Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}

\begin{document}

\section*{Řešení 9. zadané úlohy           -        Jakub Kákona}

\begin{enumerate}
\item

Potřebujeme zjistit jednotlivá vlastní čísla uzavřené smyčky pro jednotlivé matice F popisující zpětnou vazbu:

\begin{equation}
\det[\lambda I - (A + B F_1)] = \lambda ^2 + 0,205 \lambda + 0,01295 = (\lambda - 0,1025 + 0,0494j ) (\lambda - 0,1025 -0,0494j )
\end{equation}  
  
\begin{equation}
\det[\lambda I - (A + B F_2)] = \lambda ^2 + 0,2053 \lambda + 0,01295 = (\lambda - 0,1026 + 0,0492j ) (\lambda - 0,1026 -0,0492j )
\end{equation}  

\begin{equation}
\det[\lambda I - (A + B F_3)] = \lambda ^2 + 0,205 \lambda + 0,01295 = (\lambda - 0,1025 + 0,0494j ) (\lambda - 0,1025 -0,0494j )
\end{equation}  

Vidíme, že systém má pro všechny matice F opravdu stejná vlastní čísla. Drobná odchylka v případě matice $F_2$ je pravděpodobně jenom důsledek zaokrouhlovací chyby. 

Vykreslíme grafy odezvy na počáteční podmínky. 


\begin{center}
\begin{figure}[hbtp]
\includegraphics[scale=1]{reseni.png}
\caption{Odezva stavů $x_1$ a $x_2$ na zadané počáteční podmínky}
\end{figure}
\end{center}


A vidíme, že odezvy jsou pro jednotlivé realizace systému značně rozdílné. 

\item 


Spočítáme matici řiditelnosti systému:

\begin{equation}
C = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right] =
\left[ \begin{array}{cccccccc}
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 4 \\
1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 4 & -2 & 13 \\
0 & 1 & -1 & 4 & -2 & 13 & -4 & 41 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Protože hodnost této matice je 4, tak systém je úplně řiditelný. Ještě ověříme, zda je řiditelný i pouze jedním vstupem. 

\begin{equation}
B_1 =
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
0 \\
\end{array}
\right] \rightarrow
C_1 =
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & -1 \\
1 & 0 & -1 & -2 \\
0 & -1 & -2 & -4 \\
\end{array}
\right] \rightarrow
h(C_1)=4
\end{equation}
 

\begin{equation}
B_2 =
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right] \rightarrow
C_2 =
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 1 & 4 & 13 \\
1 & 4 & 13 & 41 \\
\end{array}
\right] \rightarrow
h(C_2)=4
\end{equation}

Vidíme, že i obě dílčí matice řiditelnosti mají plnou hodnost, systém je proto řiditelný i jedním ze vstupů. 

Pro další postup zvolíme jedno-vstupovou realizaci:

\begin{equation}
A_c =
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 1 & 4 & 13 \\
1 & 4 & 13 & 41 \\
\end{array}
\right],
B_c =
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right].
\end{equation}

Nyní hledáme matici $F_c]$ která umožní splnit zadaný požadavek na vlastní čísla. 

Hledáme tedy takové prvky matice aby kořeny charakteristického polynomu byly rovny zadaným vlastním číslům:

 \begin{equation}
\det[\lambda I - (A_c + B_c F_c)] = (\lambda + 1 +j) (\lambda + 1 -j) (\lambda + 2 +j) (\lambda + 2 -j)
\end{equation}

Řešíme proto rovnici

 \begin{equation}
\lambda ^4 - 4 \lambda ^3 - \lambda ^3 d + 3 \lambda ^2 - \lambda ^2 c - \lambda - \lambda b -1 -a = (\lambda + 1 +j) (\lambda + 1 -j) (\lambda + 2 +j) (\lambda + 2 -j)
\end{equation}

Úpravou výrazu a srovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin získáme řešení:

\begin{equation}
a = -11, b = -19, c = - 12, d = -10 \\
F_c =
\left[ \begin{array}{cccc}
-11 & -19 & -12 & -10 \\
\end{array}
\right].
\end{equation}

Hledanou matici F pak získáme jako:


\begin{equation}
F=
\left[ \begin{array}{cc}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right] 
F_c=
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
-11 & -19 & -12 & -10 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

\item

Zadání dosadíme do Riccatiho rovnice 

\begin{equation}
A^T P_c + P_c A - P_c B R^{-1} B^T P_c + Q = 0, 
P_c=\left[ \begin{array}{cc}
a & b \\
b & c \\
\end{array}
\right].
\end{equation}


\begin{equation}
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
a & b \\
b & c \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{cc}
a & b \\
b & c \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right]
-
\left[ \begin{array}{cc}
a & b \\
b & c \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\end{array}
\right]
\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
a & b \\
b & c \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right]=0
\end{equation}

Řešením této maticové rovnice dojdeme k soustavě rovnic

\begin{eqnarray}
2b - a^2 + 1 =& 0 \\
a - ab + c =& 0 \\
2b - b^2 =& 0 \\
\end{eqnarray}

Řešení této soustavy pak jsou: 

\begin{eqnarray}
a =& {\pm 1, \pm \sqrt{5}} \\
b =& {0, 0, 2 ,2} \\
c =& {\pm 1, \pm \sqrt{5}} \\
\end{eqnarray}

My ale potřebujeme aby matice  
$P_c=\left[ \begin{array}{cc}
a & b \\
b & c \\
\end{array}
\right]$ byla pozitivně definitní. To je splněno v případě, že $ a > 0, ac - b^2 > 0$

Tyto podmínky jsou splněny v případě řešení 
$P_c=\left[ \begin{array}{cc}
\sqrt{5} & 2 \\
2 & \sqrt{5} \\
\end{array}
\right]$

Hledané optimální $u^* (t)$, které minimalizuje J najdeme z rovnice

\begin{equation}
u^* (t) = -R^{-1} B^T P^* _c x(t) = 
\left[\begin{array}{cc}
-\sqrt{5} & -2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1(t) \\
x_2(t) \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

\item

Sestavíme matici pozorovatelnosti systému se zpětnou vazbou. 


\begin{equation}
A^* = A + B F = 
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
a & b \\
\end{array}
\right],
C^* = C + D F = 
\left[ \begin{array}{cc}
1 +a & b \\
\end{array}
\right],
F = 
\left[ \begin{array}{cc}
a & b \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C^* \\
C^* A^*\\
\end{array}
\right]= 
\left[ \begin{array}{cc}
1+a & b \\
ab & 1+a+b^2 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Aby vlastní čísla ve zpětné vazbě byla nepozorovatelná z výstupu y, tak matice pozorovatelnosti musí mít hodnost rovnu 0.

To je splněno pro $a=-1, b=0$. A hledaná matice F je:

\begin{equation}
F = \left[ \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
\end{array}
\right] 
\end{equation}


Zbývá ještě určit přenos při této realizaci systému 

\begin{equation}
H_F (s)= C^* (sI - A^*)^{-1} B + D =
\left[ \begin{array}{cc}
1 +a & b \\
\end{array}
\right] 
\left[ \begin{array}{cc}
s & -1 \\
1 & s \\
\end{array}
\right]^{-1} 
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right]
+1 = 1 
\end{equation}

\item

Je třeba nejdříve sestavit stavový popis systému:

Zvolíme si popis stavů $\theta = x_1,\dot{\theta} = x_2 $

A víme, že
\begin{equation}
\ddot{\theta} + \dot{\theta} = u
\end{equation}

Potom platí 

\begin{equation}
\dot{x_1}=x_2 \\
\dot{x_2} = -x_2 + u
\end{equation}

Z toho získáme maticový stavový popis

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x_1} \\
\dot{x_1} \\
\end{array}
\right] = 
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_1 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right]u
\end{equation}

Z něj pak vytvoříme matici řiditelnosti: 

\begin{equation}
C =\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & -1 \\
\end{array}
\right], h(C)=2
\end{equation}

Protože matice má plnou hodnost, systém je řiditelný. 

Protože je požadováno umístění vlastních čísel do -2. Tak charakteristický polynom musí být ve tvaru: 

\begin{equation}
\det (\lambda I - (A+BF)) = (\lambda +2)(\lambda +2) =  \lambda ^2 + 4 \lambda + 2
\end{equation}

Musíme proto vyřešit rovnici 

\begin{equation}
\lambda ^2 + \lambda - \lambda b - a = \lambda ^2 + 4 \lambda + 4
\end{equation}

řešením je $a=-4, b=-3$. A matice stavové zpětné vazby má následující tvar 

\begin{equation}
F =\left[ \begin{array}{cc}
-4 & -3 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

\end{enumerate} 
\end{document}