Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}

\begin{document}

\section*{Řešení 3. zadané úlohy           -        Jakub Kákona}

\begin{enumerate}
\item 
Diskrétní systém je v rovnovážném stavu v případě, když nemění svůj stav. Tedy všechny jeho následující stavy jsou rovny předchozím stavům. 

Z toho plyne:

\begin{equation}
x_1(k+1) = x_1(k)\\
x_2(k+1) = x_2(k)
\end{equation} 

Dosazením do zadané soustavy získáme tvar:

\begin{equation}
x_1(k) = x_1(k)x_2(k)-1\\
x_2(k) = 2x_1(k)x_2(k)-2
\end{equation} 

Dále postupně řešíme soustavu těchto rovnic. 

\begin{equation}
x_1(k) = \frac{1}{x_2(k)-1}\\
x_2(k) = \frac{2x_1(k)}{x_2(k)-1} -2
\end{equation} 

úpravou získáme kvadratickou rovnici 

\begin{equation}
x_2(k)^2 - 3x_2(k) + 2 = 0
\end{equation} 

Její kořeny jsou:
 
\begin{equation}
{x_2}_1(k) = -1\\
{x_2}_2(k) = -2
\end{equation} 

Dosazením do vztahu pro $x_1$ dostaneme zbývající složky

\begin{equation}
{x_1}_1(k) = - \frac{1}{2}\\
{x_1}_2(k) = - \frac{1}{3}\\
\end{equation} 

 
A systém má dva rovnovážné body


\begin{equation}
a_1 = \left[ \begin{array}{c}
- \frac{1}{2} \\
-1 \\
\end{array}
\right] \\
a_2 = \left[ \begin{array}{c}
- \frac{1}{3} \\
-2 \\
\end{array}
\right] \\
\end{equation} 
   
 
\item
Zadaná soustava rovnic může být přepsána do maticového tvaru

\begin{equation}
\dot x = Ax \\
A = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1  \\
1 & 1 & 1  \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

Tato matice ale není regulární, proto má systém nekonečně mnoho  rovnovážných bodů. Jejich vyjádření získáme požadavkem na nulové derivace v rovnovážných bodech. Řešíme tedy homogenní rovnici. 

\begin{equation}
0 = Ax
\end{equation} 

Tato rovnice má řešení 

\begin{equation}
a = \left[ \begin{array}{c}
-t \\
0 \\
t \\
\end{array}
\right] \\
t \in R
\end{equation} 


\item
zadaný systém není asymptoticky stabilní, protože 

\begin{equation}
\lim _{x \to \infty} \sin x(k) \neq 0 
\end{equation}
 
\item
K určení stability nepomůže Sylvestrovo kritérium, proto
najdeme vlastní čísla matice z charakteristického polynomu 

\begin{equation}
\det (\lambda I - A) = 
\left[ \begin{array}{cc}
\lambda & -1 \\
1 & \lambda\\
\end{array}
\right] = \lambda ^2 + 1
\end{equation} 

Polynom má komplexní kořeny $\lambda _{1,2} = \pm j$

A matice je positivně semidefinitní. Systém je proto stabilní, ale ne asymptoticky. 

\item 

Pokud si zvolíme hodnoty $x_1(k)=x(k), x_2(k)=x(k+1)$ dostaneme  $x_1(k+1)=x(k+1), x_1(k+1)=x_2(k)$ A můžeme vytvořit soustavu rovnic. 
 
\begin{equation}
x_1(k+1)=x_2(k) \\ 
x_2(k+1)=-x_1(k) + u(k)\\
y(k)=x_1(k) \\ 
\end{equation}

Kterou můžeme přepsat do tvaru

\begin{equation}
x_1(k+1)=\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
\end{array}
\right] x(k) + \left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right] u(k)
\\ 
y(k)=\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\end{array} \right] x(k) + [0]u(k)\\
\end{equation}

Z toho pak můžeme zjistit přenos systému

\begin{equation}
G(z)= C (zI - A)^{-1} B + D \\
G(z)=\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\end{array} \right] \frac{1}{z^2 + 1 }
\left[ \begin{array}{cc}
z & 1 \\
-1 & z \\
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array} \right] = \frac{1}{z^2 + 1}
\end{equation}

singularita přenosu nastává v bodech $z= \pm j$ A systém není BIBO stabilní, protože jeho póly nejsou uvnitř jednotkového kruhu, ale na jeho hranici. 
 
\end{enumerate} 
 

\end{document}