Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}

% Here it is: the code that adjusts justification and spacing around caption.
\makeatletter
% http://www.texnik.de/floats/caption.phtml
% This does spacing around caption.
\setlength{\abovecaptionskip}{2pt}   % 0.5cm as an example
\setlength{\belowcaptionskip}{2pt}   % 0.5cm as an example
% This does justification (left) of caption.
\long\def\@makecaption#1#2{%
\vskip\abovecaptionskip
\sbox\@tempboxa{#1: #2}%
\ifdim \wd\@tempboxa >\hsize
#1: #2\par
\else
\global \@minipagefalse
\hb@xt@\hsize{\box\@tempboxa\hfil}%
\fi
\vskip\belowcaptionskip}
\makeatother


\begin{document}

\pagestyle{empty} %nastavení stylu stránky
\def\tablename{\textbf {Tabulka}}

\pagestyle{empty} %nastavení stylu stránky
\def\tablename{\textbf {Tabulka}}

\begin {table}[tbp]
\begin {center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\multicolumn{ 2}{|c|}{\Large \bfseries FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE \huge\strut} \\ \hline
\textbf{Datum měření:} {8.4.2011} & \textbf{Jméno:} {Jakub Kákona} \\ \hline
\textbf{Pracovní skupina:} {4} & \textbf{Ročník a kroužek:} {Pa 9:30} \\ \hline
\textbf{Spolupracovníci:} {Jana Navrátilová} & \textbf{Hodnocení:}  \\ \hline 
\end{tabular}
\end {center}
\end {table}

\begin{center} \Large{Úloha 10: Interference a ohyb světla} \end{center}

\begin{abstract}
Cílem úlohy je vyzkoušet metody měření rozměrů kruhových otvorů a štěrbin pomocí difrakce optického záření a výsledky porovnat s klasickými metodami měření rozměrů. 
\end{abstract}

\section{Úvod}
\subsection{Zadání}
\begin{enumerate}

\item Bonus: spočítejte hodnotu konstanty $ C$ u kruhového otvoru pro 4. a 5. tmavý kroužek.
\item Rozšiřte svazek laseru pomocí dvou spojek (+250 a +50).
\item Změřte průměr tří nejmenších kruhových otvorů pomocí Fraunhoferova ohybu světla z He-Ne Laseru vlnové délky 594 nm a pomocí měřícího mikroskopu - tato měření srovnejte mezi sebou. Které měření je přesnější? (Mějte na paměti, že pokud srovnáváte přesnost dvou měření, musíte mít u obou stejné množství naměřených dat) Doporučené množství naměřených dat je 5 hodnot pro každý otvor.
\item Změřte 5 šířek štěrbiny (šířka nastavitelná šroubem) pomocí Fraunhoferova ohybu světla z He-Ne Laseru vlnové délky 594 nm a pomocí indikátorových hodinek, které se dotýkají šroubu. Místo prostého průměrování naměřených hodnot použijte ve zpracování postupnou metodu. Výsledky z indikátorových hodinek a interference srovnejte. Pro jaké šířky štěrbiny je výhodnější měření interferencí a pro jaké indikátorovými hodinkami?
\item Změřte pomocí He-Ne laseru 543 nm (zelený laser) mřížkovou konstantu optické mřížky a srovnejte s hodnotou uvedenou na mřížce.
\item Pomocí mřížky a goniometru změřte vlnovou délku hlavních spektrálních čar Rtuťové výbojky.
\item Pomocí He-Ne laseru 594 nm, dvou rovinných zrcadel a děliče svazku (Abbeho kostka) sestavte Michelsonův interferometr a změřte vlnovou délku světla laseru.

\end{enumerate}

%\begin{equation} f(t)=Ae^{-\delta t}sin \left( {\frac{2\pi}{T}t+\varphi} \right) + S^{1(2)} \end{equation}

\section{Experimentální uspořádání a metody}

\subsection{Pomůcky}

Železná deska s magnetickými stojánky, He-Ne laser Lasos LGK 7512P (593.932 nm, 5 mW), He-Ne laser Lasos LGK 7770 (543.365 nm, 5 mW), 2 zrcadla, 1 dělič svazku (Abbeho kostka), laboratorní zvedák, optická lavice s jezdci, 2 spojné čočky (+50, +250), rozptylka (-50), sada kruhových otvorů, štěrbina s nastavitelnou šířkou, držák na mřížku, opt. mřížka 600 vrypů na mm, stínítko na zdi, pásmo (5 m), měřítko (1 m), rtuťová výbojka, goniometr, lampička s reostatem, měřící mikroskop.

\subsection{Teoretický úvod}

Při odvozování vzorce ohybu na kruhovém otvoru vycházíme z Babinetova principu, který nám říká , že štěrbinu si můžeme nahradit stejně velkou plochou s nekonečně mnoha zdroji, jejichž vlny budou interferovat. Tedy pro kruhový otvor můžeme sčítat příspěvky
\begin{equation} \hbox{d}E = E_0 \frac{2\sqrt{R^2-s^2}}{\pi R^2}\hbox{d}s, \end{equation}
z toho se lze dostat k eliptickému integrálu
\begin{equation} J(C)=\int_{-1}^1\sqrt{1-u^2}\cos(2\pi C u)\hbox{d}u, \end{equation}
 Odsud je potřeba numericky získat konstantu C, ta se pak využije do finálního vztahu pro interferenční minima
\begin{equation} sin \varphi_i = C_i \frac{\lambda}{R}.\end{equation} 
K odvozování vztahu se ohybu na štěrbině se použije opět Babinetův princip a výsledný vztah pro interferenční minima je
\begin{equation} \sin\theta=\frac{m\lambda}{D}\qquad m=1,2,3,\dots. \end{equation}
Pro difrakci na mřížce se z Babinetova principu dá odvodit vztah pro hlavní interferenční maxima

\begin{equation} \lim_{\sin\vartheta\to\frac{m\lambda}{d}} \frac{I}{I_0}=N^2,    v~bodech \quad \sin\vartheta_m=\frac{2\pi m}{kd}=\frac{m\lambda}{d}, kde \quad m=0,1,2,\dots\end{equation} 


\section{Výsledky a postup měření}
\subsection{Měření průměru kruhových otvorů}
Sestavili jsme kolimátor a poté prodloužili optickou dráhu laseru pomocí zrcadel. Po umístění otvorů jsme vždy na stínítku odečítali rozměry interferenčních obrazců a zapisovali je.

\begin{table}[htbp]
\caption{Měření průměru otvoru 2mm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
 &  & naměřené & vypočtené \\ \hline
Řád & R [mm] & D  [mm] &  D [mm] \\ \hline
1 & 1.1 & 2,250 & 2.67 \\ \hline
2 & 2.7 & 2,000 & 1.99 \\ \hline
3 & 3.5 & 2,120 & 3.01 \\ \hline
4 & 4.8 & 2,120 & 2.88 \\ \hline
5 & 5.7 & 2,000 & 2.99 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{}
\end{table}

Pro otvor 2mm nám z měření na měřícím mikroskopu vyšel průměr (2,098 $\pm$ 0,093) mm  a pro měření z difrakčních obrazců (2.71 $\pm$ 0.19) mm. 
 
\begin{table}[htbp]
\caption{Měření průměru otvoru 1mm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|r|r|r|r|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{naměřené} & \multicolumn{1}{c|}{vypočtené} \\ \hline
\multicolumn{1}{|c|}{Řád} & \multicolumn{1}{c|}{R [mm]} & \multicolumn{1}{c|}{D  [mm]} & \multicolumn{1}{c|}{ D [mm]} \\ \hline
1 & 2.4 & 1,250 & 1.23 \\ \hline
2 & 5.2 & 1,120 & 1.04 \\ \hline
3 & 7.6 & 1,250 & 1.03 \\ \hline
4 & 10.1 & 1,370 & 1.01 \\ \hline
5 & 12.4 & 1,250 & 1.02 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{}
\end{table}

Pro otvor 1mm nám z měření na měřícím mikroskopu vyšel průměr (1,248 $\pm$ 0,079) mm  a pro měření z difrakčních obrazců (1.06 $\pm$ 0.08) mm. 

\begin{table}[htbp]
\caption{Měření průměru otvoru 0,5mm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|r|r|r|r|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{naměřené} & \multicolumn{1}{c|}{vypočtené} \\ \hline
\multicolumn{1}{|c|}{Řád} & \multicolumn{1}{c|}{R [mm]} & \multicolumn{1}{c|}{D  [mm]} & \multicolumn{1}{c|}{ D [mm]} \\ \hline
1 & 6 & 0,750 & 0.49 \\ \hline
2 & 11.1 & 0,670 & 0.49 \\ \hline
3 & 16.7 & 0,750 & 0.47 \\ \hline
4 & 22.1 & 0,750 & 0.46 \\ \hline
5 & 27.9 & 0,870 & 0.45 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{}
\end{table}

Pro otvor 0,5mm nám z měření na měřícím mikroskopu vyšel průměr (0,758 $\pm$ 0,064) mm  a pro měření z difrakčních obrazců (0.47 $\pm$ 0.01) mm. 

\subsection{Měření šířek šterbin}

Obdobně jako v předchozím bodě jsme postupovali i zde, ovšem nyní jsme měřili štěrbinu s proměnlivou šířkou nastavitelnou indikátorovými hodinkami.

\begin{table}[htbp]
\caption{Měřená difrakční minima pro šířku štěrbiny 1.5mm}
\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Číslo měření} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{I} [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{postupnou} [mm]$} \\ \hline
1 & 6.0 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
2 & 11.0 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
3 & 15.0 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
4 & 19.5 & 2.25 \\ \hline
5 & 24.0 & 2.17 \\ \hline
6 & 28.0 & 2.17 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Průměr} & \multicolumn{1}{l|}{} & 2.19 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Směrodatná odchylka} & \multicolumn{1}{l|}{} & 0.04 \\ \hline
\end{tabular}
\label{}
\end{table}

\begin{table}[htbp]
\caption{Měřená difrakční minima pro šířku štěrbiny 1.3mm}
\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Číslo měření} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{I} [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{postupnou} [mm]$} \\ \hline
1 & 7.8 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
2 & 12.2 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
3 & 17.7 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
4 & 22.5 & 2.45 \\ \hline
5 & 27.6 & 2.57 \\ \hline
6 & 32.6 & 2.48 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Průměr} & \multicolumn{1}{l|}{} & 2.50 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Směrodatná odchylka} & \multicolumn{1}{l|}{} & 0.05 \\ \hline
\end{tabular}
\label{}
\end{table}

\begin{table}[htbp]
\caption{Měřená difrakční minima pro šířku štěrbiny 1.1mm}
\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Číslo měření} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{I} [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{postupnou} [mm]$} \\ \hline
1 & 8.9 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
2 & 16.3 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
3 & 20.7 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
4 & 27.0 & 3.02 \\ \hline
5 & 33.2 & 2.82 \\ \hline
6 & 39.4 & 3.12 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Průměr} & \multicolumn{1}{l|}{} & 2.98 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Směrodatná odchylka} & \multicolumn{1}{l|}{} & 0.12 \\ \hline
\end{tabular}
\label{}
\end{table}

\begin{table}[htbp]
\caption{Měřená difrakční minima pro šířku štěrbiny 0.9mm}
\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Číslo měření} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{I} [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{postupnou} [mm]$} \\ \hline
1 & 11.7 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
2 & 18.2 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
3 & 24.6 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
4 & 32.9 & 3.53 \\ \hline
5 & 40.1 & 3.65 \\ \hline
6 & 47.6 & 3.83 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Průměr} & \multicolumn{1}{l|}{} & 3.67 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Směrodatná odchylka} & \multicolumn{1}{l|}{} & 0.12 \\ \hline
\end{tabular}
\label{}
\end{table}

\begin{table}[htbp]
\caption{Měřená difrakční minima pro šířku štěrbiny 0.7mm}
\begin{tabular}{|r|r|r|}
\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Číslo měření} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{I} [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_{postupnou} [mm]$} \\ \hline
1 & 14.4 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
2 & 23.7 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
3 & 33.7 & \multicolumn{1}{l|}{} \\ \hline
4 & 43.3 & 4.82 \\ \hline
5 & 53.0 & 4.88 \\ \hline
6 & 63.0 & 4.88 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Průměr} & \multicolumn{1}{l|}{} & 4.86 \\ \hline
\multicolumn{1}{|l|}{Směrodatná odchylka} & \multicolumn{1}{l|}{} & 0.03 \\ \hline
\end{tabular}
\label{}
\end{table}

\begin{table}[htbp]
\caption{$D_I$ vypočtené hodnoty štěrbin, $D_H$ změřené indikátorovými hodinkymi, +chyby}
\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|}
\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Štěrbina} & \multicolumn{1}{l|}{$D_I [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{Směrodatná odchylka$[mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$D_H [mm]$} & \multicolumn{1}{l|}{$\pm Chyba_H [mm]$} \\ \hline
1.5 & 1.48 & 0.03 & 1.5 & 0.1 \\ \hline
1.3 & 1.30 & 0.03 & 1.3 & 0.1 \\ \hline
1.1 & 1.09 & 0.05 & 1.1 & 0.1 \\ \hline
0.9 & 0.89 & 0.03 & 0.9 & 0.1 \\ \hline
0.7 & 0.67 & 0.01 & 0.7 & 0.1 \\ \hline
\end{tabular}
\label{}
\end{table}

\subsection{Mřížková konstanta}
Při tomto měření, jako jediném jsme použili zelený laser (543nm), který jsme položili na stůl a k výstupnímu otvoru přiložili mřížku. V určité vzdálenosti od mřížky jsme pozorovali na pravítku interferenční maxima laseru.

\begin{table}[htbp]
\caption{Měření mřížkové konstanty - X je pozice maxim vzhledem k 0. řádu na pravítku vzdáleném 50cm od mřížky}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Rád & X [cm] & D [mm] \\ \hline
-2 & 17.5 & 0,00164 \\ \hline
-1 & 43.3 & 0,00166 \\ \hline
1 & 17.5 & 0,00164 \\ \hline
2 & 44,3 & 0,00082 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\label{}
\end{table}

Z naměřených hodnot vychází hodnota mřížkové konstanty (0,0014  $\pm$ 0,0004) mm, což by odpovídalo 693 čarám na mm. (Na mřížce bylo uvedeno 600/mm). 

\subsection{Spektrální čáry rtuťové výbojky}
Seřídili jsme si úhloměr goniomeru na nulu, vložili mřížku, zaostřili na rtuťovou výbojku a změřili úhly pod kterými byly viditelné spektrální čáry daných barev.  
\begin{table}[htbp]
\caption{Naměřené spektrální čáry rtutové výbojky a spočtené jejich vlnové délky}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Barva & \multicolumn{1}{c|}{Úhly$ [^\circ]\pm 0,05$} & \multicolumn{1}{l|}{$\lambda [nm]$} & \multicolumn{1}{l|}{Střední kvadratická odchylka$[nm]$} \\ \hline
fialová & 15.25 & 413 & 39 \\ \hline
zelená & 18.25 & 491 & 47 \\ \hline
žlutá1 & 20.50 & 549 & 52 \\ \hline
\end{tabular}
\label{}
\end{table}

\subsection{Michelsonův interferometr}
Dle schématu jsme sestavili Michelsonův interferometr a výstupní svazek rozšířili přes rozptylku, poté jsme měřili interferenční přechody v závislosti na přibližování nebo oddalování jednoho zrcadla posunovaného mikrometrickým šroubem.
\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\caption{Naměřené a vypočtené hodnoty vlnových délek laseru pomocí Michelsonova interferometru}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
 & \multicolumn{1}{c|}{$[nm]$} \\ \hline
$\lambda 1$ & 610 \\ \hline
$\lambda 2$ & 600 \\ \hline
$\lambda 3$ & 625 \\ \hline
Průměr & 611.7 \\ \hline
Směrodatná odchylka & 10.3 \\ \hline
\end{tabular}
\label{}
\end{center}
\end{table}

\section{Diskuse}

\begin{itemize}
\item Pomocí numerických metod, se podařilo spočítat další dvě konstanty, kdy nabývá daný eliptický integrál nuly. Všech pět konstant tedy číselně vychází $C_1=0.610$, $C_2=1.117$, $C_3=1.619$, $C_4=2.121$, $C_5=2.622$.
\item Laserový svazek jsme rozšířili pomocí dvou spojek $+250$ a $+50$ použitých jako kolimátor, tak aby divergence svazku byla co nejmenší. 

\item Změřili jsme průměr tří nejmenších kruhových otvorů z karuselu, jak pomocí ohybu světla tak pomocí mikroskopu. Naměřené a vypočtené hodnoty jsou uvedeny v tabulkách 1, 2 a 3. Popřípadě v jejich popisu.

\item Změřili jsme šířky 5ti štěrbin, ohybem světla a indikátorovými hodinkami. Naměřené a vypočtené hodnoty postupnou metodou jsou v tabulkách 4-8, celkové vyhodnocení v tabulce 9. Měření ohybem světla předpokládáme zvláště výhodné při malých velikostech otvorů, naopak při větších otvorech začíná být výhodnější jiný metoda. Avšak tato hranice je relativní, neboť měření je závislé na použité vlnové délce, takže i průměry větších otvorů by při použití vhodného laseru pravděpodobně bylo možné měřit difrakční metodou.

\item Pomocí He-Ne laseru 543nm jsme změřili mřížkovou konstantu. Hodnoty jsou uvedeny v tabulce 10. Počet vrypů na 1mm jsme určili $693$ oproti hodnotě na mřížce $600$.
\item Pozorovali jsme hlavní spektra rtutové výbojky a zaznamenali jejich barvu, úhel pod kterým jsme je pozorovali. Z toho jsme vypočetli vlnovnou délku a vše zaznamenali do tabulky 11.
\item Sestrojili jsme dle návodu Michelsonův interferometr a posouváním jednoho ze zrcadel a pozorováním inteferenčních obrazců naměřili vlnovou délku daného laseru $594nm$. 
\end{itemize}

\section{Závěr}
Při měření jsme si prakticky vyzkoušeli zákon odrazu, lomu, ohybu a interference koherentního světla. Došli jsme k závěru, že ohybem se dají velmi efektivně měřit malé otvory, ale ty velké je lepší měřit jinou metodou. 

\begin{thebibliography}{10}      %REFERENCE
%\bibitem{3} doc. Ing. Ivan Štoll, CSc., \emph{Mechanika}, Vydavatelství ČVUT Praha, 1994
%\bibitem{3} $<$http://fyzika.fjfi.cvut.cz$>$

\bibitem{3} Petržílka: Fyzikální optika, Přírodovědecké nakladatelství, Praha, 1952.
\bibitem{3} Friš, Timoreva: Kurs fyziky, díl III, NČSAV, Praha, 1954.
\bibitem{3} Krauford:Volny, Nauka, 1974; ruský překlad 3. dílu Berkleyského kurzu fyziky Crawford F. S.: Waves.

\end{thebibliography}






















\end{document}