Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}

\begin{document}

\section*{Řešení 12. zadané úlohy          -        Jakub Kákona}

\begin{enumerate}
\item

Sestavíme minimální realizaci sytému v řiditelné formě

\begin{equation}
D_c = \lim _{ s \to \infty} H_1(s) = 0
\end{equation}

\begin{equation}
C_c=[b_0, b_1, \cdots , b_{n-1} ] = \left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\end{array}\right]
\end{equation}

\begin{equation}
A_c = \left[ \begin{array}{cccc}
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots  \\
0 & 0 & \cdots & 1 \\
-a_0 & -a_1 & \cdots & -a_{n-1} \\
\end{array}
\right] =
 \left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

\begin{equation}
B_c = \left[\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array}\right]
\end{equation}

Potřebujeme vybrat takové matice 
$F =  \left[\begin{array}{cc}
a & b \\
\end{array}\right]$,
$K =  \left[\begin{array}{c}
c \\
d \\
\end{array}\right]$, že vlastní čísla matic $A + BF$ a $A -KC$ budou mít zápornou reálnou část.  


\begin{equation}
\det(sI - (A + BF)) = s^2 - sb - a \\
F = \left[\begin{array}{cc}
-1 & -2 \\
\end{array}\right]
\end{equation}

\begin{equation}
\det(sI - (A + KC)) = s^2 + sc + d \\
K = \left[\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
\end{array}\right]
\end{equation}

Stabilizující regulátory $H_2$ mají tuto stavovou reprezentaci:

\begin{eqnarray}
\dot{x} =& Ax + Bu +K(y-(Cx + Du))\\
u =& Fx +K'(q)(y-(Cx + Du))
\end{eqnarray}

Kde $K'(q)$ je stabilní ryzí matice. 
Po dosazení známých hodnot dostaneme všechny ryzí regulátory $H_2$ stabilizující systém $H_1$

\begin{eqnarray} 
\dot{x} =&
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right]x
+
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right]u
+
\left[ \begin{array}{c}
2 \\
1 \\
\end{array}
\right](y-
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
\end{array}
\right]x)\\
u =&
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
\end{array}
\right] + K'(q)(y-
\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \end{array} \right]
x)
\end{eqnarray}

\item 

\item

\item

\begin{enumerate}
\item 

Stavová reprezentace systému pro případ  $\theta = x_1, \dot{\theta}=x_2$ stejná jako v případě úkolu 10.

\begin{eqnarray} 
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x}_1 \\
\dot{x}_2 \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right]u
\\
y =&
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
\end{eqnarray}

\item
Podmínka požaduje charakteristický polynom systému se stavovou zpětnou vazbou ve tvaru

\begin{equation}
(s + 1) (s + 1) = s^2 + 2s + 1
\end{equation}

\begin{equation}
\det(sI - (A + BF)) = s^2 - s(1 - b) - a
\end{equation}

Kde $ F = \left[\begin{array}{cc}
a & b \\
\end{array}\right]$

Porovnáním koeficientů obou polynomů dostaneme matici stavové zpětné vazby 
\begin{equation}
F = \left[\begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
\end{array}\right]
\end{equation}


\item
Podmínka požaduje charakteristický polynom pozorovatele ve tvaru

\begin{equation}
(s + 5) (s + 5) = s^2 + 10s + 25
\end{equation}

Obecný charakteristický polynom pozorovatele je 

\begin{equation}
\det(sI - (A + KC)) = s^2 - s(1 - a) + a +b
\end{equation}

Kde $ K = \left[\begin{array}{c}
a \\
b \\
\end{array}\right]$

Porovnáním koeficientů obou polynomů dostaneme matici stavové zpětné vazby 
\begin{equation}
K = \left[\begin{array}{cc}
9  \\
16 \\
\end{array}\right]
\end{equation}

\item

Stavový popis systému systému s pozorovatelem a stavovou zpětnou vazbou je


\begin{eqnarray} 
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x} \\
\dot{\hat{x}} \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
A & BF\\
KC & A- KC + BF \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
B \\
B \\
\end{array}
\right]r
\\
y =&
\left[ \begin{array}{cc}
C & DF \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x \\
x \\
\end{array}
\right]
+
Dr
\end{eqnarray}

Po dosazení dostaneme:

\begin{eqnarray} 
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x} \\
\dot{\hat{x}} \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & -1 & -1 \\
9 & 0 & -9 & 1 \\
16 & 0 & -17 & -2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x \\
\hat{x} \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right]r\\
y =&
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x \\
\hat{x} \\
\end{array}
\right]
\end{eqnarray}
Přenos tohoto systému pak je:
\begin{equation}
H(s)= C (sI - A)^{-1} B + D =
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right] 
\left[ \begin{array}{cccc}
s & -1 & 0 & 0 \\
0 & s + 1 & 1 & 1 \\
-9 & 0 & s+9 & -1 \\
-16 & 0 & 17 & s + 2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right] = \frac{1}{(s+1)^2}
\end{equation}

Charakteristický polynom systému je 

\begin{equation}
\det(sI - A ) = (s + 5)^2 (s + 1)^2
\end{equation}

Vlastní čísla leží na záporné ose a systém je stabilní. 

Pozorovatelnost celkového systému:

\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
C A\\
\end{array}
\right]= 
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & -1 & -1 \\
-25 & 1 & 27 & 2 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 
 
Hodnost matice pozorovatelnosti je 4 a systém je  pozorovatelný.


Ověříme řiditelnost systému 

\begin{equation}
C = \left[ \begin{array}{cc}
B & AB \\
\end{array}
\right]= 
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 1 & -2 & 3 \\
1 & -2 & 4 & -4 \\
0 & 1 & -2 & 3 \\
1 & -2 & 3 & -4 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Hodnost matice řiditelnosti je 2 a není úplně řiditelný.
\end{enumerate}



\item
\begin{enumerate}

\item

Podmínka požaduje charakteristický polynom systému se stavovou zpětnou vazbou ve tvaru

\begin{equation}
(s + 0,5 +0,5j) (s + 0,5 + 0,5j) = s^2 + s + 0,5
\end{equation}

Obecný charakteristický polynom je 

\begin{equation}
\det(sI - (A + BF)) = s^2 + sb + a - 1
\end{equation}

Kde $ F = \left[\begin{array}{cc}
a & b \\
\end{array}\right]$

Porovnáním koeficientů obou polynomů dostaneme matici stavové zpětné vazby 
\begin{equation}
F = \left[\begin{array}{cc}
\frac{3}{2} & 1 \\
\end{array}\right]
\end{equation}

\item

Podmínka požaduje charakteristický polynom systému se stavovou zpětnou vazbou ve tvaru

\begin{equation}
(s + \alpha +j) (s + \alpha - j) = s^2 + \alpha s + \alpha ^2 + 1
\end{equation}

Obecný charakteristický polynom  pozorovatele je 

\begin{equation}
\det(sI - (A - KC)) = s^2 + sa + b - 1
\end{equation}

Kde $ K = \left[\begin{array}{c}
a \\
b \\
\end{array}\right]$

Porovnáním koeficientů obou polynomů dostaneme matici stavové injekce 
\begin{equation}
K = \left[\begin{array}{c}
2 \alpha \\
\alpha ^2 + 2 \\
\end{array}\right]
\end{equation}

\item

Stavový systém s pozorovatelem a stavovou zpětnou vazbou využívající pozorovatelem odhadované stavy je 

\begin{eqnarray} 
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x} \\
\dot{\hat{x}} \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cc}
A & BF\\
KC & A- KC + BF \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x \\
\hat{x} \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
B \\
B \\
\end{array}
\right]r
\\
y =&
\left[ \begin{array}{cc}
C & DF \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x \\
\hat{x} \\
\end{array}
\right]
+
Dr
\end{eqnarray}

Po dosazení dostaneme: 

\begin{eqnarray} 
\left[ \begin{array}{c}
\dot{x} \\
\dot{\hat{x}} \\
\end{array}
\right] =&
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & -\frac{3}{2} & -1 \\
2 \alpha & 0 & 2 \alpha & 1 \\
\alpha ^2 + 2 & 0 & - \alpha ^2 - \frac{5}{2}  & -1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x \\
\hat{x} \\
\end{array}
\right]
+
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
0 \\
-1 \\
\end{array}
\right]r\\
y =&
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
x \\
\hat{x} \\
\end{array}
\right]
\end{eqnarray}

\end{enumerate}














\end{enumerate}

\end{document}