Blame | Last modification | View Log | Download
\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}\usepackage[czech]{babel}\usepackage[pdftex]{graphicx}\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů\usepackage{rotating}\begin{document}\section*{Řešení 6. zadané úlohy - Jakub Kákona}\begin{enumerate}\itemSpočítáme matici řiditelnosti systému\begin{equation}C = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right] =\left[ \begin{array}{cccccccc}0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & 1 \\1 & 1 & 0 & 1 & -3& 0 & -10 & -3 \\0 & 0 & 1 & 0 & 4 & 1 & 13 & 4 \\0 & 1 & 0 & 0 & -1& 0 & -1 \\\end{array}\right]\end{equation}Protože tato matice má hodnost pouze 4. Tak obsahuje zbytečné vektory. Vybereme proto lineárně nezávislé:\begin{equation}\tilde{C} = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right] =\left[ \begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0 & -3 \\0 & 0 & 1 & 4 \\0 & 1 & 0 & -1 \\\end{array}\right]\end{equation}Indexy řiditelnosti pak jsou\begin{equation}\mu _1=3 \\\mu _2=1\end{equation}Dále vypočteme inverzní matici k matici $\tilde{C}$\begin{equation}\tilde{C} ^{-1} = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right] =\left[ \begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0 & -3 \\0 & 0 & 1 & 4 \\0 & 1 & 0 & -1 \\\end{array}\right]^{-1}=\left[ \begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & -1 \\-4 & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}\right]\end{equation}Pro sestavení transformační matice P vybereme řádky $q_1, q_2$ na základě zjištěných indexů řiditelnosti.\begin{equation}P = \left[ \begin{array}{c}q_1 \\q_1 A \\q_1 A^2 \\q_2 \\\end{array}\right]\\\sigma_1 = \mu _1 = 3, \sigma = \mu _1 + \mu _2 = 4\end{equation}Z matice $\tilde{C} ^{-1}$ bude proto k sestavení transformační matice P použit 3. a 4. řádek\begin{equation}q_1 = \left[ \begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\\end{array}\right]\\q_2 = \left[ \begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}\right]\\\end{equation}\begin{equation}P = \left[ \begin{array}{c}q_1 \\q_1 A \\q_1 A^2 \\q_2 \\\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\-1 & 1 & 4 & -1 \\1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}\right]\\\end{equation}\begin{equation}P^{-1}=\left[ \begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & -4 & 1 & 1 \\0 & 1 & 0 & 0 \\-1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}\right]\\,\end{equation}Nyní přetransformujeme matice A a B pomocí nalezené matice P.\begin{equation}A_c = PAP^{-1}=\left[ \begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\1 & -3 & 4 & 1 \\1 & 0 & 0 & 0 \\\end{array}\right],\end{equation}\begin{equation}B_c = PB =\left[ \begin{array}{cc}0 & 0 \\0 & 0 \\1 & 0 \\0 & 1 \\\end{array}\right],\end{equation}\itemVlastní číslo $\lambda$ je neřiditelné v případě, že bude platit:\begin{equation}h[\lambda _i I - A, B] < n\end{equation}$n$ je řád systému. Pro určení podmínky řiditelnosti systému (A, B) vyjdeme z obecného tvaru matic.\begin{equation}A = \left[ \begin{array}{cccc}\lambda _1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \lambda _2 & & \vdots \\\vdots & & \ddots & 0 \\0 & \cdots & 0 & \lambda _n \\\end{array}\right]\\B = \left[ \begin{array}{cccc}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\b_{21} & b_{22} & & \vdots \\\vdots & & \ddots & \vdots \\b_{m1} & \cdots & \cdots & b_{mn} \\\end{array}\right]\\\end{equation}V důsledku toho, že matice A je diagonální a obsahuje tedy přímo vlastní čísla. Tak dosazením vlastního čísla do výše uvedeného vzorce bude hodnost matice A snížena minimálně o jedna. (v závislosti na algebraické násobnosti vlastního čísla.)Pokud ale budou všechny řádky matice B lineárně nezávislé, tak hodnost testovací matice $h[\lambda _i I - A, B]$ nebude snížena pod $n$ a systém bude řiditelný. V opačném případě, pokud matice B nebude mít vhodnou lineární nezávislost, tak systém bude neřiditelný.\itemJe potřeba zjistit vlastní čísla matice A.\begin{equation}\det (\lambda I - A) =\det \left[ \begin{array}{cccc}\lambda & 0 & 0 & 0 \\0 & \lambda & 0 & 0 \\0 & -1 & \lambda & 0 \\0 & 0 & 0 & \lambda + 1 \\\end{array}\right]=\lambda \det \left[ \begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\-1 & \lambda & 0 \\0 & 0 & \lambda + 1 \\\end{array}\right]= \lambda ^3 (\lambda + 1)\end{equation}Vlastní čísla matice pak jsou:\begin{equation}\lambda _{1} = -1 \\ \lambda _{2,3,4} = 0\end{equation}Dále potřebujeme matici pozorovatelnosti systému\begin{equation}O = \left[ \begin{array}{c}C \\AC \\A^2C \\A^3C \\\end{array}\right]= \left[ \begin{array}{cccc}0 & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\\end{array}\right]\end{equation}Stav je nepozorovatelný, pokud je součástí jádra matice O. tj. $x \in ker(O)$Hledáme proto řešení soustavy:\begin{equation}\left[ \begin{array}{cccc}0 & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\\end{array}\\\right]\left[ \begin{array}{c}a \\b \\c \\d \\\end{array}\right] = 0\end{equation}\begin{equation}N(0) = \left[ \begin{array}{c}0 \\0 \\0 \\1 \\\end{array} \right]\end{equation}Dále hledáme transformační matici $Q = [Q_o, v_1]$ , která umožní vytvořit standardní formu nepozorovatelných systémů. $v_1$ je vektor z nepozorovatelného podprostoru systému a $Q_o$ je matice složená z lineárně nezávislých vektorů matice O.\begin{equation}Q = \left[ \begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}\right]\end{equation}Nyní můžeme sestavit standardní tvar.\begin{equation}\tilde{A} = Q^{-1} A Q =\left[ \begin{array}{cccc}0 & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}\right]\left[ \begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & -1 \\\end{array}\right]\left[ \begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{cccc}0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & -1 \\\end{array}\right]\end{equation}Dílčí bloky matice pak jsou:\begin{equation}\tilde{A}_1 =\left[ \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\\end{array}\right]\\\tilde{A}_2 = -1\end{equation}Dále lze upravit i matici C.\begin{equation}\tilde{C} = CQ =\left[ \begin{array}{cccc}0 & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 \\\end{array}\right]\left[ \begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\\end{array}\right]\end{equation}Z těchto výsledků již zjistíme, že\begin{enumerate}\item Vlastní čísla matice $A_1$, $\lambda _{1,2,3}=0$ jsou pozorovatelná vlastní čísla systému (A, C).\item Vlastní číslo $A_2 = \lambda _4 = -1$ je nepozorovatelným vlastním číslem. A mód náležící tomuto vlastnímu číslu je nepozorovatelný.\end{enumerate}\itemVypočteme matici pozorovatelnosti\begin{equation}O = \left[ \begin{array}{c}C \\AC \\A^2C \\\end{array}\right]= \left[ \begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\1 & -2 & 1 \\-2 & 4 & -2 \\\end{array}\right]\end{equation}A řiditelnosti systému:\begin{equation}\tilde{C} = \left[ B, AB, A^2B \right] =\left[ \begin{array}{cccccc}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\end{array}\right]\end{equation}Dále ještě potřebujeme jádro matice O.\begin{equation}\left[ \begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\1 & -2 & 1 \\-2 & 4 & -2 \\\end{array}\right]\left[ \begin{array}{c}a \\b \\c \\d \\\end{array}\right] = 0\end{equation}\begin{equation}N(O) = \left[ \begin{array}{c}1 \\0 \\-1 \\\end{array} \right]\end{equation}Nyní můžeme určit transformační matici Q.\begin{equation}Q = [v_1, v_2, Q_n] =\left[ \begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\1 & -1 & 1 \\\end{array}\right]\end{equation}Její inverze je:\begin{equation}Q ^{-1}=\left[ \begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\1 & -1 & 1 \\\end{array}\right]^{-1}=\left[ \begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\1 & -1 & 0 \\1 & -2 & 1 \\\end{array}\right]\end{equation}Nyní lze určit Kalmanovu formu matic\begin{equation}\tilde{A}= Q^{-1} A Q =\left[ \begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\1 & -1 & 0 \\1 & -2 & 1 \\\end{array}\right]\left[ \begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\1 & -2 & 1 \\0 & 0 & 0 \\\end{array}\right]\left[ \begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\1 & -1 & 1 \\\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & -1 \\0 & 0 & -2 \\\end{array}\right]\end{equation}\begin{equation}\tilde{B}= Q^{-1} B =\left[ \begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\1 & -1 & 0 \\1 & -2 & 1 \\\end{array}\right]\left[ \begin{array}{cc}1 & 0 \\1 & 1 \\1 & 2 \\\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ccc}1 & 1 \\0 & -1 \\0 & 0 \\\end{array}\right]\end{equation}\begin{equation}\tilde{C}= CQ =\left[ \begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\\end{array}\right]\left[ \begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\1 & -1 & 1 \\\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\end{array}\right]\end{equation}\begin{equation}\tilde{D}= D =\left[ \begin{array}{c}0 \\1 \\\end{array}\right]\end{equation}\itemPříklad je podobný příkladu č. 4. z předchozího úkolu.\begin{enumerate}\itemSpočítáme matici řiditelnosti:\begin{equation}C = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right]\end{equation}U matice vyjde plná hodnost, a systém by proto měl být řiditelný.\item Když matici B upravíme tak, aby efekt síly $f_2$ byl nulový a přepočítáme matici řiditelnosti, tak vyjde opět plná hodnost. A systém by proto měl být řiditelný ze vstupu $f_1$Protože jde o spojitý systém, tak se zde dosažitelnost a řiditelnost nerozlišuje.Matice B může být upravena i tak, aby efekt síly $f_1$ byl nulový. ale opět vyjde plná hodnost.\end{enumerate}Podobně je to i s dalšími typy určujících matic. (vždy vyjde plná hodnost a systém splňuje podmínky na pozorovatelnost a řiditelnost)Problémem tohoto příkladu pravděpodobně je špatně podmíněná neceločíselná matice. A použití vhodného numerického řešení. K zjištění problematických stavů.\end{enumerate}\end{document}