Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,a4paper,oneside]{article}
\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{graphicx}
\textwidth 16cm \textheight 24.6cm
\topmargin -1.3cm 
\oddsidemargin 0cm
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\title{Měření modulu pružnosti ve smyku a tahu}
\author{Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz}
\date{19.11.2009}
\maketitle
\thispagestyle{empty}
\begin{abstract}
Pružné vlastnosti homogenního izotropního tělesa při malých deformacích plně určují dvě nezávislé materiálové konstanty, za které mohou být zvoleny např. modul pružnosti v tahu (Youngův modul) $E$ a Poissonovo číslo $\mu $ nebo modul pružnosti v tahu $E$ a modul pružnosti ve smyku $G$. Jejich význam si vysvětlíme na dvou základních experimentech.
\end{abstract}

\section{Úvod}
\begin{enumerate}
\item Změřte závislost relativního délkového prodloužení $\Delta $l/l ocelového drátu na napětí při zatěžování a odlehčování drátu a sestrojte graf této závislosti. Vypočítejte metodou nejmenších čtverců modul pružnosti v tahu ocelového drátu.  
\item Změřte závislost průhybu $z$ na velikosti síly $F$ při zatěžování i odlehčování ocelového nosníku a narýsujte graf této závislosti. Metodou nejmenších čtverců vypočítejte modul pružnosti v tahu.
\item V přípravě odvoďte vzorec pro plošný moment setrvačnosti obdélníkového průřezu šířky $a$ a výšky $b.$
\item Změřte závislost úhlu zkroucení $\varphi $ ocelového drátu na velikosti kroutícího momentu při postupném zvětšování a postupném zmenšování tohoto momentu. Výsledky měření vyneste do grafu. Metodou nejmenších čtverců vypočtěte modul pružnosti ve smyku $G$ drátu.
\item Na torzním kyvadle změřte moment setrvačnosti základního systému $I_{0}$ a modul pružnosti ve smyku $G$ ocelového drátu. Dobu torzních kmitů změřte postupnou metodou.
\item V přípravě odvoďte vzorce pro výpočet modulu pružnosti ve smyku $G$ a momentu setrvačnosti základního systému torzního kyvadla $I_{0}$. 
\end{enumerate}

\section{Úvod}
\subsection{Modul pružnosti v tahu}
Při působení tažné síly na pružné homogenní těleso se jeho rozměr v ose síly prodlužuje podle vztahu. 

\begin{displaymath} \frac{F}{S} = E \frac{\Delta l}{l}, \end{displaymath}

Který nazýváme Hookův zákon. Konstanta $E$ je určena jen vlastnostmi materiálu a nazývá se modul pružnosti v tahu nebo Youngův modul.
Při protahování tělesa se však jeho rozměry kolmé k ose jeho prodloužení zkracují podle vztahu.

\begin{displaymath} \frac{\Delta a}{a} = \frac{\Delta b}{b} = \mu \frac{\Delta l}{l} , resp. \frac{\Delta r}{r} = \mu \frac{\Delta l}{l} , \end{displaymath}

kde $\mu $ je Poissonovo číslo (nezávislé na $E)$. Poissonovo číslo $\mu $ je v intervalu $\langle $0, 1/2$\rangle $; hodnotu 1/2 nabývá pro nestlačitelné materiály. Protože v našem případě platí 

\begin{displaymath} S = \pi d^2 \end{displaymath}
a
\begin{displaymath} F = mg \end{displaymath}

kde $d$ je průměr drátu a $m$ hmotnost závaží dostaneme po úpravě vztah

\begin{equation}
E = \frac{4mgl}{\pi d^{2} \Delta l}
\label{hook_rovnice}
\end{equation}
  


\subsection{Modul pružnosti v tahu měřený z ohybu nosníku}
Nosník známé délky $L$ podepřený na obou koncích se při zátěži uprostřed prohýbá podle vztahu.

\begin{displaymath} z(0) = - \frac{F L^3}{48 E I}. \end{displaymath}    

Kde $I$ je plošný moment setrvačnosti určený profilem nosníku. Pro nosník obdélníkového průřezu je roven.

\begin{displaymath} I = \frac{ab^3}{12} \end{displaymath}    

Po sloučení obou výrazů a vyjádření $E$ dostáváme

\begin{displaymath} E = - \frac{mgL^3}{4ab^3} \end{displaymath}    

\subsection{Modul pružnosti ve smyku měřený statickou torzí}
Při zatížení drátu momentem síly 
\begin{displaymath} M = 2mgr \end{displaymath}

Se jeho konec bude stáčet o úhel $\Phi$ Tento úhel bude záviset na momentu síly a poloměru drátu. Tím je určen modul pružnosti ve smyku $G$

\begin{displaymath} G = \frac{2mL}{\pi R^4 \Phi} \end{displaymath}    

Po dosazení za moment síly dostáváme výraz
\begin{displaymath} G = \frac{2rgmL}{\pi R^4 \Phi} \end{displaymath}    

\subsection{Modul pružnosti ve smyku měřený torzním kyvadlem}
Stočením drátu o úhel $\Phi$ bude  kyvadlo působit momentem síly o velikosti 

\begin{displaymath} M = K \Phi \end{displaymath}    

kde $K$ je direkční moment kyvadla, pro který platí

\begin{displaymath} K =  \frac{G \pi R^4}{2L} \end{displaymath}

Kde $R$ je poloměr drátu a $L$ jeho délka. Tento moment bude stáčet drát zpět do rovnovážné polohy a tím vznikne kmitavý pohyb s periodou

\begin{displaymath} T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{K}} \end{displaymath}    
Kde $I$ je moment setrvačnosti kyvadla. Z vlastností $K$ plyne vztah

\begin{displaymath} \frac{I_1}{T_1^2} = \frac{I_2}{T_2^2} \end{displaymath}    

Kde $I_1$ a $I_1$ jsou momenty setrvačnosti kyvadla pro dvě různé vzdálenosti závaží od osy.

\section{Postup měření}

Měření modulu pružnosti v tahu jsme měřili napínáním svisle pověšeného drátu závažími o hmotnosti 101g průtah drátu jsme zjistili pomocí měřících hodinek. Naměřené hodnoty ukazuje tabulka \ref{hook}.

\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
počet zavaží & hmotnost[g] & zatezovani[10um] & odlehcovani[10um] \\ \hline
1 & 101 & 51 & 59 \\ \hline
2 & 202 & 77 & 81 \\ \hline
3 & 303 & 96 & 100 \\ \hline
4 & 404 & 114 & 118 \\ \hline
5 & 505 & 133 & 135 \\ \hline
6 & 606 & 151 & 153 \\ \hline
7 & 707 & 169,5 & 170 \\ \hline
8 & 808 & 183,5 & 187 \\ \hline
9 & 909 & 202 & 202 \\ \hline
10 & 1010 & 221 & 221 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{hook}
\caption{Prodlužování a zkracování drátu }
\end{table}

Proložením naměřených dat funkcí \ref{hook_rovnice} jsme dostali hodnotu $E = (1.59619e+11 \pm 6.539e+09)$ Pa.

Proložení ukazuje graf \ref{Graf_hookz} a \ref{Graf_hooko}.

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=150mm]{hookz.pdf} 
\end{center}
\caption{prodloužení drátu délky 1,15m v závislosti na zátěži}
\label{Graf_hookz} 
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=150mm]{hooko.pdf} 
\end{center}
\caption{prodloužení drátu délky 1,15m v závislosti na zátěži během odlehčování}
\label{Graf_hooko} 
\end{figure}

Průhyb nosníku jsme měřili zatěžováním hranolu o rozměrech 498x10,1x4,1 mm. Hodnotu jsme měřili mikroskopem v prostřední části. Naměřené hodnoty uvádí tabulka \ref{pruhyb}. 

\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
zatez[g] & pruhyb[mm] & pruhyb[mm] \\ \hline
101 & 2,53 & 0,06 \\ \hline
202 & 5,05 & 0,13 \\ \hline
303 & 7,58 & 0,19 \\ \hline
404 & 10,1 & 0,25 \\ \hline
505 & 12,63 & 0,32 \\ \hline
606 & 15,15 & 0,38 \\ \hline
707 & 17,68 & 0,44 \\ \hline
808 & 20,2 & 0,51 \\ \hline
909 & 22,73 & 0,57 \\ \hline
1010 & 25,25 & 0,63 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Průhyb nosníku}
\label{pruhyb}
\end{table}

Grafické vyjádření je v grafu \ref{pruhyb_graf}. 


\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=150mm]{pruhyb.pdf} 
\end{center}
\caption{Průhyb nosníku}
\label{pruhyb_graf} 
\end{figure}

Zde nám vyšla hodnota modulu pružnosti $E = 165,66$ GPa.

Měření modulu pružnosti ve smyku jsme provedli zkrutem drátu delky 665mm, a průměru 1,99mm naměřené výsledky jsou v tabulce \ref{torze_static} a grafu \ref{Torze_graf}.

\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
hmotnost & Zatezovani [°] & Odlehcovani [°] \\ \hline
0 & 290 & 291 \\ \hline
101 & 302 & 305 \\ \hline
202 & 312 & 317 \\ \hline
303 & 324 & 329 \\ \hline
404 & 336 & 341 \\ \hline
505 & 350 & 350 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Statická torze drátu}
\label{torze_static}
\end{table}
 
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[width=150mm]{torze.pdf} 
\end{center}
\caption{Torze drátu}
\label{Torze_graf}
\end{figure} 

Po výpočtu nám vyšel modul pružnosti ve smyku 91 GPa.

Posledním měřením bylo požití torzního kyvadla k měření modulu pružnosti ve smyku. Zde jsme zvolili dvě různé vzdálenosti závaží a změřili pro ně periodu kmitů.Pro vzdálenost závaží 31mm nám vyšla perioda 5,91s a pro vzdálenost 222mm 16,8s. Po zjištění potřebných momentů setrvačnosti již bylo možné vypočítat hodnotu modulu pružnosti ve smyku 83,2 GPa.  
 
\section{Diskuse}
Při měření bylo poměrně komplikované určit správné rozměry měřených profilů. zvláště pak výšku nosníku kde bylo třeba mikrometrem měřit přesně kolmo k jeho ose, tuto jsem vyhodnotil jako nepřesnou a výšku se pokusil změřit posuvným měřítkem o kterém mám ale nyní podezření, že mohlo proměřovat až o 0,2mm, což je hodnota kterou bych od měřícího prostředku tohoto typu nečekal.  Výsledkem je, že měření jsou zatížena poměrně neznámou chybou určení rozměrů. Na druhou stranu si ale myslím, že výsledné moduly pružnosti vyšly v celku reálné, takže konečná chyba nebude velká.

\section{Závěr}
Z výsledků měření vidíme že hodnota modulu pružnosti v tahu se u ocelových materiálů pohybuje okolo 160 GPa zatímco, modul pružnosti ve smyku má menší hodnoty v oblasti 80 GPa. Tento fakt vysvětluje známou snahu konstruktérů ocelové díly namáhat pouze na tah a vyhnout se namáhání na zkrut a střih.  

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{pruznost}{Zadání úlohy 2 - Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku} \href{http://praktika.fjfi.cvut.cz/Pruznost/}{http://praktika.fjfi.cvut.cz/Pruznost/}
\end{thebibliography}
\end{document}