Určení Poissonovy konstanty vzduchu

Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz

30.11.2009

Abstrakt

1 Úvod

1. Změřte kompresí plynu objem baňky systému s kmitajícím pístkem.

2. Změřte Poissonovu konstantu metodou adiabatické expanze a současně metodou kmitajícího pístku.

3. Oba výsledky porovnejte. Výsledek metody kmitajícího pístku považujte za tabulkovou hodnotu Poissonovy konstanty.

2 Úvod

2.1 Modul pružnosti v tahu

Poissonova konstanta κ je poměr měrného tepla C_{P} při stálém tlaku ke měrnému teplu C_{V} při stálém objemu

κ = \frac{C_{P}}{C_{V}} .

κ má ve všech soustavách stejnou číselnou hodnotu. Pro všechny plyny je poměr specifických tepel κ větší než 1 a závisí na počtu atomů v molekule plynu. Hodnotu κ můžeme určit ze změny tlaku při adiabatickém ději, který je popsán Poissonovou rovnicí

pV^{κ} = konst.

kde p, V jsou tlak a objem plynu.

Pro měření Poissonovy konstanty vzduchu jsme mimo jiné použili Clémentovu-Désormesovu metodu. Jejíž princip spočívá ve stlačení vzduchu ve velké báni, aby měl proti vnějšímu barometrickému tlaku b přetlak h. Ten odečteme jako výškový rozdíl hladin otevřeného manometru, který je k báni připojen. Tlak vzduchu v báni je pak

p_{1} = b + h.

Příslušný objem vzduchu před adiabatickou expanzí je V_{1}, po adiabatické expanzi V_{2}. Teplotu plynu, která by měla být shodná s teplotou okolí báně rozumíme T_{1}. Vnitřek báně je od vnějšího vzduchu oddělen membránovým závěrem. Otevřeme-li jej dostatečně ale na velmi krátkou dobu, vyrovnají se tlaky uvnitř a vně na hodnotu barometrického tlaku b.

p_{2} = b.

Proběhne tedy adiabatická expanze vzduchu v báni z počátečních podmínek V_{1}, T_{1}, p_{1} do stavu určeného veličinami V_{2}, T_{2} < T_{1}, p_{2} (kde V_{2} je objem báně). Po dosti dlouhé době se teplota vzduchu v báni vyrovná na vnější teplotu T_{1} a tlak přitom stoupne o přírůstek h′, který změříme. Tato změna je izochorická. Celkový tlak je

p_{3} = b + h^{I}.

Pro první (adiabatickou) změnu stavu vzduchu dostaneme z Poissonovy rovnice za předpokladu, že vzduch můžeme považovat za ideální plyn,

\frac{p_{1}}{p_{2}} = (\frac{V_{2}}{V_{1}} )^{κ} .

Změna ze stavu V_{1}, T_{1}, p_{1} do stavu V_{3} = V_{2}, T_{3} = T_{1}, p_{3} je izotermická a platí pro ni Boyle-Mariotteův zákon

\frac{p_{1}}{p_{3}} = \frac{V_{2}}{V_{1}} .

Sloučíme-li předchozí rovnice dostaneme

κ = \frac{log(b + h) − logb}{log(b + h) − log(b + h′)}

Po odlogaritmování pak dostaneme výsledný vztah

κ = \frac{h}{h − h′}

Který ovšem neuvažuje chybu způsobenou nenulovou dobou otevření ventilu. Z toho důvodu je přesnější vytvořit aparaturu pracující na analogickém principu a ale s definovanou dobou otevření ventilu. Velice efektivním řešením tohoto problému je využít vlastností harmonických kmitů a uzávěr (píst) uvést do dynamické rovnováhy s protékajícím vzduchem. Pro takto zkonstruovanou aparaturu založenou na kmitajícím pístu lze odvodit vztah pro Poissonovu konstantu jako

κ = \frac{4mV}{T^{2}pr^{4}}

3 Postup měření

Během měření Poissonovy konstanty Clement-Desormesovo metodou jsme se snažili o maximální zkrácení času otevření ventilu, po krátkém tréninku bylo jasné, že nemá smysl dobu otevření snižovat pod mez zhruba 70ms nebot’ se nestačí dostatečně vyrovnat tlak v aparatuře s atmosférickým tlakem.

Uvedené výsledky jsou proto nad touto hranicí.

V celém průběhu měření jsme paralelně měřili Poissonovu konstantu i pomocí kmitajícího pístu. A tabulka 2 udává naměřená i vypočtená data, jako objem baňky jsme zvolili asistentem doporučený objem 0, 001067m^{3} jelikož ho nebylo možné změřit žádným z v návodu [1] popsaných postupů.

Tabulka 1: Naměřené hodnoty Poissonovy konstanty Clement-Desormesovo metodou

h1 [mm] t[ms] h2 [mm] t[ms] κ
31,5  88  9,10  88 1,41
31,2  85  9,00  85 1,41
31,4  103  9,20  103 1,41
31,2  130  8,70  130 1,39
31,4  138  8,50  138 1,37

Tabulka 2: Pocty period pistu v petiminutovem mericim intervalu a vypoctena hodnota Poissovnovy konstanty

\begin{matrix}period & κ \\ 859 & 1,27 \\ 862 & 1,28 \\ 865 & 1,29 \\ 863 & 1,29 \\ 864 & 1,29 \\ 865 & 1,29 \\ 866 & 1,29 \\ 867 & 1,30 \\ 858 & 1,27 \\ 862 & 1,28 \\ 866 & 1,29 \\ 870 & 1,31 \\ 872 & 1,31 \end{matrix}

4 Diskuse

Z výsledků naměřených v chronologickém pořadí lze vypozorovat mírnou stabilní variaci v průběhu měření. Tento jev by mohl být způsoben bud’ změnou vlastností aparatury, nebo skutečně změnou složení vzduchu. Nejpravděpodobnější asi bude kombinace obou těchto jevů. Kdy při měření metodou kmitajícího pístu může docházet k mírným změnám v průtoku vzduchu a navíc i doby po které čítač počítá kmity válečku nemusí být úplně časově ekvidistantní. Zřejmé také je, že v místnosti, která není příliš větraná se pohybuje značné množství lidí kteří souhrnně obohacují vzduch o víceatomové molekuly..

5 Závěr

Závěrem lze říci že hodnota Poissonovy konstanty vzduchu za běžných podmínek leží někde okolo hodnoty 1,35. Což je v souladu s předpokladem, že vzduch obsahuje převážně dvou nebo více atomové plyny.

Reference

[1] Měření  dutých  objemů  vážením  a  kompresí  plynu

http://praktika.fjfi.cvut.cz/objemy/