = -i, \lambda _2 = +i, \lambda _{34} = 0$. 

Matice vlastních vektorů proto nabývá tvaru:
$
P = \left[ \begin{array}{cccc}
 -0.3162        &    -0.3162     &        0  & 0    \\     
 0 + 0.3162i    &    0 - 0.3162i &              0  & 0  \\     
 0 + 0.6325i    &   0 - 0.6325i  &              1  & 1      \\
 0.6325         &    0.6325      &              0  & 0  \\
\end{array}
\right]
$

Matici podobnou matici A pak získáme z definice

$^\sim A = P A P^{-1}$ 
 
\end{enumerate} 
 

\end{document}