Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}

\begin{document}

\section*{Řešení 8. zadané úlohy           -        Jakub Kákona}

\begin{enumerate}
      
\item

\begin{enumerate}
\item

Pro ověření minimální realizace si vytvoříme duální systém 

\begin{equation}
\tilde{A} = A^T  =
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 0 & -4 \\
0 & 1 & 0 & -6 \\
0 & 0 & 1 & -4 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

\begin{equation}
\tilde{B} = C^T  =
\left[ \begin{array}{c}
c_1  \\
c_2  \\
 1  \\
0   \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

\begin{equation}
\tilde{C} = B^T  =
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 &  1  \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Minimálnost realizace pak prověříme z duálního systému zjištěním hodnosti matice řiditelnosti. 

\begin{equation}
C = \left[ \tilde{B}, \tilde{A} \tilde{B}, \tilde{A}^2 \tilde{B}, \tilde{A}^3 \tilde{B} \right]
\end{equation}

\begin{equation}
C =
\left[ \begin{array}{cccc}
c_1 & c_2 & 1 & 0 \\
c_2 & 1 & 0  & -c_1 - 4c_2 - 6 \\
1 & 0 & - c_1 - 4c_2 - 6 & 4c_1 + 15c_2 + 20 \\
0 & - c_1 - 4c_2 - 6 & 4c_1 + 15c_2 + 20 & - 10c_1 - 36c_2 - 45\\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Pro splnění požadavku na realizaci systému, které nebude minimální, by bylo třeba najít takové $c_1, c_2$, aby hodnost matice řiditelnosti nebyla úplná.  

\item

Pokud do realizace systému dosadíme $c_1 = 2, c_2 = 3$ tak matice řiditelnosti bude mít plnou hodnost 4.

Realizace systému se tedy chová jako minimální a není třeba provádět Kalmanovu dekompozici. 

\item

Ano, je to možné. Realizace druhého řádu může ze systému vzniknout například ze dvou minimálních realizací.   

\end{enumerate}

\item 

\begin{enumerate}
\item

Určíme nejmenší společné jmenovatele jednotlivých sloupců. $(s+1)(s+2)$, $(s+1)(s+2)$
Oba jsou řádu 2. Rad řiditelné realizace je součet jejich stupňů. Tedy 4. 


Podobným způsobem určíme řád pozorovatelné realizace, ale hledáme společné jmenovatele jednotlivých řádků. $(s+1)$ a $(s+1)(s+2)$. Celkový řád pozorovatelné realizace je proto 3. 

\item

Protože stupeň obou společných jmenovatelů je dva, tak snížíme řiditelnou realizaci o stupeň 2.  A systém v takové realizaci pak nebude řiditelný. 

\item

Sledováním systému pouze na jednom z výstupů opět  snižujeme řád pozorovatelné realizace o stupeň 1 nebo 2. Systém proto přestane být pozorovatelný. 

\end{enumerate}

\end{enumerate} 
\end{document}