Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}

% Here it is: the code that adjusts justification and spacing around caption.
\makeatletter
% http://www.texnik.de/floats/caption.phtml
% This does spacing around caption.
\setlength{\abovecaptionskip}{2pt}   % 0.5cm as an example
\setlength{\belowcaptionskip}{2pt}   % 0.5cm as an example
% This does justification (left) of caption.
\long\def\@makecaption#1#2{%
\vskip\abovecaptionskip
\sbox\@tempboxa{#1: #2}%
\ifdim \wd\@tempboxa >\hsize
#1: #2\par
\else
\global \@minipagefalse
\hb@xt@\hsize{\box\@tempboxa\hfil}%
\fi
\vskip\belowcaptionskip}
\makeatother


\begin{document}

\pagestyle{empty} %nastavení stylu stránky
\def\tablename{\textbf {Tabulka}}

\begin {table}[tbp]
\begin {center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\multicolumn{ 2}{|c|}{\Large \bfseries FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE \huge\strut} \\ \hline
\textbf{Datum měření:} {5.5.2011} & \textbf{Jméno:} {Jakub Kákona} \\ \hline
\textbf{Pracovní skupina:} {4} & \textbf{Ročník a kroužek:} {Pa 9:30} \\ \hline
\textbf{Spolupracovníci:} {Jana Navrátilová} & \textbf{Hodnocení:}  \\ \hline 
\end{tabular}
\end {center}
\end {table}

\begin{center} \Large{Úloha 1: Kondenzátor, mapování elektrického pole} \end{center}

\begin{abstract}
Cílem našeho měření bylo ověření silového působení mezi náboji a zmapování rozložení elektrického pole.
\end{abstract}

\section{Úvod}
\subsection{Zadání}
\begin{enumerate}

\item  DÚ: Připomeňte si odvození kapacity deskového kondenzátoru.
\item  DÚ: Bezpečnostní normy připouštějí maximální náboj $50\mu C$ na deskách kondenzátoru. Stanovte jednu náhodnou geometrii deskového kondenzátoru, který by překročil tuto normu při napětí $100 kV$.
\item  Změřte přitažlivé síly mezi deskami kondenzátoru pro různé vzdálenosti desek. Náboj přivádějte až do průrazu mezi deskami kondenzátoru. Napětí odhadněte z dielektrické pevnosti vzduchu. Naměřené hodnoty silového působení změřené na vahách porovnejte s předpovědí ze vztahu \eqref{h}.
\item \label{tri}  Změřte přitažlivé síly mezi deskami kondenzátoru pro tři různé vzdálenosti desek (dle distancí). Náboj přivádějte až do průrazu na kulovém jiskřišti Wimshurstovy elektriky. Ze silového působení spočtěte napětí \eqref{h} a ze vztahu \eqref{ll} se pokuste určit neznámou funkci $f(s/D)$. Experimentální data a nalezenou funkci zpracujte do grafu.
\item  Zvolte si různé konfigurace elektrod, nastavte na nich napětí cca $10V$ a zmapujte potenciál v síti $12\times12$ bodů. Vyhodnoťte pomocí příslušného software v systému Linux (odečítání dat voltmetru, gnuplot). Data si zazálohujte a proveďte důkladné vyhodnocení v domácím zpracování.\end{enumerate}


\section{Experimentální uspořádání a metody}

\subsection{Pomůcky}

Wimshurstova elektrika, váhy, deskový kondenzátor, podstavec, vodiče, sada distancí, zkratovač, regulovatelný zdroj 20V, souprava pro mapování elektrostatického pole, voltmetr.

$\\$

\subsection{Teoretický úvod}

\subsection{Kondenzátor}
Kondenzátor je soustava dvou elektrod, které umožňují uchovávání elektrického náboje. Důležitá charakteristika kondenzátoru je jeho kapacita $C$ -- konstanta úměrnosti  mezi velikostí náboje $Q$ na každé z elektrod a přivedeným napětím $U$.
\begin{equation}
 Q= C \cdot U \label{kkk}.
\end{equation}
Kapacita kondenzátoru závisí na geometrickém uspořádání elektrod a relativní permitivitě okolního prostředí.

Speciálně pro kondenzátor tvořený dvěma rovnoběžnými deskami (ve vzájemné vzdálenosti $d$) ve vzduchu ($\varepsilon \simeq \varepsilon_0 $), lze kapacitu najít využitím Gaussova zákona:
\begin{equation}
 U = E\cdot d \quad\stackrel{Gauss}{=} \quad \frac{\sigma d}{\varepsilon} = \underbrace{\frac{d}{\varepsilon S}}_{1/C}Q \quad \Rightarrow \quad C = \frac{\varepsilon S}{d}.
\end{equation}

Bezpečnostní normy připouštějí maximální náboj $50\mu C$ na deskách kondenzátoru. Uvažujeme - li napětí 100~kV a plochu deskového kondenzátoru \vel{1}{m^{2}}, dostáváme mezní vzdálenost kondenzátorových desek
\begin{equation*}
 d=\frac{\varepsilon S U}{Q} = 1.77\jed{cm}.
\end{equation*}

Nabité desky kondenzátoru na sebe vzájemně působí elektrostatickou přitažlivou silou
\begin{equation}
 F = \varepsilon\frac{ U^{2} S}{2 d^2} \label{h}
\end{equation}

Napětí na kondenzátoru je však shora omezeno dielektrickou pevností okolního prostředí (v našem případě vzduchu: $30 kV\, cm^{-1}$). V pracovním úkolu \ref{tri} využijeme dobře definovaného průrazného napětí na kulovém jiskřišti
\begin{align}
  U_a &= 27.75 (1+\frac{0.757}{\sqrt{\delta D}}) \delta\frac{s}{f}\\ \label{ll} 
  \delta &= \frac{b}{760}\cdot\frac{273+20}{273+t}
\end{align}
kde $U_a$ je napětí [kV], $s$ doskok, tedy vzdálenost mezi kuličkami jiskřiště [cm], $D$ průměr koulí [cm],  relativní hustota vzduchu, $b$ barometrický tlak [mm rtuťového sloupce], $t$ teplota v místnosti [$^oC$] a funkce $f$ je závislá na poměru $s/D$ a na poloze jiskřiště proti zemi.


\section{Výsledky a postup měření}

\subsection{Kondenzátor}
\subsubsection{Průraz na deskách kondenzátoru}

Po maximálním vyrovnání desek jsme zvyšovali jejich náboj až do průrazného napětí a zároveň sledovali silové působení na analytické váze.

\begin{table}[htbp]
\begin{center}
\begin{tabular}{|ccccc|}
\hline
$d$ [mm] & $U$ [kV] & $m$ [g] & $F$ [N]  & chyba  \\ \hline
24      &72     &26     &0.255  &0.008 \\
19      &57     &34.2   &0.336  &0.029 \\
32      &96     &19.15  &0.188  &0.020 \\
35      &105    &17.2   &0.169  &0.015 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Naměřené a vypočtené hodnoty pro průraz na deskách kondenzátoru}
\label{kon}
\end{table}

\begin{figure}
\begin{center}
\label{amplituda}
\includegraphics [width=150mm] {pruraz_kondenzator.png} 
\caption{Naměřené hodnoty síly působící na desky v závislosti na jejich vzdálenosti} 
\end{center}
\end{figure}

\subsubsection{Průraz na jiskřišti}

Měření probíhalo za teploty 25,5 $^\circ$C A tlaku 764 Torr (101858 Pa).

\begin{table}[htbp]
begin{center}
\caption{Naměřené a vypočtené hodnoty pro průraz na jiskřišti}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
s [cm] & U [kV] & F [N] & f (s) \\ \hline
2,00 & 7,84 & 0,01 & 947,15 \\ 
3,00 & 11,48 & 0,01 & 970,25 \\ 
4,00 & 14,52 & 0,02 & 1022,82 \\ 
5,00 & 17,78 & 0,04 & 1044,11 \\ 
6,00 & 20,54 & 0,05 & 1084,57 \\ 
7,00 & 23,53 & 0,06 & 1104,54 \\ 
8,00 & 26,51 & 0,08 & 1120,43 \\ 
9,00 & 28,74 & 0,09 & 1162,69 \\ 
10,00 & 30,8 & 0,11 & 1205,47 \\ \hline
\end{tabular}
\label{}
\end{center}
\end{table}

Nalezená funkce \[f(s) = 31.1 * d + 886.9 \]

\subsection{Mapování elektrického pole}

Mapování elektrického pole bylo realizováno měřením potenciálu ve skleněné kádince naplněné vodou ve které byly umístěny elektrody v několika konfiguracích. Rozložení pak bylo měřeno ve čtvercové síti s rastrem 5mm. 

\begin{figure}
\begin{center}
\label{amplituda}
\includegraphics [width=150mm] {./data_rozlozeni/kondenzator.png} 
\caption{Rozložení pole pro případ dvou paralelních elektrod opačných potenciálů} 
\end{center}
\end{figure}


\begin{figure}
\begin{center}
\label{amplituda}
\includegraphics [width=150mm] {./data_rozlozeni/opacneelektrody.png} 
\caption{Rozložení pole pro případ dvou bodových elektrod opačných potenciálů} 
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\label{amplituda}
\includegraphics [width=150mm] {./data_rozlozeni/stejneelektrody.png} 
\caption{Rozložení pole pro případ dvou bodových elektrod stejného potenciálu} 
\end{center}
\end{figure}


\section{Diskuse}
\begin{itemize}
\item Zopakovali jsme si odvození kapacity deskového kondenzátoru

\item Zjistili jsme, že deskový kondenzátor o ploše 1m$^2$ nabitý na 100kV začíná být podle norem nebezpečný při vzdálenosti desek menší, než 1cm. Vzhledem k rozměrům kondenzátoru v praktiku a elektrické pevnosti vzduchu, není reálně možné bezpečnostní normu překročit.

\item Změřili jsme silové působení desek kondenzátoru při mezním průrazném napětí, avšak naměřený výsledek se příliš neshoduje s předpokládanou konstantní přitažlivou silou 0,9 N, které jsme při měření nedosáhli. Navíc měřená síla v průběhu měření klesala i přes to, že by měla být v tomto rozsahu nezávislá na vzdálenosti desek. Pravděpodobně to bylo způsobeno zbytkovou ionizací prostředí okolo kondenzátoru, kterou se nepodařilo odstranit ani výměnou vzduchu.
 
\item Podařilo se určit neznámou funkci f(s) jako \[f(s) = 31.1 * d + 886.9 \].

\item Zmapovali jsme pole v hrubé síti mezi elektrodami různých konfigurací. 
 
\end{itemize}

\section{Závěr}

Měřením byla úspěšně potvrzena většina teoretických předpokladů, kromě předpokládané konstantní závislosti působící síly mezi deskami kondenzátoru s napěťovým omezením daným elektrickou pevností dielektrika. 

\begin{thebibliography}{10}

\end{thebibliography}
\end{document}