Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}

\begin{document}

\section*{Řešení 10. zadané úlohy          -        Jakub Kákona}

\begin{enumerate}
\item

Protože máme zadaná vlastní čísla, můžeme určit požadovaný charakteristický polynom pozorovatele.

\begin{equation}
p(s) = (s + 2)^3 = s^3 +6s^2 + 12s + 8. 
\end{equation}

\begin{enumerate}

\item
Určíme pozorovatele z obecného tvaru zavedením vektoru
 $K =
\left[ \begin{array}{c}
a \\
b \\
c \\
\end{array}
\right]$

A dosazením do charakteristického polynomu pozorovatele
\\

\begin{equation}
\det[s I - (A - K C)] = 
\det \left( 
\left[ \begin{array}{ccc}
s & 0 & 0 \\
0 & s & 0 \\
0 & 0 & s \\
\end{array} \right]
-
\left[ \begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 0 \\
-b & 0 & 1 \\
-c & 3 & -1 \\
\end{array} \right] \right) \\ 
\end{equation}  

Tím získáme polynom: 

\begin{equation}
s^3 + (a+1)s^2 + (a + b-3) s - 3a + b + c
\end{equation}  

Srovnáním koeficientů u obou polynomů zjistím, že stavová injekce pozorovatele musí být $K =
\left[ \begin{array}{c}
5 \\
10 \\
13 \\
\end{array}
\right]$
 
\item 
 
Sestavíme matici pozorovatelnosti a její inverzi    
 
\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
C A\\
C A^2\\
\end{array}
\right]= 
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right] = O^{-1}
\end{equation} 
 
Matici stavové injekce pozorovatele lze pak určit podle Ackermanova vztahu. 


\begin{equation}
K = p(s) A O^{-1} e_n =
\left( A +
\left[ \begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{array}
\right]
\right)^3
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right]
=
\left[ \begin{array}{c}
5 \\
10 \\
13 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}


\end{enumerate}



\item 


Odhadovač stavu s minimální odchylkou je dán rovnicí

\begin{equation}
K^* = P^* _e C^T V^{-1}
\end{equation}

Kde $P^* _c$ je pozitivně definitní řešení Riccatiovy rovnice:


\begin{equation}
 P_e A^T + A P_e - P_e C^T V^{-1} P_e + W = 0
\end{equation}

Po dosazení zadaných hodnot se výraz zjednodušuje na 

\begin{equation}
 P_e \alpha + \alpha P_e - P_e^2 + \omega ^2 = 0
\end{equation}

Úpravami tohoto výrazu dostaneme řešení 

\begin{equation}
P^* _e = \alpha + \sqrt{ \alpha ^2 + \omega ^2}
\end{equation}


Díky zadání ale víme, že $K^* = P^* _e$, proto:
\begin{equation}
K^*  = \alpha + \sqrt{ \alpha ^2 + \omega ^2}
\end{equation}


\item

Systém je v pozorovatelné formě složen z jediného bloku a index pozorovatelnosti je proto 3. 

Pozorovatel bude proto také tvořen jedním blokem následujícího tvaru. S nulovými vlastními čísly. 


\begin{equation}
A_d = 
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

Matice pak může být sestavena z kombinace posledních sloupců matic $A_d$, $A$, $C$.

\begin{equation}
K = 
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right]
-
\left[ \begin{array}{c}
3 \\
2 \\
1 \\
\end{array}
\right]
=
\left[ \begin{array}{c}
-3 \\
-2 \\
-1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

Ještě ověříme platnost $A - KC = A_d$

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 3 \\
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{array}
\right]
-
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 0 & -3 \\
0 & 0 & -2 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{array}
\right]
=
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]
=A_d
\end{equation} 

Odchylka odhadu bude nulová za minimální počet kroků L=3, protože 


\begin{equation}
A_d=
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right],
A_d ^2=
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right],
A_d ^3=
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 
 

\item


Zavedeme si stavy systému $x(t) = x_1, \dot{x}(t)=x_2$

Potom dostaneme stavové rovnice 

\begin{eqnarray}
\dot{x}_1 =& x_2\\
\dot{x}_2 =& -\omega ^2 x_1\\
\end{eqnarray}

A stavový popis:

\begin{eqnarray} 
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
- \omega ^2 & 0 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]\\
y =&
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
\end{eqnarray}

Požadovaný charakteristický polynom pozorovatele potom bude:

\begin{equation}
a_d = (s + 5 \omega)^2 = s^2 + 10 \omega s + 25 \omega ^2
\end{equation}

Opět použijeme pro určení pozorovatele přímou metodu:

\begin{equation}
\det[s I - (A - K C)] = 
\det \left( 
\left[ \begin{array}{cc}
s & 0 \\
0 & s \\
\end{array} \right]
-
\left[ \begin{array}{cc}
-1 &  1 - a \\
\omega ^2 &  -b \\
\end{array} \right] \right) \\ 
\end{equation}

\begin{equation}
s^2 + bs - \omega ^2 a + \omega ^2
\end{equation}

Porovnáním obou polynomů určíme koeficienty vektoru stavové injekce $K =
\left[ \begin{array}{c}
-24 \\
10 \omega \\
\end{array}
\right]$

\item

Zavedeme si popis systému $\theta = x_1, \dot{\theta}=x_2$. Ze zadání potom platí: $\dot{x_1} = x_2, \dot{x}_2= - x_2 + u$


Maticový popis systému pak vypadá následovně:

\begin{eqnarray} 
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right]u
\\
y =&
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
\end{eqnarray}

\begin{enumerate}

\item

Vzhledem k požadovaným vlastním číslům, je charakteristický polynom pozorovatele: 

\begin{equation}
a_d = (s + 5)^2 = s^2 + 10 s + 25
\end{equation}

Opět využijeme charakteristický polynom v obecném tvaru 

\begin{equation}
\det[s I - (A - K C)] = 
\det \left( 
\left[ \begin{array}{cc}
s & 0 \\
0 & s \\
\end{array} \right]
-
\left[ \begin{array}{cc}
-a &  1 \\
-b &  -1 \\
\end{array} \right] \right) \\ 
\end{equation}

\begin{equation}
s^2 + s (a + 1) - a + b
\end{equation}

Porovnáním koeficientů polynomů zjistíme, že $K =
\left[ \begin{array}{c}
9 \\
16 \\
\end{array}
\right]$

\item

Nevim.

\end{enumerate}


\end{enumerate} 
\end{document}