Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}

\begin{document}

\section*{Řešení 7. zadané úlohy           -        Jakub Kákona}

\begin{enumerate}
      
\item

Na základě fyzikálních procesů probíhajících v obvodu sestavíme stavové rovnice popisující systém:

\begin{equation}
v(t) = V_c(t) + v_R(t) = V_c(t) + Ri_c(t) = v_c(t) + RC \frac{dv_c(t)}{dt} 
\end{equation}

Napětí na obou větvích obvodu ale musí být stejné, proto zároven platí:

\begin{equation}
v(t) = V_L(t) + v_R(t) = Lv_L(t) + Ri_L(t) = L \frac{di_L(t)}{dt} + Ri_L(t) 
\end{equation}

Celkový proud obvodem pak je:

\begin{equation}
i(t) = i_C(t) + i_L(t) = \frac{v(t)-v_c(t)}{R} + i_L(t) 
\end{equation}

\begin{eqnarray}
y(t) =& i(t), \\
u(t) =& v(t), \\
x_1(t) =& v_C(t), \\
x_2(t) =& i_L(t), \\
u(t) =& x_1(t) + RC \dot{x_1}(t), \\
u(t) =& L \dot{x_2}(t) + R x_2(t), \\
y(t) =& \frac{1}{R} u(t) - \frac{1}{R} x_1(t) + x_2(t) \\
\end{eqnarray}

Stavový popis přepíšeme do maticového tvaru:
  
\begin{equation}
x(t) =
\left[ \begin{array}{cc}
- \frac{1}{RC} & 0 \\
0 & - \frac{R}{L}
\end{array}
\right] x(t) + 
\left[ \begin{array}{c}
\frac{1}{RC} \\
\frac{1}{L}
\end{array}
\right] u(t)
\end{equation}

\begin{equation}
y(t) =
\left[ \begin{array}{cc}
- \frac{1}{R} & 1 \\
\end{array}
\right] x(t) + 
\frac{1}{R} u(t)
\end{equation}

K určení impulzní odezvy potřebujeme přenos systému 

\begin{eqnarray}
H(s) =& C [sI - A]^{-1} B + D \\
H(s) =&  
\left[ \begin{array}{cc}
- \frac{1}{R} & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
s + \frac{1}{RC} & 0 \\
0 & s + \frac{R}{L} \\
\end{array}
\right]^{-1}
\left[ \begin{array}{c}
\frac{1}{RC} \\
\frac{1}{L} \\
\end{array}
\right] + \frac{1}{R} \\
H(s) =& - \frac{1}{R^2 C (s + RC)} + \frac{1}{L(s +\frac{R}{L})} + \frac{1}{R}
\end{eqnarray}

Z přenosu zjistíme impulzní odezvu:

\begin{equation}
h(t) = L^{-1} \left\{ H(s) \right\}
\end{equation}

Do popisu systému dosadíme předpoklad $\frac{1}{RC} = \frac{R}{L}$

Tím získáme následující tvar stavového popisu: 

\begin{equation}
x(t) =
\left[ \begin{array}{cc}
- \frac{R}{L} & 0 \\
0 & - \frac{R}{L}
\end{array}
\right] x(t) + 
\left[ \begin{array}{c}
\frac{R}{L} \\
\frac{1}{L}
\end{array}
\right] u(t)
\end{equation}

\begin{equation}
y(t) =
\left[ \begin{array}{cc}
- \frac{1}{R} & 1 \\
\end{array}
\right] x(t) + 
\frac{1}{R} u(t)
\end{equation}

K převodu do Kalmanova tvaru potřebujeme matici řiditelnosti a pozorovatelnosti

\begin{equation}
C = \left[ B, AB \right] =
\left[ \begin{array}{cc}
\frac{R}{L} &  - \frac{R^2}{L^2} \\
\frac{1}{L} & - \frac{R}{L^2}
\end{array}
\right]
\end{equation}

\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
AC \\
\end{array}
\right] =
\left[ \begin{array}{cc}
- \frac{1}{R} &  1 \\
\frac{1}{L} & - \frac{R}{L}
\end{array}
\right]
\end{equation}

Hodnost obou matic je 1. 

Určíme jádro matice O. 

\begin{eqnarray}
\left[ \begin{array}{cc}
- \frac{1}{R} &  1 \\
\frac{1}{L} & - \frac{R}{L}
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
a \\
b \\
\end{array}
\right] =& 0 \\
\frac{1}{R} + b =& 0 \\
\frac{1}{L}a - \frac{R}{L} b =& 0 \\
b =& 1\\
a =& R
\end{eqnarray}

Jádrem matice je proto jeden vektor $ker(O)=\left[ \begin{array}{c}
R \\
1 \\
\end{array}
\right]$ 
 
Nyní můžeme sestavit transformační matici Q. 

\begin{equation}
Q = [v_1, Q_n] = 
\left[ \begin{array}{cc}
R & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Nyní lze určit Kalmanovu formu matic 

\begin{equation}
\tilde{A}= Q^{-1} A Q =
\left[ \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
-1 & R \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
-\frac{R}{L} & 0 \\
0 & -\frac{R}{L} \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
-\frac{R}{L} & 0 \\
0 & -\frac{R}{L} \\
\end{array}
\right]
=\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{R}{L} & 0 \\
0 & \frac{R}{L} \\
\end{array}
\right] 
\end{equation}

\begin{equation}
\tilde{B}= Q^{-1} B =
\left[ \begin{array}{c}
- \frac{1}{L} \\
0 \\
\end{array}
\right] 
\end{equation}

\begin{equation}
\tilde{C}= CQ =
\left[ \begin{array}{cc}
0 & - \frac{1}{R} \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

\begin{equation}
\tilde{D}= D =
\frac{1}{R}
\end{equation}

Vlastní čísla matice $\tilde{A}$ jsou pak dvojnásobná s hodnotou $- \frac{R}{L}$ jedno z nich je pak řiditelné a nepozorovatelné a druhé neřiditelné a nepozorovatelné. 

Přenos systému zapsaný na základě Kalmanova tvaru je:

\begin{eqnarray}
\tilde{H}(s) =& \tilde{C} [sI - \tilde{A}]^{-1} \tilde{B} + \tilde{D} \\
\tilde{H}(s) =&  
\left[ \begin{array}{cc}
0 & - \frac{1}{R} \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
s - \frac{R}{L} & 0 \\
0 & s - \frac{R}{L} \\
\end{array}
\right]^{-1}
\left[ \begin{array}{c}
-\frac{1}{L} \\
0 \\
\end{array}
\right] + \frac{1}{R} \\
\tilde{H}(s) =& \frac{1}{R}
\end{eqnarray}
 
Impulzní odezva pak je: 

\begin{equation}
\tilde{h}(t) = L^{-1} \left\{ \tilde{H}(s) \right\} = \frac{1}{R} \sigma(t)
\end{equation}

\item

Zadanou matici přepíšeme do tvaru: 

\begin{equation}
H(s)= \frac{1}{d(s)} N(s) = \frac{1}{s(s+2)}
\left[ \begin{array}{ccc}
(s-1)(s+2) & 0 &  s(s-2) \\
0 & (s+1)(s+2) &  0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Matici $N(s)$ je třeba převést do Smithova tvaru

\begin{equation}
S_N(s)= 
\left[ \begin{array}{ccc}
\epsilon _1 (s) & 0 &  0 \\
0 & \epsilon _2 (s)  &  0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Kde $ \epsilon _i (s) = \frac{D_i (s)}{D_{i-1} (s)}$

\begin{equation}
D_0(s) = 1 , D_1(s) = 1, D_2(s) = (s+1)(s+2)
\end{equation}

Smithova forma matice má pak tvar. 

\begin{equation}
S_N(s)= 
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 &  0 \\
0 & (s+1)(s+2) &  0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

To ještě doupravíme na Smith-McMillanovu formu:

\begin{equation}
SM_H(s)= \frac{1}{d(s)} S_N(s)=
\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{\epsilon _1 (s)}{\psi _1 (s)} & 0 &  0 \\
0 & \frac{\epsilon _2 (s)}{s}  &  0 \\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{ccc}
\frac{1}{s(s+2)} & 0 &  0 \\
0 & \frac{s+1}{s} &  0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Póly $H(s)$ zjistíme z kořenů polynomu 
\begin{equation}
P_H(s) = \psi _1(s) \psi _2 (s) = s^2 (s+2). 
\end{equation}

Tedy 0, 0, -2. 

A nuly jsou kořeny polynomu 

\begin{equation}
Z_H(s) = \epsilon _1(s) \epsilon _2 (s) = s+1. 
\end{equation}

Nula proto je v -1.

\item

Budeme potřebovat "systémovou matici"

\begin{equation}
P(s)= 
\left[ \begin{array}{cc}
sI-A &  B \\
-C &  D \\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{cccc}
s-1 &  -1 & 0 & 1 \\
0 &  s-1 & -1 & 0 \\
0 &  0 & s-1 & 0 \\
0 &  0 & -1 & 1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Tuto matici ale potřebujeme spíše ve Smithově tvaru. 

\begin{equation}
S_P(s)= 
\left[ \begin{array}{cccc}
1 &  0 & 0 & 0 \\
0 &  1 & 0 & 0 \\
0 &  0 & 1 & 0 \\
0 &  0 & 0 & (s-1)^3 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Invariantní nuly najdeme řešením polynomu $z^I _P (s) = \epsilon _1 (s) \epsilon _2 (s) \epsilon _3  (s) \epsilon _4 (s) = (s-1)^3$. Invariantní nulou jeproto trojnásobná 1. 

\end{enumerate} 
\end{document}