Subversion Repositories svnkaklik

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}

\begin{document}

\section*{Řešení 4. zadané úlohy           -        Jakub Kákona}

\begin{enumerate}
\item 

Problém se pravděpodobně řeší vypočtením gramiánu. A řešením získané soustavy. 

Vstup který změní stav systému z nuly na stav $\alpha$ pravděpodobně udrží stav $\alpha$ i nadále, neboť hodnota vstupu pravděpodobně postupně během časového intervalu T klesne k nule. 
 
\item
Můžeme spočítat matici dosažitelnosti systému

\begin{equation}
C_k = \left[B, AB, A^2B \right]
= \left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1  \\
1 & 1 & 1  \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

$h(C_k=2)$ proto je dosažitelný podprostor generován dvěma lineárně nezávislými vektory 

\begin{equation}
u = \left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1 \\
\end{array}
\\
\right]
v = \left[ \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 
 
Aby stav systému $x^1$ byl dosažitelný, musí být součástí dosažitelného prostoru. tj. lze jej nakombinovat z báze dosažitelného prostoru.  

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
3 \\
3 \\
\end{array} \right] = a \left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1 \\
\end{array}
\right]
+
b \left[ \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

Obecně jsou koeficienty a, b reálné a jsou souřadnicemi všech dosažitelných stavů.

Řešením této soustavy je například $a=2$, $b=1$. Stav $x^1$ je proto určitě dosažitelný. 

Vstup $u(k)$ potřebný k dosažení  stavu $x^1$ vypočteme ze vztahu 

\begin{equation}
C_k U_k = x^1 - A^k x^0
\end{equation} 

Vzhledem k tomu, že požadovaná počáteční podmínka je $x=0$. Tak předchozí rovnice přejde na tvar: 

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{array}
\\
\right]
\left[ \begin{array}{c}
u(1) \\
u(0) \\
\end{array}
\right]
=\left[ \begin{array}{c}
1 \\
3 \\
3 \\
\end{array}
\\
\right]
\end{equation} 

Rešením této soustavy je vstupní sekvence, která způsobí přechod systému ze stavu $x=0$ do stavu $x^1$  za dva kroky 

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{c}
u(1) \\
u(0) \\
\end{array}
\right]
=\left[ \begin{array}{c}
2 \\
1 \\
\end{array}
\\
\right]
\end{equation} 

\item
Systém (A,B) je řiditelný v případě, že matice $[\lambda I - A, B]$ má plnou hodnost pro každé z n vlastních čísel $\lambda _i$ matice A.

Je proto nutné zjistit vlastní čísla matice A. 

\begin{equation}
\det (\lambda I - A) = 
\det \left[ \begin{array}{cccc}
\lambda & 0 & -1 & 0 \\
0 & \lambda & 0 & 0 \\
0 & 0 & \lambda - 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda - 1 \\
\end{array}
\right]
= s^2(s-1)^2 \longrightarrow \lambda_{1,2}=0 \lambda_{3,4}=1 
\end{equation} 

Spočítáme hodnost matice pro vlastní čísla 0. 
  
\begin{equation}
h(\lambda _{1,2} I - A, B) = 
h \left( \left[ \begin{array}{cccccc}
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right] \right)
= 3
\end{equation} 
 
Matice nemá plnou hodnost pro nulová vlastní čísla a proto jsou módy odpovídající těmto vlastním číslům neřiditelné. 

\begin{equation}
h(\lambda _{3,4} I - A, B) = 
h \left( \left[ \begin{array}{cccccc}
1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right] \right)
= 4
\end{equation} 

Matice má plnou hodnost pro vlastní čísla $\lambda_{3,4}=1$  a módy odpovídající těmto vlastním číslům jsou proto řiditelné. 
 
\item
Najdeme matice převodu do diskrétního tvaru. 

\begin{equation}
\tilde{A} = e ^{At} = L ^{-1} \left\{ (s I - A) ^{-1} \right\} = L ^{-1} \left\{ 
\left[ \begin{array}{cc}
\frac{s}{s^2+1} & \frac{s}{s^2+1}\\
\frac{-1}{s^2+1} & \frac{s}{s^2+1}\\
\end{array}
\right] \right\} = 
\left[ \begin{array}{cc}
\cos T & \sin T \\
- \sin T & \cos T\\
\end{array}
\right]
\end{equation}

\begin{equation}
\tilde{B} = \left( \int ^T _0 e ^{At} dt \right) B =
\left[ \begin{array}{cc}
\sin t & - \cos t \\
\cos t & \sin t \\
\end{array}
\right]^T _0 
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right] =
\left[ \begin{array}{c}
1 - \cos T \\
 \sin T \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Matice dosažitelného prostoru diskrétního systému pak je 

\begin{equation}
C_k = \left[ \tilde{B}, \tilde{A}\tilde{B} \right] = 
\left[ \begin{array}{cc}
1 - \cos T & \cos T - \cos ^2 T + \sin ^2 T \\
\sin T & \sin T - \cos T \sin T + \cos T \sin T \\
\end{array}
\right]
=\\
\left[ \begin{array}{cc}
1 - \cos T & \cos T - 1 \\
\sin T & \sin T \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Aby systém mohl být řiditelný, musí mít matice $C_k$ plnou hodnost. To znamená že $T \neq k \pi , k \in Z$ 
 
\item

Opět potřebujeme matici dosažitelného prostoru stavů:

\begin{equation}
C_k = \left[ B, AB \right] =
\left[ \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 1 \\
1 & 2 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Vidíme, že matice má hodnost 2. prostor dosažitelných stavů je proto generován dvěma lineárně nezávislými vektory. Protože víme, že každý dosažitelný stav je řiditelný, určíme řiditelné stavy, jako libovolnou lineární kombinaci vektorů generujících dosažitelný podprostor.  

\begin{equation}
x = \alpha
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
1 \\
\end{array}
\right]
+
\beta \left[ \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
2 \\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{c}
\beta \\
\alpha + \beta \\
\alpha + 2 \beta \\
\end{array}
\right]\\
\alpha , \beta \in R
\end{equation}
 
 
\end{enumerate} 
\end{document}