Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}

\begin{document}

\section*{Řešení 5. zadané úlohy           -        Jakub Kákona}

\begin{enumerate}
  
\item
Potřebujeme spočítat matici pozorovatelnosti systému

\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C 
AC 
A^2C
\end{array}
\right]
= \left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1  \\
0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1  \\
0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1  \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

$h(O=2)$. Hodnost je proto menší, než řád systému (3). Systém je proto pozorovatelný jenom částečně. 

\begin{enumerate}
\item Stav je nepozorovatelný, pokud je součástí jádra matice O.  tj. $x \in ker(O)$

Hledáme proto řešení soustavy:


\begin{equation}
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1  \\
0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1  \\
0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1  \\
\end{array}
\\
\right]
\left[ \begin{array}{c}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right] = 0
\end{equation} 

Řešením této soustavy jsou všechny nepozorovatelné stavy 

\begin{equation}
x = \left[ \begin{array}{c}
t \\
0 \\
0 \\
\end{array} \right], t \in R
\end{equation} 

\item

Stav systému je nesestrojitelný, pokud existuje takové $\tilde{x}$, že $x= A ^ k \tilde{x}$, $C \tilde{x} = 0,  0 \leq k $

řešíme proto rovnici:

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1  \\
\end{array}
\\
\right]
\left[ \begin{array}{c}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right] = 0
\end{equation} 

\begin{equation}
\tilde{x} = \left[ \begin{array}{c}
t \\
0 \\
0 \\
\end{array} \right], t \in R
\end{equation}

Dále potřebujeme vyřešit $x=A^k \tilde{x}$. Ale 

\begin{equation}
A^k = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & k \\
0 & 0 & 0  \\
0 & 0 & 1  \\
\end{array} \right]
\end{equation}

z toho $A^k \tilde{x} = \tilde{x}$. V důsledku toho jsou všechny nepozorovatelné stavy zároveň nesestrojitelné. 

\begin{equation}
\tilde{x} = x = \left[ \begin{array}{c}
t \\
0 \\
0 \\
\end{array} \right], t \in R
\end{equation}

\end{enumerate}

\item

Vypočteme matici pozorovatelnosti 


\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
AC \\
A^2C \\
\end{array}
\right]
= \left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1  \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1  \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1  \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

Hodnost této matice je 2. Systém proto není úplně pozorovatelný a počáteční podmínku musíme proto hledat z rovnice. 


\begin{equation}
y(k)= CA ^k x(0) + \sum\limits_{i=0}^{k-1} CA^{k-(i+1)} Bu(i) + Du(k).
\end{equation} 

Protože ale matice B a D jsou nulové, tak se rovnice zjednoduší na tvar:

\begin{equation}
y(k)= CA ^k x(0).
\end{equation} 


\begin{equation}
A^k = \left[ \begin{array}{ccc}
1 & k & 0 \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 1  \\
\end{array} \right]
\end{equation}


Znovu dosadíme do soustavy a dostaneme:

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
\end{array}
\right]
= \left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1  \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\\
\right]
\left[ \begin{array}{c}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

Vyřešením soustavy pak zjistíme, že počáteční podmínka má nějaký tvar typu: 

\begin{equation}
x(0) = \left[ \begin{array}{c}
t \\
0 \\
1 \\
\end{array} \right], t \in R
\end{equation}

\item
Je potřeba zjistit vlastní čísla matice A. 

\begin{equation}
\det (\lambda I - A) = 
\det \left[ \begin{array}{ccc}
\lambda & 1 & -1 \\
-1 & \lambda + 2 & -1 \\
0 & - 1 & \lambda + 1 \\
\end{array}
\right]
= \lambda (\lambda + 1) (\lambda + 2) \longrightarrow \lambda_{1}=0, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=-2 
\end{equation} 

Vlastní číslo je nepozorovatelné v případě, že sníží hodnost matice pod řád systému. 

\begin{equation} 
h \left( \left[ \begin{array}{c}
\lambda I - A \\
C \\
\end{array}
\right] \right)
< n
\end{equation} 


Spočítáme proto hodnost matice pro  jednotlivá vlastní čísla. 
  
\begin{equation}
h \left( \left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & -1  \\
-1 & 2 & -1  \\
0 & -1 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
\end{array}
\right]_{\lambda _1} \right)
= 3
\end{equation}  
 

\begin{equation}
h \left( \left[ \begin{array}{ccc}
-1 & 1 & -1  \\
-1 & 1 & -1  \\
0 & -1 & 1  \\
0 & 1 & 0  \\
\end{array}
\right]_{\lambda _2} \right)
= 2
\end{equation} 

\begin{equation}
h \left( \left[ \begin{array}{ccc}
-2 & 1 & -1  \\
-1 & 0 & -1  \\
0 & -1 & -1  \\
0 & 1 & 0  \\
\end{array}
\right]_{\lambda _3} \right)
= 3
\end{equation}  
 
Vidíme, že jediné problematické vlastní číslo je $\lambda_{2}=-1$, které je nepozorovatelné.    
 
\item

\begin{enumerate}
\item 

Spočítáme matici řiditelnosti systému

\begin{equation}
C = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right] =
\left[ \begin{array}{cccccccc}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \omega & - \omega ^2 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 2 \omega & -\omega ^2 & 0 & 0 & - \omega ^3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & - 2 \omega & 0 & 0 & - 4 \omega ^2 \\
0 & 1 & -2 \omega & 0 & 0 & - 4 \omega ^2 & - 2 \omega ^3 & 0  \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Matice řiditelnosti systému má plnou hodnost 4. systém je proto řiditelný vstupem $u$.  

Dále spočítáme matici pozorovatelnosti systému 

\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
AC \\
A^2C \\
A^3C \\
\end{array}
\right]
= \left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
3 \omega ^2 & 0 & 0 & 2 \omega \\
0 & -2 \omega & 0 & 0 \\
0 & - \omega ^2 & 0 & 0 \\
-6 \omega ^3 & 0 & 0 & -4 \omega ^2 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

Matice pozorovatelnosti systému má plnou hodnost, proto je systém pozorovatelný na výstupu $y$. 

\item - selhání radiální trysky: 

Je třeba upravit matici B, tak aby vliv radiální trysky byl nulový.  A pak znovu přepočítáme matici řiditelnosti systému. 

\begin{equation} 
B = \left[ \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 


\begin{equation}
C =
\left[ \begin{array}{cccccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \omega & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 \omega & 0 & 0 & 0 & - 2 \omega ^3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & - 2 \omega & 0 & 0 & - 4 \omega ^2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & - 4 \omega ^2 & 0 & 0  \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Protože je hodnost matice stále 4, tak je systém řiditelný pouze tangenciálním pohonem. I v případě výpadku radiálního pohonu. 

\item - selhání tangenciální trysky: 

Je třeba upravit matici B, tak aby vliv tangenciální trysky byl nulový.  A pak znovu přepočítáme matici řiditelnosti systému. 

\begin{equation} 
B = \left[ \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 


\begin{equation}
C =
\left[ \begin{array}{cccccccc}
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & - \omega ^2 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & - \omega ^2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & - 2 \omega & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -2 \omega & 0 & 0 & - 2 \omega ^2 & 0 & 0  \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Hodnost této matice je ale pouze 3 a satelit proto není řiditelný pouze radiální tryskou.  

\item

Pozorovatelnost systému vyřešíme obdobným způsobem, úpravou matice C. 

\begin{equation} 
C = \left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
AC \\
A^2C \\
\end{array}
\right]
= \left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
3 \omega ^2 & 0 & 0 & 2 \omega \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & - \omega ^2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

Hodnost této matice je 3 a systém není pozorovatelný pouze na výstupu $y_1$

\begin{equation} 
C = \left[ \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
AC \\
A^2C \\
\end{array}
\right]
= \left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -2 \omega & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
- 6 \omega ^3 & 0 & 0 & - 4 \omega ^2 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

Hodnost matice pozorovatelnosti systému je 4 a systém je pozorovatelný pouze na výstupu $y_2$

\end{enumerate}


\item
Najdeme matice převodu do diskrétního tvaru. 

\begin{equation}
\tilde{A} = e ^{At} = L ^{-1} \left\{ (s I - A) ^{-1} \right\} = L ^{-1} \left\{ 
\left[ \begin{array}{cc}
\frac{s}{s^2+1} & \frac{s}{s^2+1}\\
\frac{-1}{s^2+1} & \frac{s}{s^2+1}\\
\end{array}
\right] \right\} = 
\left[ \begin{array}{cc}
\cos T & \sin T \\
- \sin T & \cos T\\
\end{array}
\right]
\end{equation}

\begin{equation}
\tilde{C} = C e ^{A \alpha}=
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\end{array}
\right] 
\left[ \begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
- \sin & \cos \alpha \\
\end{array}
\right] =
\left[ \begin{array}{cc}
\cos \alpha  & \sin \alpha \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Matice pozorovatelnosti diskrétního systému pak vypadá takto 

\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
\tilde{C} \\
\tilde{C}\tilde{A} \\
\end{array}
\right] 
= 
\left[ \begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
\cos \alpha \cos T - \sin \alpha \sin T & \cos \alpha \sin T + \sin \alpha \cos T \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

\begin{equation}
O =
\\
\left[ \begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
\cos (\alpha + T) & \sin (\alpha + T)
\end{array}
\right]
\end{equation}

Aby systém nebyl pozorovatelný, tak matice O musí být singulární a musí platit: 

\begin{equation}
\cos \alpha \sin (\alpha + T) - \sin \alpha \cos (\alpha + T) = 0
\end{equation}

\end{enumerate} 
\end{document}